材料力学 第八章 应力状态分析.pdf

第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page 1 8 8 1 1 引言引言 8 8 2 2 平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析 8 8 4 4 平面应力状态的平面应力状态的极值应力与主应力极值应力与主应力 第八章第八章应力应变状态分析应力应变状态分析 8 8 5 5 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力 8 8 7 7 各向同性材料的应力 应变关系各向同性材料的应力 应变关系 8 8 3 3 应力圆应力圆 8 8 6 6 平面应变状态应变分析平面应变状态应变分析 8 8 8 8 复合材料的复合材料的应力 应变关系应力 应变关系 8 8 9 9 复杂应力状态下的复杂应力状态下的应变能与畸变能应变能与畸变能 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page 2 低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验 8 8 1 1 引言引言 低碳钢低碳钢铸铸铁铁 铸铁断口与轴线垂直 低碳钢断口铸铁断口与轴线垂直 低碳钢断口 有何不同 为什么 有何不同 为什么 二者都容易由实验建立强度条件 二者都容易由实验建立强度条件 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page 3 低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验 低碳钢低碳钢铸铸铁铁 容易由实验建立强度条件 容易由实验建立强度条件 与拉伸断口有何不同 为什么 与拉伸断口有何不同 为什么 拉伸与扭转强度条件是否有关联 拉伸与扭转强度条件是否有关联 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page 4 螺旋桨轴螺旋桨轴 F F M A 微体微体A 采用拉伸强度条件 扭转强度条件 还是其它强度条件 采用拉伸强度条件 扭转强度条件 还是其它强度条件 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page 5 工字梁工字梁 c d 点处点处 单向应力 单向应力 a 点处点处 纯剪切 纯剪切 b 点处点处 联合作用联合作用 复杂应力状态下 如何复杂应力状态下 如何 建立强度条件建立强度条件 分别满足分别满足 做实验的工作量与难度做实验的工作量与难度 y z C maxC 1 1 max maxt d a b c y max 1 1 O max 1 1 maxt maxC d a b c 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page 6 通过构件内一点 所作各微截面的通过构件内一点 所作各微截面的 应力状况 称为该点处的应力状态应力状况 称为该点处的应力状态 应力状态应力状态 应变状态应变状态 构件内一点在各个不同方位的应构件内一点在各个不同方位的应 变状况 称为该点处的应变状态变状况 称为该点处的应变状态 建立复杂应力状态强度条件的研究思路 建立复杂应力状态强度条件的研究思路 材料物质点应力状况材料物质点应力状况 应力微体应力微体 材料失效机理材料失效机理 强度条件强度条件 x y z y x dx dy dz x x y y 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page 7 8 8 2 2 平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析 x y z y x dx dy dz x x y y 微体仅有四个面作用有应力 微体仅有四个面作用有应力 应力作用线均平行于不受力表面 应力作用线均平行于不受力表面 什么是平面应力状态 什么是平面应力状态 x y z dz 问题 问题 已知已知 x y x y 求任求任 意平行于意平行于z z轴的轴的斜斜截面上的应力 截面上的应力 平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析 微体有一对平行表面不受力的应力状态 微体有一对平行表面不受力的应力状态 由此推断由此推断 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page 8 应力分析的解析法 应力分析的解析法 微体中取分离体平衡 微体中取分离体平衡 0 n F cos sin cos cos sin cos sin sin 0 xx yy dAdAdA dAdA 0 t F cos cos cos sin sin sin sin cos 0 xx yy dAdAdA dAdA cos 2 sin 2 22 sin 2 cos 2 2 xyxy x xy x 符号规定 符号规定 拉伸为正 拉伸为正 使微体顺时针转者为正使微体顺时针转者为正 以以x轴为始边 指向沿逆时针转者为正轴为始边 指向沿逆时针转者为正 x y x x x y y y n t y x dA x y n t 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page 9 sin2cos2 22 x yxyx cos2sin2 2 x yx 上述关系式是建立在静力学基础上 与材料性质无关 上述关系式是建立在静力学基础上 与材料性质无关 换句话说 它既适用于各向同性与线弹性情况 也适用于换句话说 它既适用于各向同性与线弹性情况 也适用于 各向异性 非线弹性与非弹性问题 各向异性 非线弹性与非弹性问题 应力转轴公式的适用范围 应力转轴公式的适用范围 应力转轴公式 斜截面上的应力公式 应力转轴公式 斜截面上的应力公式 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page10 解 解 80308030 cos60 60 sin60104 46MPa 22 8030 sin6060 cos60 8 35MPa 2 sin2cos2 22 x yxyx cos2sin2 2 x yx 问问可取何值可取何值150 30 x轴向左 轴向左 例例 求图示求图示 已知已知80 MPa x 30 MPa y MPa 60 x 210 60 80 30 单位 单位 MPa 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page11 一 一 应力圆应力圆 8 8 3 3 应力圆应力圆 在在平面上 平面上 的轨迹 的轨迹 sin2cos2 22 x yxyx cos2sin2 2 x yx 应力转轴公式应力转轴公式 sin2cos2 22 x yxyx cos2sin2 2 0 x yx 应力转轴公式形式变换应力转轴公式形式变换 应力圆应力圆 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page12 2222 22 xyxy x 坐标系下的圆方程坐标系下的圆方程 圆心坐标 圆心坐标 半径 半径 0 2 xy 22 2 xy x R o x y 2 R 结论 平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆结论 平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆 应力圆应力圆 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page13 二 二 应力圆的绘制及应用应力圆的绘制及应用 o x y 2 R 绘制方法绘制方法1 为半径作圆为半径作圆 22 2 xy x R 为圆心 为圆心 0 2 xy 以以 缺点 缺点 需用解析法计算圆心坐标和半径需用解析法计算圆心坐标和半径 没有反映应力圆上的点与微体截面方位的对应关系没有反映应力圆上的点与微体截面方位的对应关系 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page14 o D E E x x y y C x y 2 F x y 2 绘制方法绘制方法2 实际采用 实际采用 x y y y x x n 分析分析 设设x面和面和y面的应力分别为面的应力分别为 xxyy DE 故故DE中点坐标中点坐标 由于由于 xy 0 2 xy C 为圆心 为圆心 DE为直径 为直径 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page15 2cos 2 0 CHOC H sin2cos2 22 x yxyx H H 同理 同理 sin2sin2 cos2cos2 00 CDCDOC x y y y x x n o x x D y y E E C x y 2 H H 2 2 0 0 2 2 H H H H F x y 2 绘图 绘图 以以ED为直径 为直径 C为圆心作圆为圆心作圆 面应力 面应力 考察考察H点应力点应力 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page16 点面对应 点面对应 微体截面上的应力值与应力圆上点的微体截面上的应力值与应力圆上点的 坐标值一一对应 坐标值一一对应 应力圆点与微体截面应力对应关系应力圆点与微体截面应力对应关系 H C y y x x 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page17 二倍角对应 二倍角对应 应力圆半径转过的角度是微体截面方位角应力圆半径转过的角度是微体截面方位角 变化的两倍 且二者转向相同 变化的两倍 且二者转向相同 微体互垂截面 对应应力圆同一直径两端微体互垂截面 对应应力圆同一直径两端 微体平行对边微体平行对边 对应对应应力圆应力圆同一点同一点 2 C xx D H y y x x n 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page18 几种简单受力状态的应力圆几种简单受力状态的应力圆 x x 单向受力状态单向受力状态 x y 纯剪切受力状态纯剪切受力状态 o R x 双向等拉双向等拉 o x 2 R x 2 C o C 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page19 绘制应力圆两例绘制应力圆两例 A A B B o A A B B o 0 0 2 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page20 8 8 4 4 平面应力状态的极值应力与主应力平面应力状态的极值应力与主应力 一 平面应力状态的极值应力一 平面应力状态的极值应力 0 max min y y max min x x max D 0 AB R x K M xx D 2 xy 2 xy yy E 0 2 F o C 思考 思考 如何从应力圆确定微体内最大与最小正应力 最如何从应力圆确定微体内最大与最小正应力 最 大与最小切应力 微体内最大正应力与切应力方位 大与最小切应力 微体内最大正应力与切应力方位 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page21 2 2 min max 2 x yx CK 2 2 min max 22 x yxyx CAOC yx x CF DF 2 tan2 0 y x x x BF DF maxmin 0 tan 8 8 4 4 平面应力状态的极值应力与主应力平面应力状态的极值应力与主应力 一 平面应力状态的极值应力一 平面应力状态的极值应力 0 max min y y max min x x AB R x K M max D xx D 2 xy 2 xy yy E 0 0 2 F o C 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page22 AB R x K M max D xx D 2 xy 2 xy yy E 0 0 2 F o C 思考 思考 对于平面应力 对于平面应力 是否一定存在正应力为是否一定存在正应力为 零的面 零的面 切应力最大与最小的面 切应力最大与最小的面 正应力有什么性质 正应力有什么性质 是否一定存在切应力为是否一定存在切应力为 零的面 零的面 正应力最大与最小的面 正应力最大与最小的面 切应力有什么性质 切应力有什么性质 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page23 二 主应力二 主应力 主平面主平面 切应力为零的截面 切应力为零的截面 主应力主应力 主平面上的正应力 主平面上的正应力 主应力符号与规定主应力符号与规定 321 主平面微体主平面微体 相邻主平面相互垂直 相邻主平面相互垂直 构成一正六面形微体构成一正六面形微体 按代数值排列 按代数值排列 1 2 3 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page24 应力状态分类应力状态分类 单向应力状态单向应力状态 仅一个主应力不为零的应力状态 仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态二向应力状态 两个主应力不为零的应力状态 两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态三向应力状态 三个主应力均不为零的应力状态 三个主应力均不为零的应力状态 复杂应力状态复杂应力状态 二向与三向应力状态二向与三向应力状态 Cmaxt Dmaxc minmax 0 231 三 纯剪切状态的最大应力三 纯剪切状态的最大应力 maxC 45 maxt 45 o 0 A 0 B CD 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page25 圆轴扭转时滑移与剪断发生在圆轴扭转时滑移与剪断发生在 max的作用面 的作用面 圆轴扭转时断裂发生在圆轴扭转时断裂发生在 max的作用面 的作用面 例 纯剪应力状态下不同的断裂机理 例 纯剪应力状态下不同的断裂机理 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page26 2 2 2 max2 min 80MPa 10 5010 50 30 3 40MPa2222 xyxy x 解 解 1 解析法解析法 10 MPa x 50 MPa y 30 3MPa 51 96MPa x 例例 试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向 10 30 3 50 单位 单位 MPa 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page27 例例 试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向 1 解析法解析法 续续 min 40MPa max 80MPa 0 2 tan23 x xy 0 60 2 120 问题 问题 哪一个解是正确的 哪一个解是正确的 0 60 根据对应切应力所指方向可判断根据对应切应力所指方向可判断的方向的方向 1 10 30 3 50 1 3 又解 又解 试比较两个求试比较两个求的公式的公式 0 0 minmax tan3 xx xy 0 60 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page28 2 量量A B两点坐标 两点坐标 BD 的方位角得的方位角得 1 80MPa 3 40MPa 0 60 2 图解法图解法 1 在在坐标系画上坐标系画上 10 51 96 50 51 96DE 两点 联结两点 联结DE 以 以DE为直径作应力圆为直径作应力圆 max ABC D D E 0 2 0 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page29 作业作业 8 1 8 2c 8 4b c 8 5 请用坐标纸作图请用坐标纸作图 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page30 上一讲回顾上一讲回顾 0 max min y y max min x x AB R x K M max D xx D 2 xy 2 xy yy E 0 0 2 F o C 应力圆的画法 应力圆的画法 确定确定x面和面和 y面的应力坐标点面的应力坐标点D E 以以DE为直径作应力圆 为直径作应力圆 应力圆点与微体面对应关系应力圆点与微体面对应关系 极值应力极值应力 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page31 思考题 试分析下列平面应力杆件中思考题 试分析下列平面应力杆件中A B两点的应力两点的应力 0 A点零应力状态 应力圆为位于圆点的点圆点零应力状态 应力圆为位于圆点的点圆 B点应力集中点应力集中 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page32 8 8 5 5 三向应力状态的最大应力三向应力状态的最大应力 一一 三向应力圆三向应力圆 1 三组特殊的平面应力对应三组特殊的平面应力对应 于三个应力圆 平行于三个应力圆 平行平面 平面 由由 作应力圆 由作应力圆 由 和和 分别作应力圆分别作应力圆 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 三向应力圆三向应力圆 1 2 3 o 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page33 222 123 coscoscos n 2222222 123 coscoscos nn 结论 结论 任意斜截面的应力值任意斜截面的应力值 位于三向应力圆的阴影区内位于三向应力圆的阴影区内 3 任意斜截面的应力任意斜截面的应力 与三向应力圆对应关系与三向应力圆对应关系 1 3 2 n n 1 2 3 o A 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page34 二二 最大与最小应力最大与最小应力 max1 min3 max13 1 2 位于与位于与和和均成均成的截面的截面max 1 3 45 1 2 3 o A 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page35 例例 图示单元体图示单元体最大最大切应力切应力 作用面是图作用面是图 ABCD 100 50 50 单位 单位 MPa B 答 答 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page36 o 10050 o 100100 100 50 100 例例试作图示平面应力状态微体的三向应力圆试作图示平面应力状态微体的三向应力圆 单位 单位 MPa 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page37 作三向应力圆作三向应力圆 例例 试作图试作图a所示微体三向应力圆所示微体三向应力圆 计算微体的计算微体的 解 解 作图作图b所示平面应力微体的应力圆所示平面应力微体的应力圆 120 40 30 b maxminmax 主应力与第一主应力方位 主应力与第一主应力方位 120 40 30 30 单位 单位 MPa a x y z 分析 垂直于分析 垂直于z轴的平面是一个主平面轴的平面是一个主平面 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page38 3 计算微体的 计算微体的和主应力和主应力 maxminmax i 图解法图解法由图量得由图量得 单位 单位 MPa max1min3 2max 130 30 30 80 130 30 30 单位 单位 MPa 思考 思考 三向应力圆的三个圆分别代表三向应力圆的三个圆分别代表 分别代表微体那组特殊平面的分别代表微体那组特殊平面的 应力 应力 maxminmax 极值应力极值应力对对 应于微体哪个方位 在哪应于微体哪个方位 在哪 个圆上量取 个圆上量取 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page39 ii 解析法解析法 22 max 22 22 1204012040 30130 22 xyxy x 120 40 30 30 单位 单位 MPa a x y z 22 min 30 22 xyxy x 思考 下述计算是否正确 思考 下述计算是否正确 左面计算的是平行左面计算的是平行 于于z轴截面的极值应轴截面的极值应 力 不是微体最大最力 不是微体最大最 小应力 小应力 2222 max 12040 3050 22 xy x 3 计算微体的 计算微体的和主应力和主应力 maxminmax 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page40 ii 解析法解析法 单位 单位 MPa 22 max 130 22 xyxy x xy 120 40 30 30 单位 单位 MPa a x y z maxmin13 max 80 22 3 计算微体的 计算微体的和主应力和主应力 maxminmax 22 min 30 22 xyxy x xy 3 30 1 130 2 30 对于垂直于对于垂直于z轴的截面极值应力轴的截面极值应力 微体最大最小应力微体最大最小应力 max 130 min 30 微体主应力微体主应力 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page41 4 求求方位方位max i 图解法图解法 思考 由右下图量取方式去是否正确 思考 由右下图量取方式去是否正确 在 在xy平面 平面 120 40 30 30 单位 单位 MPa a x y z 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page42 4 求求方位方位max i 图解法图解法 直接测量得 直接测量得 在 在xy平面 平面 18 ii 解析法解析法 min tan 301 120303 18 x x 120 40 30 30 单位 单位 MPa a x y z max 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page43 8 8 6 6 平面应变状态应变分析平面应变状态应变分析 应力应力 平面应变状态工程实例平面应变状态工程实例 平面应变状态 平面应变状态 构件某点的构件某点的 变形均平行于某一平面 变形均平行于某一平面 平面应变的应力 平面应变的应力 在垂直于在垂直于 该平面的方向存在正应力 该平面的方向存在正应力 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page44 一 平面应变状态下任意方位的应变分析一 平面应变状态下任意方位的应变分析 已知应变已知应变e ex e ey与与 xy 求求 方位的应变方位的应变e e 与与 使左下直角增大之使左下直角增大之 为正为正 规定 规定 方位角方位角 以以 x 轴为始边 轴为始边 为正为正 x y x e e y e e z xy o x y o dx dy E D CB A 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page45 分析要点 分析要点 叠加法叠加法 切线代圆弧切线代圆弧 odx dy CB A xdx e e dl 仅考虑仅考虑 x e e odx dy ydy e e dl 仅考虑仅考虑 y e e dl o dx dy xy 仅考虑仅考虑 xy 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page46 l x x d cosd e e e e e e 2 cos x l x x d sind e e e esincos x 单独考虑应变单独考虑应变 x e e odx dy CB A xdx e e dl sin xdx e e cos xdx e e 问题 问题 如果如果 怎么计算 怎么计算 90 答 答 90可利用可利用的解析公式计算 的解析公式计算 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page47 e e e e e e 2 sin d sind y y l y e e e e cossin d cosd y y l y 2 sin2 d cosd e e xyxy l y 2 sin d sind xy xy l y 分别考虑分别考虑和和 y e e xy odx dy ydy e e dl cos ydy e e sin ydy e e C B A dl o dx dy xy xydy cos xydy C B A 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page48 e ee ee ee e e e e ee e sincossincos 22 xyyx a e ee e 2 sinsin cos xyxy e ee e 2 90 cosin cos s xyyx 90 e ee e cos22 sin xyyx x y o dx dy E D CB A 叠加法求应变叠加法求应变 转轴公式转轴公式 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page49 e ee e cos2 2 sin2 22 xyyx e ee ee ee e e e sin2 2 cos2 22 xyyxyx 小结 小结 90 平面应变转轴公式 平面应变转轴公式 互垂方位切应变 互垂方位切应变 互垂方位的切应变数值相等 正负符号相反互垂方位的切应变数值相等 正负符号相反 上述分析建立在几何关系基础上 所得结论适上述分析建立在几何关系基础上 所得结论适 用于任何小变形问题 而与材料的力学特性无关 用于任何小变形问题 而与材料的力学特性无关 适用范围 适用范围 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page50 平面应力转轴公式与平面应变转轴公式规律的相似性平面应力转轴公式与平面应变转轴公式规律的相似性 平面应力转轴公式平面应力转轴公式 xyxy x cos2sin2 22 xy x sin2cos2 2 平面应变转轴公式平面应变转轴公式 xyxyxy eeee eeee e e cos2sin2 222 ee ee sin2cos2 222 xyxy 应力圆应力圆 应变圆应变圆 对应关系对应关系 e e xx e e yy 2 xy x 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page51 二 应变圆二 应变圆 e ee ee ee e e e sin2 2 cos2 22 xyyxyx e ee e cos2 2 sin2 22 xyyx 22 2 2 22 0 22 xyyxyx e ee e e ee e e e 22 22 xyyx R e ee e e e AB 2 xxy De e e e 2 2 yxy e e 2 o C F 2 E e e 对比应力圆对比应力圆 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page52 三 最大应变与主应变三 最大应变与主应变 对比最大应力与主应力 对比最大应力与主应力 2 2 min max 2 1 2 xyyx yx e ee e e ee e e e e e 2 2 maxxyyx e ee e minmin 0 2 2 tan e ee e e ee e x xy x xy AB R max e e方方位位 D 2 xxy De e e e 2 Re e 2 xy eeee 2 yxy e e 0 0 2 Go C max e e min e e max 2 F 最大与最小应变最大与最小应变 最大应变方位角最大应变方位角 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page53 切应变为零方位的切应变为零方位的 正应变称为主应变正应变称为主应变 一点的三主应变一点的三主应变方方 位位两两互垂两两互垂 主应变表示 主应变表示 e e1 1 e e2 2 e e3 3 AB R max e e方方位位 D 2 xxy De e e e 2 Re e 2 xy eeee 2 yxy e e 0 0 2 G o C max e e min e e max 2 F 主应变主应变 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page54 解 解 由应变转轴公式由应变转轴公式 x ee 0 60 111 cos120sin120 222 113 244 xyxyxy xyxyxy eeeee eeee 例例 已测得已测得 求求 与与xy x e y e 0 e 60 e 120 e x y 0 e 60 e 120 e 60 120 120 111 cos240sin240 222 113 244 xyxyxy xyxyxy eeeee eeee 联立求解上述三个方程 得 联立求解上述三个方程 得 0 x eeee eeeeeeee 601200 1 22 3 y ee ee 12060 2 3 xy 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page55 作业作业 8 7 8 8ab 8 10 8 11 请用坐标纸作图请用坐标纸作图 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page56 8 8 7 7 各向同性材料的应力 应变关系各向同性材料的应力 应变关系 一 广义胡克定律一 广义胡克定律 x x x y y y 纯剪应力状态的胡克定理 纯剪应力状态的胡克定理 单向应力状态的胡克定理 单向应力状态的胡克定理 e e E G 如何确定复杂应力状态下 应力与应变关系如何确定复杂应力状态下 应力与应变关系 xyx yy xx G E E e e e e 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page57 x y xy x x x y y y 研究方法 利用叠加原研究方法 利用叠加原 理 由单向受力和纯剪状理 由单向受力和纯剪状 态的胡克定理推导复杂应态的胡克定理推导复杂应 力状态的广义胡克定理 力状态的广义胡克定理 x x y y x x x y E E e e e e y y y x E E e e e e xy xy G y x x y x y xy xy EE EE G e e e e 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page58 平面应力状态的广义胡克定理平面应力状态的广义胡克定理 y x x y x y xy xy EE EE G e e e e 三向应力状态的广义胡克定理三向应力状态的广义胡克定理 以上结果成立的条件 以上结果成立的条件 各向同性材料 各向同性材料 线弹性范围内 线弹性范围内 2 2 1 1 xxy yyx xyxy E E G e e e e e e e e 小变形小变形 y zx x y zx y y zx z EEE EEE EEE e e e e e e xyxy yzyz xzxz G G G 或或 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page59 z y x 1 2 3 二 主应力与主应变的关系二 主应力与主应变的关系 G G G EEE EEE EEE xzxz yzyz xyxy y xz z zx y y z y x x e e e e e e 1 1 1 2133 3122 3211 e e e e e e E E E 1 1 1 1 1 1 21333 31222 32111 e e e e e e E E E e1 e2 e3 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page60 y x 45 45 y x 135 各向同性材料弹性常数之间的关系 各向同性材料弹性常数之间的关系 弹性常数 弹性常数 E G 相互独立 相互独立 已知已知 e ex 0 e ey 0 xy xy G G xy xyyxyx 22 90sin 2 90cos 22 00 450 e ee ee ee e e e 1 000 1354545 e e E o R x 2 1 E G EE 1 1 45 135 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page61 F 例例 刚性块刚性块D 5 001cm凹座 内放凹座 内放d 5cm刚性刚性 圆柱体 圆柱体 F 300kN E 200GPa 无摩擦 无摩擦 求圆柱体主应力 求圆柱体主应力 0 3 3 3 2 300 10 153 50 4 F MPa A 解 解 2 5 001 5 50 0002e 设圆柱体胀满凹座设圆柱体胀满凹座 问题 问题 如果如果和和计算结果为正 怎样处计算结果为正 怎样处 理 理 2 1 12 q 由对称性 可设由对称性 可设 由广义胡克定律由广义胡克定律 3321 2 1 0 0002q EEEEE e 3 0 0002 8 43 1 E qMPa 3 153MPa 12 8 43MPa 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page62 例 例 如右图所示 已知如右图所示 已知 160MPa160MPa 40 MPa40 MPa 薄板 薄板 厚度厚度t t 10mm 10mm 上画有一半径上画有一半径R R 100mm100mm的圆 的圆 试 试 1 求应变 求应变e ex e ey e ey O x y x y 2 求求e e30 30 120 沿与 沿与x x轴成轴成3030o o和和120120o o方向 方向 3 计算板厚改变量计算板厚改变量 t 圆面积改变量圆面积改变量 A 4 若板上画有与圆面积相等得任意形状图形若板上画有与圆面积相等得任意形状图形 求此图形变形后得面积变化求此图形变形后得面积变化 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page63 O x y 根据广义胡克定律 根据广义胡克定律 664 9 664 9 11 40 100 25 160 10 4 10 200 10 0 25 160 1040 10 1 5 10 200 10 yyx zxy E E e e e e 解 解 1 求应变 求应变e ex e ey e ey 664 9 1 1 160 100 25 40 10 8 5 10 200 10 xxy E e e 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page64 解解 i 由应变转轴公式 由应变转轴公式 单位 单位 MPa 30 44 30 43 cos230sin230 222 8 548 54 0 5 105 38 10 22 sin230cos230 8 54 100 8661 08 10 xyxyxy xyxy eeee eeee e e ee ee 2 坐标系转动坐标系转动30o 求 求e e30 30 120 思考 能否不用应变转轴公式计算思考 能否不用应变转轴公式计算e e30 30 120 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page65 30 30 cos230sin230 22 1604016040 cos60110 22 16040 sin230cos230sin6086 6 22 xyxy x xy x MPa MPa 664 9 3030120 693 3030 693 120120 11 110 100 25 10 10 5 38 10 200 10 86 6 10 80 101 08 10 86 6 10 80 101 08 10 E G G e e 然后由广义胡克定理然后由广义胡克定理 2 坐标系转动坐标系转动30o 求 求e e30 30 120 解 解 ii 由应力转轴公式 由应力转轴公式 120120 10 86 6MPaMPa 应力单位 应力单位 MPa 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page66 O t e ezt 1 5 10 4 10 1 5 10 3 mm 所画圆变形后成为椭圆所画圆变形后成为椭圆 长短半长短半 轴轴a b分别为分别为 a 1 e ex R b 1 e ey R A圆 圆 ab R2 e ex e ey R2 8 5 10 4 4 10 4 100 14mm2 y O x 3 计算板厚改变量计算板厚改变量 t 圆面积改变量圆面积改变量 A 解 解 板厚改变量板厚改变量 思考思考 如何求任意形状区域面积改变量如何求任意形状区域面积改变量 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page67 4 若板上画有与圆面积相等得任意形若板上画有与圆面积相等得任意形 状图形状图形 求此图形变形后得面积变化求此图形变形后得面积变化 y O x dA解 解 考虑微面积考虑微面积dA在加载后在加载后 的改变量的改变量 dA e ex e ey dA 所以总的面积改变量为所以总的面积改变量为 22 14 xyxy AA xy AdAdAA Rmm eeeeeeee ee ee 思考思考 如何求任意区域体积如何求任意区域体积 改变量改变量 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page68 5 计算计算e emax max e e1 1 e e2 2 解 解 对于各向同性板 沿平行对于各向同性板 沿平行 于于X Y Z坐标系轴截出的微体坐标系轴截出的微体 为主应力微体为主应力微体 又为主应变微体又为主应变微体 思考题思考题 i 如果如果 y也为正值也为正值 max如何计算如何计算 所在面所在面 方位如何方位如何 ii 自行总结本例题对应的平面应力问题自行总结本例题对应的平面应力问题 e emax e e1 e ex 8 5 10 4 max e ex e ey 12 5 10 4 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page69 7 7 8 8 复合材料的应力 应变关系复合材料的应力 应变关系 复合材料的定义 复合材料的定义 由两种或两种以上材料在由两种或两种以上材料在宏观尺度宏观尺度上组成的上组成的新材料新材料 复合材料的分类 复合材料的分类 复合材料的基本特点 复合材料的基本特点 1 1 通常由基体材料和增强材料组成 通常由基体材料和增强材料组成 3 3 宏观上呈现各向异性 宏观上呈现各向异性 2 2 不同组分材料之间有明显的界面 不同组分材料之间有明显的界面 1 1 按基体材料分类 按基体材料分类 聚合物基复合材料聚合物基复合材料 金属基复合材料金属基复合材料 陶瓷基复合材料陶瓷基复合材料 2 2 按增强材料分类 按增强材料分类 纤维增强复合材料纤维增强复合材料 短切纤维增强复合材料短切纤维增强复合材料 颗粒增强复合材料颗粒增强复合材料 3 3 同质物质复合 同质物质复合 的复合材料的复合材料 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page70 复合材料的力学性能特点 复合材料的力学性能特点 1 1 比强度 比刚度大 比强度 比刚度大 E b 2 2 可设计性好 可设计性好 复合材料的性能可以随基体材料与增强材料的组合方式的改变而改变 复合材料的性能可以随基体材料与增强材料的组合方式的改变而改变 3 3 抗疲劳性能好 抗疲劳性能好 4 4 复合材料的力学性能分散性较大 复合材料的力学性能分散性较大 单向复合材料拉伸疲劳极限一般可达单向复合材料拉伸疲劳极限一般可达 40 70 b b 金属材料拉伸疲劳极限一般为金属材料拉伸疲劳极限一般为 30 50 b b 5 5 复合材料的层间剪切强度差 容易产生分层 复合材料的层间剪切强度差 容易产生分层 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page71 1 3 3 2 一 一 纤维增强复合材料的正轴应力 应变关系纤维增强复合材料的正轴应力 应变关系 材料的材料的主轴 主轴 沿纤维纵向 纤维横向的坐标沿纤维纵向 纤维横向的坐标 轴以及在此坐标系下的另外一轴以及在此坐标系下的另外一 根坐标轴 根坐标轴 轴轴1 1 轴 轴2 2和轴和轴3 3为材料的主轴 为材料的主轴 研究所有应力均位于轴研究所有应力均位于轴1 1 2 2坐标坐标 平面时的平面应力问题平面时的平面应力问题 2 1 1 1 2 2 12 应力应变关系应力应变关系 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page72 2 1 12 分析方法分析方法 叠加法叠加法 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 E e e 1 112 2 E e e 2 221 1 E e e 2 2 2 E e e 12 12 12 G E1与与 12 纵向弹性模量纵向弹性模量 与与纵向泊松比纵向泊松比 E2与与 21 横向弹性模量横向弹性模量 与与横向泊松比横向泊松比 G12 纵向切变模量纵向切变模量 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page73 2 221 1 1 1 EE e e 1 112 2 2 2 EE e e 12 12 12 G 12 2 1 12 21 12 2 21 1 12 2 1 1 0 0 0 1 0 1 e e e e G EE EE 1 12 2 21 EE 可以证明 可以证明 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page74 13 23 12 3 2 1 13 23 12 32 23 1 13 3 32 21 12 3 31 2 21 1 13 23 12 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 e e e e e e G G G EEE EEE EEE 所有应力均作用于正轴坐标平面时的三向应力状态所有应力均作用于正轴坐标平面时的三向应力状态 第八章第八章应力状态分析应力状态分析 Page75 xy y x xy y x SSS SSS SSS e e e e 662661 262212 161211 二 二 纤维增强复合材料的偏轴应力 应变关系纤维增强复合材料的偏轴应力 应变关系 x y o x y 12 2 1 12 21 12 2 21 1 12 2 1 1 0 0 0 1 0 1