泰山学院数学与系统科学系教案(1).doc

泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题1-1 集合课 时本节课时本章课时220教学目的理解集合的概念，掌握集合的各种运算及其运算性质。重点难点集合的各种运算及其运算性质。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注一、集合的概念定义 若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。注：（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A，B，C表示集合，习惯上用小写拉丁字母a，b，c表示集合中的元素。若a是集合A中的元素，则记为。表示集合通常有三种方法：a、枚举法（列举法）：例1：A=1，2，3，4，B=1，2，3，100。b、描述法：元素具有的性质。例2：。显然例2中的A就是例1的A。c、绘图法：用文氏图（）可形象地表现出集合的特征及集合之间的关系。例3：利用例1的A和B，可构制出文氏图： （3）集合的蕴含（包含）定义1 若集B中每个元素都属于集合A，则称B是A的子集，记为，如果B是A的子集，又A中有元素不在B中，则称B是A的真子集，记为空集被认为是任意集合的一个子集。当集合B不是集合A的子集或真子集时，分别记为或。（4）集合的幂集集合A的所有子集(包括空集)所构成的集合，称为A的幂集，记作。二、集合的运算集合的并：。 集合的交：。集合的差：。集合在全集内的余集：。对上述集合运算，可以得到一批基本公式：备 注作 业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题1-2 映射与变换课 时本节课时本章课时220教学目的掌握映射、单射、满射和双射的概念并会判定。掌握变换的概念及合成。重点难点重点：映射、单（满、双）射的概念及判定。难点：映射、单（满、双）射的判定。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注一、基本概念 定义1 设与是两个集合。如果有一个法则，它对于中每个元素，在中都有一个唯一确定的元素与它对应，则称为集合到集合的一个映射。记作或。称为在映射之下的象，把叫做在映射之下的原象或逆象。例1、例2、例3、例4、例5、例6定义2 设是集合到集合的一个映射。如果在之下中每个元素在中都有逆象，则称为到的一个满射，或到上的一个映射。注：到映射是满射。定义3 设是集合到集合的一个映射。如果在之下，中不相等的元素在中的象也不相等，则称为到的一个单射，或到里的一一映射。讨论上述例题中的映射是单是满 。定义4 集合到的一个映射，如果既是单射又是满射，则称它为到的一个双射(或到上的一一映射)。定理1 设是集合到集合的一个映射。则是到的一个双射，当且仅当为“双方单值”，即对中每个元素在中只有一个象，且对中每个元素在中有且只有一个逆象。定理2 设与是两个有限集合且，则到的映射是满射当且仅当是单射。推论 如果与是两个所含元素个数相等的有限集合，则到的映射是双射当且仅当是满(单)射。二、映射的运算 1. 相等定义5 设与都是集合到的映射，如果对中每个元素都有，则称与是到的两个相等的映射，记为。2. 合成设是集合到的一个映射，又是集合到的一个映射，则显然 是到的一个映射。我们把这个映射记为，即， 并称其为映射的合成或映射的乘法，而称为映射与的乘积。定义6 集合到自身的映射，叫做集合的一个变换。同样可以定义满射变换、单射变换、双射变换。的双射变换也称为的一个一一变换。集合中每个元素与自身对应的变换，是的一个双射变换，称为集合的恒等变换。定理3 含个元素的任意集合共有个双射变换。对有限集合的双射变换，常用以下特殊符号表示：并称其为一个次置换。 注：同一个次置换可以有种不同的写法。备 注作 业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题1-3 代数运算课 时本节课时本章课时420教学目的掌握代数运算的判定及应用，理解几个元素作代数运算的特点。重点难点难重点：代数运算的概念与判定。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注一、代数运算的概念与判定 定义1 设是一个集合。如果有一个法则，它对中任意两个有次序地元素与，在中都有唯一确定的元素与它们对应，则称这个法则是集合的一个代数运算。若用记号“”表示上述定义中的法则，则有。例1 普通加法、减法与乘法都是整数集、有理数集、实数集和复数集的代数运算。例2 普通减法不是正整数集上的代数运算，因为例如正整数1减2得，但不是正整数。例3 法则不是整数集的代数运算。例4 法则或都是整数集的代数运算，而且前者还是自然数集的一个代数运算。例5 法则是数域上全体阶方阵的集合的一个代数运算。代数运算的判定：只需要验证运算的封闭性。二、变换的运算满足：1. 单射变换的乘积仍为单射变换。2. 满射变换的乘积仍为满射变换。3. 双射变换的乘积仍为双射变换。三、运算表 对有限集合的代数运算，常直观的列成一个表。例如，设 ，而是的一个代数运算，则对此可列成下表：常称这种表为的“乘法表”。备 注作 业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题1-4 运算律课 时本节课时本章课时420教学目的掌握代数运算的结合律、分配律、交换律。重点难点重点：代数运算几个常见的运算律。难点：结合律的性质。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注一、结合律定义1 设是一个有代数运算的集合，如果对中任意元素都有 ，则称的这个代数运算满足结合律。数、多项式、矩阵及函数等对通常的加法与乘法都满足结合律，但是，一般的代数运算不一定满足结合律。例1 、例2 定理1 若集合的代数运算满足结合律，则对中任意个元素无论怎样加括号，其结果都相等。注：对于满足结合律的代数运算来说，任意个元素只要不改变元素的前后次序，就可以任意结合而不必再加括号。二、交换律 定义2 如果集合的代数运算对中任意元素都有，则称的这个代数运算满足交换律。定理2 若集合的代数运算既满足结合律又满足交换律，则对中任意个元素进行运算时可以任意结合和交换元素的前后次序，其结果均相等。三、分配律 定义3 设集合有两个代数运算及，如果对中任意元素，都有，则称运算对满足左分配律；如果，则称运算对满足右分配律。定理3 设集合有两个代数运算及，其中满足结合律。而对满足左分配律，则对中任意元素及有。备 注作 业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题1-5 同态与同构课 时本节课时本章课时420教学目的掌握同态映射、同态满射的定义及应用。掌握同构映射与自同构的定义。会判定同态与同构映射。重点难点重点：同态映射与同构映射的定义与判定，以及在比较集合时的效果。难点：同态映射与同构映射的判定。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注一、同态定义1 设集合都各有代数运算（称及为代数系统）而是映射，且满足下面等式：（习惯上称可保持运算）则称是到的同态映射。如果同态映射是单射（满射），则称是同态单射（同态满射），如果到存在同态满射时，则简称与同态，记作。定理1 设集合到分别有代数运算与，且，则1）当满足结合律时，也满足结合律；2）当满足交换律时，也满足交换律。定理2 设集合有代数运算及，集合有代数运算及；又是到的一个满射，且对与以及与同态，则当对满足左(右)分配律时，对也满足左(右)分配律。二、同构定义2 设是到的同态映射，若是个双射，那么称是同构映射，或称与同构，记为。结论： 设是到的同构映射，那么（1）“”适合结合律“”适合结合律；（2）“”适合交换律“”适合交换律；（3）“”和“+”满足左（右）分配律“”和“”满足 左（右）分配律。需要阐明近世代数的观点是：凡同构的代数体系都认为是（代数）相同的。备 注作 业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题1-6 等价关系与集合的分类课 时本节课时本章课时420教学目的掌握等价关系与分类的概念与联系，会判定等价关系以及根据等价关系将集合分类。理解模n的剩余类。重点难点重点：等价关系的概念、判定以及与分类的联系，模n的剩余类。难点：等价关系的定以及与分类的联系。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注定义1 设是一个集合，如果有一个法则，它对中任二元素可以确定“是”或“不是”符合这个法则，则称此法则为的元素间的一个关系，简称为的一个关系。例1 、例2 、例3 、例4定义2 如果集合的一个关系满足以下条件：1）对中任意元素都有；（反身性）2）如果，必有；（对称性）3）如果，必有，（传递性）则称这个关系是的一个等价关系。等价关系常用符号表示。当时，称与等价。例6、例7