2015步步高理科数学第二讲 参数方程.doc

第二讲参数方程1参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上_的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在_，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称_相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做_2几种常见曲线的参数方程(1)直线：经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程是_(t为参数)(2)圆：以O(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是_，其中是参数当圆心在(0,0)时，方程(3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：椭圆1(ab0)的参数方程是_，其中是参数椭圆1(ab0)的参数方程是_，其中是参数(4)抛物线：抛物线y22px(p0)的参数方程是(t为参数)1(课本习题改编)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为_2椭圆(为参数)的离心率为_3已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|_.4(课本习题改编)直线(t为参数)的倾斜角为_5已知曲线C的参数方程是(t为参数)则点M1(0,1)，M2(5,4)在曲线C上的是_.题型一参数方程与普通方程的互化例1已知两曲线参数方程分别为(0b0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为sin()m(m为非零常数)与b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为_参数的几何意义不明致误典例：(10分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为2cos()(1)求直线l的倾斜角；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|.易错分析不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误规范解答解(1)直线的参数方程可以化为2分根据直线参数方程的意义，直线l经过点(0，)，倾斜角为60.4分(2)直线l的直角坐标方程为yx，6分2cos()的直角坐标方程为(x)2(y)21，8分所以圆心(，)到直线l的距离d.所以|AB|.10分温馨提醒对于直线的参数方程(t为参数)来说，要注意t是参数，而则是直线的倾斜角与此类似，椭圆参数方程的参数有特别的几何意义，它表示离心角方法与技巧1参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2sin21,1tan2.2利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法3经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：t0；|PM|t0|；|AB|t2t1|；|PA|PB|t1t2|.失误与防范在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅要把其中的参数消去，还要注意其中的x，y的取值范围也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性A组专项基础训练1若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为_2将参数方程(0t5)化为普通方程为_3(2013湖南)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，则常数a的值为_4(2013陕西)如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2y2x0的参数方程为_5已知曲线C：(参数R)经过点(m，)，则m_.6(2013重庆)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为cos 4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|_.7(2012天津)已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|MF|，点M的横坐标是3，则p_.8已知曲线C：(为参数)和直线l：(t为参数，b为实数)，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b_.9在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a_.10若直线l的极坐标方程为cos()3，圆C：(为参数)上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为_B组专项能力提升1已知抛物线C1的参数方程为(t为参数)，圆C2的极坐标方程为r(r0)，若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r_.2直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数为_3在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为_4在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知射线与曲线 (t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为_5已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆y21上的任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为_6已知圆C的参数方程为 (为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为_7(2013辽宁改编)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，cos2.(1)C1与C2交点的极坐标为_；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，则a，b的值分别为_答案基础知识自主学习要点梳理1任意一点这条曲线上参数普通方程2(1)(2)(3)夯基释疑12.3.44.505.M1题型分类深度剖析例1解析将两曲线的参数方程化为普通方程分别为y21 (0y1，x)和y2x，联立解得交点为.跟踪训练1cos sin 20解析由(t为参数)，得曲线C的普通方程为x2y22.则在点(1,1)处的切线l的方程为y1(x1)，即xy20.又xcos ，ysin ，l的极坐标方程为cos sin 20.例2解(1)由圆C的参数方程可得其标准方程为x2y216.因为直线l过点P(2,2)，倾斜角，所以直线l的参数方程为即(t为参数)(2)把直线l的参数方程代入圆C：x2y216中，得(2t)2(2t)216，t22(1)t80，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1t28，即|PA|PB|8.跟踪训练2解(1)x2y216.(2)将 代入x2y216，并整理得t23t90.设A、B对应的参数为t1、t2，则t1t23，t1t29.|AB|t1t2|3.例3解析化极坐标方程4cos 为直角坐标方程x2y24x0，所以曲线C是以(2,0)为圆心，2为半径的圆化参数方程(t为参数)为普通方程xy30.圆心到直线l的距离d，此时，直线与圆相离，所以|MN|的最小值为2.跟踪训练3解析椭圆C的标准方程为1，直线l的标准方程为xym，圆O的方程为x2y2b2，由题意知，a2b22b2，a23b2，e.练出高分A组1150解析由直线的参数方程知，斜率ktan ，为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150.2x3y50，x2,77解析化为普通方程为x3(y1)2，即x3y50，由于x3t222,77，故曲线为线段33解析椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则03a，a3.4.0解析由题意得圆的标准方程为2y22，设圆与x轴的另一交点为Q，则Q(1,0)，设点P的坐标为(x，y)，则OPOQcos cos .00，a.1031解析cos()3，cos sin 6，直线l的直角坐标方程为xy6.由圆C的参数方程知圆C的圆心为C(0,0)，半径r1.圆心C(0,0)到直线l的距离为3.dmin31.B组1.解析抛物线C1的普通方程为y28x，其焦点坐标是(2,0)，过该点且斜率为1的直线方程是yx2，即xy20.圆r的圆心是极点、半径为r，直线xy20与该圆相切，则r.22解析将参数方程化为普通方程求解将消去参数t得直线xy10；将消去参数得圆x2y29.又圆心(0,0)到直线xy10的距离d3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点3(1,1)解析化参数方程为普通方程然后解方程组求解C1的普通方程为y2x(x0，y0)，C2的普通方程为x2y22.由得C1与C2的交点坐标为(1,1)4.解析化射线的极坐标方程为普通方程，代入曲线方程求t值射线的普通方程为yx(x0)，代入得t23t0，解得t0或t3.当t0时，x1，y1，即A(1,1)；当t3时，x4，y4，即B(4,4)所以AB的中点坐标为.5.解析由于直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x2y0.因为P为椭圆y21上的任意一点，故可设P(2cos ，sin )，其中R.因此点P到直线l的距离是d.所以当k，kZ时，d取得最大值.6(1,1)和(1,1)解析ysin ，直线l的直角坐标方程为y1.由