2011年4月江苏省南通市海安县实验中学高一(下)期中数学试卷.doc

菁优网2011年4月江苏省南通市海安县实验中学高一（下）期中数学试卷一、填空题1已知ABC中，那么角A等于 _2数列5，7，9，11，的通项公式是_3下列各一元二次不等式中，解集为空集的有_（x+3）（x1）0；（x+4）（x1）0；x22x+30；2x23x204已知数列an为等差数列，a3=，a7=，则a15的值为_5在三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则BAC的大小为_6已知函数（p为常数且p0），若f（x）在区间（1，+）的最小值为4，则实数p的值为_7右图是一个算法的流程图，最后输出的n=_8直角三角形三边成等比数列，公比为q，则q2的值为_9已知数列an中各项是从1、0、1这三个整数中取值的数列，Sn为其前n项和，定义bn=（an+1）2，且数列bn的前n项和为Tn，若S50=9，T50=107，则数列an的前50项中0的个数为_10在ABC中，角A，B，C的对边分别为，则ABC的面积为_11一同学在电脑中打出如下若干个圈：若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2011个圈中的的个数是_12对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为（1，2），解关于x的不等式ax2bx+c0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c0的解集为（1，2），得a（x）2+b（x）+c0的解集为（2，1），即关于x的不等式ax2bx+c0的解集为（2，1）参考上述解法，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为_13一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去（如图（1）；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间一个挖去，得图（2）；如此继续下去，试问第n个图共挖去_个正方形14已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=_二、解答题（共6小题，满分90分）15在等比数列an中，a1a2a3=27，a2+a4=30试求：（1）a1和公比q；（2）前6项的和S616已知a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C的对边（1）若ABC面积，求a、b的值；（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断ABC的形状17已知等比数列an的通项公式为an=3n1，设数列bn满足对任意自然数n都有+=2n+1恒成立（1）求数列bn的通项公式； （2）求b1+b2+b3+b2011的值18（2005安徽）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）2x的解集为（1，3）（）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围19如图，公园有一块边长为2的等边ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上（1）设AD=x（x0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明20设等差数列an的前n项和为Sn，且a5+a13=34，S3=9（1）求数列an的通项公式及前n项和公式；（2）设数列bn的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm（m3，mN）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由2011年4月江苏省南通市海安县实验中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1已知ABC中，那么角A等于 考点：正弦定理。专题：计算题。分析：先根据正弦定理和已知条件求得sinA的值，进而求得A解答：解：由正弦定理可知sinA=0AA=故答案为：点评：本题主要考查了正弦定理的应用正弦定理和余弦定理是解三角形问题常用的方法，故应熟练记忆2数列5，7，9，11，的通项公式是an=2n+3考点：数列的概念及简单表示法。专题：计算题。分析：利用不完全归纳法来求，先把数列中的每一项变成相同结构的形式，再找规律即可解答：解：数列数列5，7，9，11，可写成5，5+2，5+22，这样，从第二项开始，每一项比前一项多2，an=2n+3，故答案为：an=2n+3点评：本题考查了不完全归纳法求数列通项公式，做题时要认真观察，及时发现规律3下列各一元二次不等式中，解集为空集的有（x+3）（x1）0；（x+4）（x1）0；x22x+30；2x23x20考点：一元二次不等式的解法。专题：计算题。分析：、根据两数相乘的符号法则：同号得正，异号得负，得到x+3与x1同号，即同时大于0或同时小于0，即可求出不等式的解集，经过判定发现解集不为空集，、根据两数相乘的符号法则：同号得正，异号得负，得到x+3与x1异号，即其中一个小于0，令一个大于0，即可求出不等式的解集，经过判定发现解集不为空集，、设不等式的左边为一个函数，发现此函数为开口向上的抛物线，且根据根的判别式小于0得到此抛物线与x轴没有交点，从而得到函数值y恒大于0，故小于0无解，即解集为空集，、把不等式的左边分解因式，根据两数相乘的符号法则：同号得正，异号得负，得到2x+1与x2同号，即同时大于0或同时小于0，即可求出不等式的解集，判定发现不为空集解答：解：、（x+3）（x1）0，可化为 或 ，解得：x1或x3，不为空集，本选项错误；、（x+4）（x1）0，可化为 或 ，解得：4x1，不为空集，本选项错误；、设y=x22x+3，为开口向上的抛物线，且=b24ac=80，即抛物线与x轴没有交点，所y0，即x22x+30，则x22x+30的解集为空集，本选项正确；、2x23x20，因式分解得：（2x+1）（x2）0，可化为：或 ，解得：x2或x，不为空集，本选项错误，故答案为：点评：此题考查了一元二次不等式的解法，以及空集的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题4已知数列an为等差数列，a3=，a7=，则a15的值为考点：等差数列的通项公式。专题：计算题。分析：先根据等差数列中的两项求出公差，然后根据a15=a7+8d进行求解即可解答：解：等差数列an中，a3=，a7=，设公差为d则d=a15=a7+8d=+8（）=故答案为：点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的性质的运用，属于基础题5在三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则BAC的大小为考点：余弦定理。专题：计算题。分析：利用余弦定理表示出cosBAC，把已知的三角形三边代入求出cosBAC的值，再由BAC为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出BAC的度数解答：解：AB=c=5，AC=b=3，BC=a=7，根据余弦定理得：cosBAC=，又BAC为三角形ABC的内角，BAC=故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键6已知函数（p为常数且p0），若f（x）在区间（1，+）的最小值为4，则实数p的值为考点：基本不等式。分析：将函数f（x）配成基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性质进行求解解答：解：函数=x1+12+1（当且仅当x1=等号成立），2+1=4，p=，（x1）=，解得x=或，实数p=，故答案为点评：此题考查基本不等式的性质及其应用，是一道基础题7右图是一个算法的流程图，最后输出的n=100考点：循环结构。专题：图表型。分析：先根据流程图概括出算法功能，然后根据判定条件求出n的取值，从而得到n的值解答：解：该算法流程图的功能是计算+=10.99解得，n100故答案为：100点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，要从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能，属于基础题8直角三角形三边成等比数列，公比为q，则q2的值为考点：等比数列的性质。专题：计算题。分析：设直角三角形的三边分别为：，a，aq（q1），再分别讨论当q1时与当q1时，进而结合勾股定理得到三边的关系，即可得到答案解答：解：设直角三角形的三边分别为：，a，aq（q1），当q1时，根据勾股定理可得：，即整理可得q4q21=0，解得：q2=当q1时，根据勾股定理可得：，即整理可得q4+q21=0，解的：q2=故答案为：点评：本题主要考查等比数列的性质，三个数成等比数列时期设法为：，a，aq，考查勾股定理的运用，以及分类讨论的数学思想9已知数列an中各项是从1、0、1这三个整数中取值的数列，Sn为其前n项和，定义bn=（an+1）2，且数列bn的前n项和为Tn，若S50=9，T50=107，则数列an的前50项中0的个数为11考点：数列的函数特性。专题：计算题。分析：要判断数列an的前50项中0的个数，可先弄清有多少个1和1，根据数列bn的前50项和与数列an的前50项和可求出a12+a22+a502=39，从而求出所求解答：解：S50=9a1+a2+a50=9T50=107（a1+1）2+（a2+1）2+（a50+1）2=107即a12+a22+a502+2（a1+a2+a50）+50=107a12+a22+a502=39数列an中各项是从1、0、1这三个整数中取值数列an的前50项中0的个数为5039=11故答案为11点评：本题主要考查了数列的求和，以及分析问题解决问题的能力，同时考查了计算能力，属于基础题10在ABC中，角A，B，C的对边分别为，则ABC的面积为考点：余弦定理；正弦定理。专题：计算题。分析：由B的度数，利用三角形的内角和定理求出A+C的度数，用A表示出C，同时由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，把表示出的C代入sinC，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将sinA和cosA的值代入即可求出sinC值，由sinA，sinB及b的值，利用正弦定理求出a的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积解答：解：角A，B，C为ABC的内角，且B=，sinA=，又，在ABC中，由正弦定理得，则ABC的面积故答案为：点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键11一同学在电脑中打出如下若干个圈：若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2011个圈中的的个数是61考点：归纳推理。专题：探究型。分析：把每个实心圆和它前面的连续的空心圆看成一组，那么每组圆的总个数就等于2，3，4，所以这就是一个等差数列根据等差数列的求和公式可以算出第2011个圆在之前有多少个整组，即可得答案解答：解：根据题意，将圆分组：第一组：，有2个圆；第二组：，有3个圆；第三组：，有4个圆；每组的最后为一个实心圆；每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n组圆的总个数为sn=2+3+4+（n+1）=，易得=19522011，则在前2011个圈中包含了61个整组，即有61个黑圆，故答案为61点评：本题考查归纳推理的应用，解题的关键是找出图形的变化规律，构造等差数列，然后利用等差数列的求和公式计算12对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为（1，2），解关于x的不等式ax2bx+c0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c0的解集为（1，2），得a（x）2+b（x）+c0的解集为（2，1），即关于x的不等式ax2bx+c0的解集为（2，1）参考上述解法，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（3，1）（1，2）考点：归纳推理；一元二次不等式的应用。专题：探究型。分析：观察发现ax2+bx+c0将x换成x得a（x）2+b（x）+c0，则解集也相应变化，x（1，2），则x（2，1）不等式将x换成得不等式，故，分析可得答案解答：解：由ax2+bx+c0的解集为（1，2），得a（x）2+b（x）+c0的解集为（2，1），发现x（1，2），则x（2，1）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式可看成前者不等式中的x用代入可得，则，则x（3，1）（1，2），故答案为（3，1）（1，2）点评：本题考查了类比推理，通过已知条件发现规律，属于基础题13一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去（如图（1）；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间一个挖去，得图（2）；如此继续下去，试问第n个图共挖去个正方形考点：进行简单的合情推理。专题：探究型。分析：设第n个图共挖去an个正方形，通过研究前后两个图形挖去正方形个数的变化规律，从而求出答案解答：解：设第n个图共挖去an个正方形，则n=1时，a1=1，n=2时，a2a1=8，n=3时，a3a2=82，anan1=8n1，从而有，故答案为点评：本题主要考查图形规律下地数列问题，关键是寻找规律，转化为运用数列知识求解14已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=6考点：简单线性规划。专题：计算题。分析：画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点A时，纵截距最大，z最大解答：解：画出可行域将z=x+3y变形为y=，画出直线平移至点A时，纵截距最大，z最大，联立方程得，代入，k=6故答案为6点评：本题考查画不等式组的可行域；利用可行域求出目标函数的最值二、解答题（共6小题，满分90分）15在等比数列an中，a1a2a3=27，a2+a4=30试求：（1）a1和公比q；（2）前6项的和S6考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和。专题：计算题。分析：（1）由已知可得：解方程可求（2）由（1）可知q1，利用等比数列的求和公式可分别求解解答：解：（1）在等比数列an中，由已知可得：（3分）解得：或（6分）（2）当时，（10分）当时，（14分）点评：本题主要考查了利用等比数列的通项公式求解等比数列的基本量，及等比数列的求和公式的应用，解题的关键是熟练应用公式16已知a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C的对边（1）若ABC面积，求a、b的值；（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断ABC的形状考点：余弦定理；三角形的形状判断。专题：计算题。分析：（1）由A的度数求出sinA和cosA的值，再由c及三角形的面积，利用三角形的面积公式求出b的值，然后由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值；（2）由三角形的三边a，b及c，利用余弦定理表示出cosB，代入已知的a=ccosB，化简可得出a2+b2=c2，利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，代入b=csinA，化简可得b=a，从而得到三角形ABC为等腰直角三角形解答：解：（1），得b=1（4分）由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=12+22212cos60=3，所以（8分）（2）由余弦定理得：，所以C=90（12分）在RtABC中，所以，所以ABC是等腰直角三角形；（15分）点评：此题考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握定理及公式是解本题的关键17已知等比数列an的通项公式为an=3n1，设数列bn满足对任意自然数n都有+=2n+1恒成立（1）求数列bn的通项公式； （2）求b1+b2+b3+b2011的值考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式。专题：计算题。分析：（1）把已知条件中的n换成n1得到，相减可得，再由an=3n1求出数列bn的通项公式（2）要求的式子即 3+（23+232+232010 ，利用等比数列的前n项和公式，求出要求式子的值解答：解：（1）对任意正整数n，有+=2n+1，当n2时，+=2n1，（4分）得 ； 故 bn=2an =23n1（n2） （7分）当n=1时，又a1=1，b1=3 （10分）（2）b1+b2+b3+b2011=3+（23+232+232010）=3+3（320101）=32011（15分）点评：本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，求得，是解题的关键，属于中档题18（2005安徽）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）2x的解集为（1，3）（）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围考点：函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义；一元二次不等式的应用。专题：计算题。分析：（）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）2x变形为f（x）+2x0因为它的解集为（1，3），则可设f（x）+2x=a（x1）（x3）且a0，解出f（x）；又因为方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用根的判别式解出a的值得出f（x）即可；（）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当x=时，最大值为=和a0联立组成不等式组，求出解集即可解答：解：（）f（x）+2x0的解集为（1，3）f（x）+2x=a（x1）（x3），且a0因而f（x）=a（x1）（x3）2x=ax2（2+4a）x+3a由方程f（x）+6a=0得ax2（2+4a）x+9a=0因为方程有两个相等的根，所以=（2+4a）24a9a=0，即5a24a1=0解得a=1或a=由于a0，舍去a=1将a=代入得f（x）的解析式（）由及a0，可得f（x）的最大值为就由解得a2或2+a0故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是点评：考查学生函数与方程的综合运用能力19如图，公园有一块边长为2的等边ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上（1）设AD=x（x0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明考点：基本不等式在最值问题中的应用；解三角形的实际应用。专题：应用题。分析：（1）先根据SADE=SABC求得x和AE的关系，进而根据余弦定理把x和AE的关系代入求得x和y的关系（2）根据均值不等式求得y的最小值，求得等号