高考数学 第二章 第二节 函数的单调性与最值课件 理 苏教版.ppt

第二节函数的单调性与最值 1 函数的单调性 1 单调函数的定义一般地 设函数y f x 的定义域为a 区间i a 如果对于区间i内的任意两个值x1 x2 且x1 x2 f x 在区间i上是单调增函数 f x1 f x2 f x 在区间i上是单调减函数 f x1 f x2 2 单调性 单调区间的定义如果函数y f x 在区间i上是单调增函数或单调减函数 则称函数y f x 在区间i上具有单调性 单调增区间和单调减区间统称为单调区间 2 函数的最大值和最小值 f x f x0 f x f x0 f x0 f x0 f x0 f x0 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数y 的单调递减区间是 0 0 2 若某一函数的最大值是1 最小值是0 则此函数的值域是 0 1 3 对于函数f x x d 若x1 x2 d且 x1 x2 f x1 f x2 0 则函数f x 在d上是单调增函数 4 函数y x 是r上的单调增函数 5 函数y x2在 1 上是单调增函数 则函数的单调增区间是 1 解析 1 错误 当x1 1 x2 1时 x1 x2 但f x1 f x2 因此 0 0 不是函数的单调递减区间 2 错误 函数的最大值是1 最小值是0 但不能保证它的函数值可以取遍区间 0 1 内的所有实数 3 正确 x1 x2 f x1 f x2 0 因此函数f x 是单调增函数 4 错误 函数y x 在 0 上是单调减函数 在 0 上是单调增函数 5 错误 函数y x2的单调增区间是 0 答案 1 2 3 4 5 1 如图为函数y f x x 5 4 的图象 则它的最大值是 最小值是 解析 由图可以知道 当x 2时 该函数取得最小值 2 当x 5时 函数取得最大值3 答案 3 2 2 如果二次函数f x 3x2 2 a 1 x b在区间 1 上是单调减函数 则a的取值范围是 解析 二次函数的对称轴是x 由题意知 1 解得a 2 答案 2 3 函数f x x 1 3 的最小值是 解析 函数f x 在区间 0 和 0 上都是单调减函数 所以在x 1 3 上也为减函数 所以当x 3时取最小值 f 3 答案 4 函数y 2k 1 x b在r上是单调减函数 则k的取值范围是 解析 由题意知2k 1 0 k 答案 5 f x x2 2x x 2 3 的单调增区间为 f x max 解析 f x x 1 2 1 故f x 的单调增区间为 1 3 f x max f 2 8 答案 1 3 8 考向1确定函数的单调性或单调区间 典例1 1 2013 南京模拟 函数f x log2 x2 4 的单调减区间为 2 2013 苏州模拟 已知函数f x x 0 判断f x 在 0 上的单调性 并证明你的结论 思路点拨 1 根据复合函数的单调性求解 2 用定义法或导数法求解 规范解答 1 由x2 4 0得x 2或x 2 即函数f x 的定义域为 2 2 令t x2 4 因为y log2t在t 0 上为单调增函数 t x2 4在x 2 上是单调减函数 所以函数f x log2 x2 4 的单调减区间为 2 答案 2 2 方法一 任取x1 x2 0 且x1 x2 则f x1 f x2 x1 x2 x1 x2 0 x2 x1 0 x1x2 0 从而 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 在 0 上单调递减 方法二 f x 0 在 0 上恒成立 f x 在 0 上单调递减 互动探究 若将本例题 1 中的函数改为f x 试求函数f x 的单调减区间 解析 函数f x 的定义域为 1 令t x 1 因为y 在t 0 上是减函数 t x 1在x 1 上为增函数 所以函数f x 的单调减区间为 1 拓展提升 1 函数单调性的判断方法 1 定义法 2 图象法 3 利用已知函数的单调性 4 导数法 2 复合函数的单调性复合函数y f g x 的单调性应根据外层函数y f t 和内层函数t g x 的单调性判断 遵循 同增异减 的原则 变式备选 用定义法判断函数y 在定义域上的单调性 解析 由x2 1 0得x 1或x 1 即函数的定义域为 1 1 设x1 x2 则f x1 f x2 x1 x2 0 0 当x1 x2 1 时 x1 x2 0 则f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故函数在 1 上是单调减函数 当x1 x2 1 时 x1 x2 0 则f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故函数在 1 上是单调增函数 考向2求函数的值域或最值 典例2 1 设函数g x x2 2 x r f x 则f x 的值域是 2 用min a b c 表示a b c三个数中的最小值 设f x min 2x x 2 10 x x 0 则f x 的最大值为 思路点拨 1 明确自变量的取值范围 先求每一部分的函数值范围 再取并集求值域 2 明确f x 的意义 数形结合求f x 的最大值 规范解答 1 解x g x x2 2得x2 x 2 0 则x 1或x 2 因此x g x x2 2的解为 1 x 2 于是f x 当x 1或x 2时 f x 当 1 x 2时 f x 且f 1 f 2 0 f x 0 由以上可得f x 的值域是 0 2 答案 0 2 2 由题意知函数f x 是三个函数y1 2x y2 x 2 y3 10 x中的较小者 作出三个函数在同一直角坐标系下的图象 如图实线部分为f x 的图象 可知a 4 6 为函数f x 图象的最高点 则f x max 6 答案 6 拓展提升 求函数最值的五种常用方法 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图象法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 4 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 5 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 提醒 分段函数的最大值是各段上最大值中的最大的一个 最小值是各段上最小值中的最小的一个 变式训练 1 函数f x 在区间 a b 上的最大值是1 最小值是 则a b 解析 易知f x 在 a b 上为减函数 答案 6 2 设f x x2 2ax 0 x 1 的最大值为m a 最小值为m a 试求m a 及m a 的表达式 解析 f x x2 2ax x a 2 a2 x 0 1 当a 0时 m a f 1 1 2a m a f 0 0 当0 a 时 m a f 1 1 2a m a f a a2 当 a 1时 m a f 0 0 m a f a a2 当a 1时 m a f 0 0 m a f 1 1 2a 综上知 考向3函数单调性的应用 典例3 1 已知函数f x 是定义在区间 0 上的函数 且在该区间上单调递增 则满足f 2x 1 f 的x的取值范围是 2 已知f x 满足对任意x1 x2 都有成立 那么a的取值范围是 思路点拨 1 根据单调性列不等式组求解 注意定义域 2 寻找f x 是增函数满足的条件 列不等式组求解 规范解答 1 由已知得答案 2 对任意x1 x2 都有 0成立 函数f x 是r上的增函数 答案 2 拓展提升 1 含 f 不等式的解法根据函数的单调性 解含有 f 的不等式时 要根据函数的性质 转化为如 f g x f h x 的形式 再利用单调性 转化为具体不等式求解 但要注意函数的定义域 2 函数值大小的比较方法比较函数值的大小时 若自变量的值不在同一个单调区间内 要利用其函数性质 转化到同一个单调区间上进行比较 对于填空题能数形结合的尽量用图象法求解 3 分段函数单调性的关注点对于分段函数的单调性 不仅要注意每一段上的单调性 还应注意端点处函数值的大小关系 变式训练 1 已知f x 是 上的单调减函数 那么a的取值范围是 解析 由题意知答案 2 已知函数f x 若f 2 a2 f a 则实数a的取值范围是 解析 f x 由f x 的图象可知f x 在 上是单调增函数 由f 2 a2 f a 得2 a2 a 即a2 a 2 0 解得 2 a 1 答案 2 1 易错误区 分段函数单调性的应用误区 典例 2013 无锡模拟 已知函数f x 则满足不等式f 1 x2 f 2x 的x的取值范围是 误区警示 本题易出现以下错误 由f 1 x2 f 2x 得1 x2 2x 忽视了1 x2 0导致解答失误 规范解答 画出f x 的图象 由图象可知 若f 1 x2 f 2x 答案 1 1 思考点评 解决分段函数的单调性问题时 应高度关注以下几个方面 1 强调单调性在解决不等式问题时的重要性 2 注意定义域对所求范围的影响 3 弄清最终结果取并还是取交 1 2013 扬州模拟 已知函数f x 在 0 上是增函数 g x f x 若g lgx g 1 则x的取值范围是 解析 因为f x 在 0 上是增函数 且 x 0 所以g x f x 在 0 上是减函数 在 0 上是增函数 g lgx g 1 f lgx f 1 lgx 1 x 10 答案 10 2 2013 南京模拟 函数f x x2 x t 在区间 1 2 上最大值为4 则实数t 解析 当 1 4t 0 即t 时 f x max f 2 4 2 t 6 t 4 t 2 舍去 当 0 即t 时 f 2 4或f 4 即 4 2 t 6 t 4或 t 2或t 答案 或2 3 2013 镇江模拟 已知函数f x 其中c 0 且f x 的值域是 2 则c的取值范围是 解析 当0 x c时 f x 单调递增 0 f x 当 2 x 0时 f x 在 2 上单调递减 在 0 上单调递增 f x 2 f x 的值域是 2 2 0 c 4 答案 0 4 4 2012 安徽高考 若函数f x 2x a 的单调递增区间是 3 则a 解析 作出函数f x 2x a 的图象 根据图象可得函数的单调递增区间