江西省遂川二中高中数学 最小二乘法课件 北师大版必修3.ppt

1 两个变量之间的关系一般有两类 1 确定性关系的函数关系 并可以用表达式来表示 2 关系不确定的两个变量之间的关系 即相关关系 相关关系又可以分为线性相关关系和非线性相关关系 2 散点图是将两个变量之间的关系用直角坐标系中的点表示出来 从而可以比较直观的判断两个变量之间的关系 3 判断两个变量之间是否有相关关系的方法有两种 1 根据实际生活中的经验 2 利用散点图来判断 一 复习回顾 二 新知探究 1 提出问题 高二某班学生每周用于数学学习的时间x 单位 h 与数学成绩y 单位 分 之间有如下数据 某同学每周用于数学学习的时间为18h 试预测该生数学成绩 2 思考交流 选择怎样的直线近似地表示用于数学学习的时间与数学成绩之间的关系 请设计方案 3 抽象概括 如果有n个点 x1 y1 x2 y2 xn yn 可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y a bx的接近程度 使得上式达到最小值的直线y a bx就是我们要求的直线 这种方法称为最小二乘法 如果用表示 用表示 则可以求得 这样得到的直线方程y a bx称为线性回归方程 a b是线性回归方程的系数 线性回归方程必有解 用最小二乘法推导3个点的线性回归方程 设有3个点 x1 y1 x2 y2 x3 y3 则有最小二乘法可知直线y a bx与这3个点的接近程度由下面表达式刻画 把 式整理为关于a的二次函数f a 即 从而当时 函数f a 达到最小值 将a代入 式 整理成为关于b的二次函数g b 即 从而当时 函数g b 达到最小值 从而得到3个点 x1 y1 x2 y2 x3 y3 的线性回归方程 4 利用线性回归方程对总体进行估计 1 求线性回归方程y a bx 2 利用线性回归方程 我们可以进行预测 并对总体进行估计 即在x x0处的估计值为y a bx0 列表求 x1y1 x2y2 xnyn的值 由 求系数a和b 5 例题与练习 例1 在上一节练习中 从散点图可以看出 某小卖部6天卖出热茶的杯数 y 与当天的气温 x 之间是线性相关的 数据如下表 1 试用最小二乘法求出线性回归方程 2 如果某天的气温是 3oc 请预测这天可能会卖出热茶多少杯 解 1 根据要求列出下表 计算得 由系数公式得 于是 线性回归方程为 5 例题与练习 例1 在上一节练习中 从散点图可以看出 某小卖部6天卖出热茶的杯数 y 与当天的气温 x 之间是线性相关的 数据如下表 1 试用最小二乘法求出线性回归方程 2 如果某天的气温是 5oc 请预测这天可能会卖出热茶多少杯 解 2 根据 1 得到的线性回归方程 当某天的气温是 5oc时 卖出热茶的杯数估计为 点评 尽管我们利用线性回归方程所得到值仅是一个估计值 具有随机性 但我们是根据统计规律得到的 因而所得结论正确的概率是最大的 故我们可以放心大胆地利用线性回归方程进行预测 例2 下面是两个变量的一组数据 请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程 解 根据要求列出下表 计算得 由系数公式得 于是 线性回归方程为 例2 下面是两个变量的一组数据 请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程 点评 在本题中 从所给的数据中我们不难看出 满足函数y x2 是一条曲线 而我们利用最小二乘法进行估计时 所求出的是一条直线 因而估计也就失去了意义 利用最小二乘法估计时 要先作出散点图 如果散点图呈现一定的规律性 我们再根据这个规律性进行拟合 如果散点图呈现出线性关系 我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程 如果散点图呈现出其他的曲线关系 我们就要利用其他的工具进行拟合 三 课堂小结 1 求线性回归方程的步骤 列表求 x1y1 x2y2 xnyn的值 由 求系数a和b 写出线性回归方程y a bx 2 线性