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第四章函数应用 1函数与方程1 1利用函数性质判定方程解的存在 1 理解函数零点的概念 领会函数零点与相应方程解的关系 难点 2 掌握零点存在的判定条件 重点 解方程擂台赛 一元一次方程的解 一次函数的图像与轴交点坐标 x 方程的根 交点的横坐标 一元二次方程的解 二次函数的图像与轴交点坐标 x 函数的零点 我们把函数y f x 的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点 方程有实数解 函数的图像与轴有交点 函数有零点 等价关系 零点是实数而不是点 韦达是法国十六世纪最有影响力的数学家之一 第一个引进系统的代数符号 并对方程论进行改进 他的 分析方法入门 一书 记录了他以前在代数方面的成就 使代数学真正成为数学中的一个优秀分支 他对方程论的贡献是在 论方程的识别与修正 一书中提出了二次 三次和四次方程的解 第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数 未知数及其乘幂 带来了代数学理论研究的重大进步 韦达讨论了方程根的各种有理变换 发现了方程根与系数之间的关系 所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为 韦达定理 1 利用函数图像判断下列方程有没有实数解 有几个 1 x2 3x 5 0 2 2x x 2 3 有 2个 没有 两个函数的交点的横坐标即为方程的解 3 x2 4x 4 4 5x2 2x 3x2 5 有 2个 有 1个 观察二次函数f x x2 2x 3的图像 2 1 f 2 0f 1 0f 2 f 1 0 x 1是x2 2x 3 0的一个解 2 4 f 2 0f 2 f 4 0 x 3是x2 2x 3 0的另一个解 零点存在定理 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图像是连续曲线 并且在区间端点的函数值符号相反 即f a f b 0 则在区间 a b 内 函数y f x 至少有一个零点 即相应的方程f x 0在区间 a b 内至少有一个实数解 有零点 可能有多个 思考 有零点则一定有f a f b 0吗 数形结合 函数f x x3 3x 5的零点所在的大致区间为 a 1 2 b 2 0 c 0 1 d 0 0 5 a 二次函数的零点与二次方程的实根的关系 二次函数y ax2 bx c a 0 的图像 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根 二次函数y ax2 bx c a 0 的零点 有两个相异实根x1 x2 x1 x2 有两个相等实根x1 x2 没有实根 有两个零点x1 x2 有一个二重零点x1 x2 没有零点 提升总结 1 在二次函数中 ac 0 则其零点的个数为 不存在 b 2 已知函数f x 的图像是连续不断的 有如下的x f x 对应值表 那么函数在区间 1 6 上的零点至少有 个a 5b 4c 3d 2 c 解析 由于
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