数学建模培训题.doc

数学建模培训练习题一 某办工大楼有十一层高，办公室都安排在7、8、9、10、11层上，假设办公人员都乘电梯上楼，每层有60人办公，现有三台电梯A、B、C可利用，每层楼之间电梯的运行时间是3秒，最底层（一层）停留时间是20秒，其他各层若停留，则停留时间为10秒，每台电梯的最大的容量是10人，在上班前电梯只在7、8、9、10、11层停靠，为简单起见，假设早晨8：00以前办公人员已陆续到达一层，能保证每部电梯在底层的等待时间内（20秒）能达到电梯的最大容量，电梯在各层的相应的停留时间内办公人员能完成出入电梯，当无人使用电梯时，电梯应在底层待命，请问： 1把这些人都能送到相应办公楼层，要用多少时间？ 2怎样调度电梯,才能使得办公人员到达相应楼层所需总的时间尽可能的少？ 3请给出一种具体实用的电梯运行方案？ 二零晨1时，测得水库的水深为15m，零晨2时开始下雨,刚开始较小,但随后逐渐增大,零晨3时达到峰值1cm/h,然后逐渐减小,到早晨5时,雨量已降到4mm/h,之后雨继续减小,直至上午9时雨才停止.试建立从零晨1时起水库水深随时间t变化d(t)的模型,并计算上午9时水库的水深.三某零件上有一段曲线，为了在程序控制机床上加工这一零件，需要求这段曲线的解析表达式，在曲线横坐标xi处测得纵坐标yi共11对数据如下：xi02468101214161820yi0.62.04.47.511.817.123.331.239.649.761.7求这段曲线的纵坐标y关于横坐标x的二次多项式回归方程。四有四种不同规格的产品要分配在四台不同性能的机床上同时加工，由于产品的规格不同和机床的性能各异，因此每一种产品在不同机床上加工的工时定额也不同，其工时定额列于下表。问应如何合理地分配加工任务，才能使总的加工时间最少？产品机床12341750161220134035321162542448274316五某超市有四个收款台，每个顾客的付款计算时间与顾客所购的商品数成正比（每件1秒）。20%的顾客用支票或信用卡支付，每人需要1.5分钟；用现金仅需0.5分钟。有人提议设一个快速服务台专为购买8件或8件以下商品的顾客服务，并指定两个收款台为现金支付柜台。试建模比较现有的收款方式和建议的方式的运行效果。假设顾客到达的平均间隔时间为0.5分钟。顾客购买的商品数按下列的频数表分布。件数50相对频率0.12 0.1.0.180.280.200.12六辖区警务资源的合理配置和经费的合理使用 据报道，“五一”期间，在执勤的人民广场派出所巡警身上佩戴着新的巡警“八件套”，包括手枪、手铐、警棍、警绳、对讲机、工作包、强光手电等。据息，5月1日一早人民广场派出所的24名警力就上街执勤了。全市有400余辆警车和600辆专用巡逻自行车投入到节日大巡逻当中。节日期间，每天将有6000余名警力、4000余名巡防辅助力量和这些高科技监控设施、警用装备在全市大街小巷进行人机合一的全方位防控，确保市民及游客平安快乐地度过“五一”假期。问题：假设某个派出所现有警车三辆，警员30人，其中巡警20人，巡防辅助人员可自主聘用，每位聘用人员月薪400元，新巡逻自行车可自主购买，一辆700元，在辖区内巡逻时警车时速40公里/小时，车上必有一名巡警和三名以下的巡防辅助人员，巡逻自行车时速20公里/小时，步行巡逻时速10公里/小时。所里每年有下拨的警务经费5万元，全部用于聘人和购自行车，请你制定一个最佳的经费使用方案和辖区巡视方案：1。使得辖区内的各种案件发生率最低；2。当辖区内任一处发生报警时，警务人员能在5分钟内赶到现场，至少需要经费多少元；3。用通俗的语言写一篇短文给派出所领导，阐明你的方案。附辖区平面图：A11A12A13A14A15A16A17B11B12B13B14B15B16B17C11C12C13C14C15C16C17D11D12D13D14D15D16D17E11E12E13E14E15E16E17F11学F12（门）校F13F14F15F16（门）F17G11G12G13G14 工厂H11H12H13H14H15H17说明：线代表街道，边长为400米； C11至C17为商业街；H11至H17紧靠大山；D13 为派出所所在地；C16是银行所在地。七医疗保障基金额度的分配某集团下设两个子公司：子公司A、子公司B。各子公司财务分别独立核算。每个子公司都实施了对雇员的医疗保障计划，由各子公司自行承担雇员的全部医疗费用。过去的统计数据表明，每个子公司的雇员人数以及每一年龄段的雇员比例，在各年度都保持相对稳定。各子公司各年度的医疗费用支出见下表。 表 公司A、公司B的医疗费用支出（单位：万元）年度公司A公司B19808.288.8119818.769.3119829.2910.41198310.7311.61198410.8811.39198511.3412.53198611.9713.58198712.0213.70198812.1613.32198912.8314.32199013.9015.84199114.7114.67199216.1114.99199316.4014.56199417.0714.55199516.9614.80199616.8815.41199717.2015.76199819.8716.76199920.1917.68200020.0017.33200119.8117.03200219.4016.95200320.4816.66试利用多项式数据拟合，得到每个公司医疗费用变化函数，并绘出标出原始数据的拟合函数曲线。需给出三种不同阶数的多项式数据拟合，并分析拟合曲线与原始数据的拟合程度。八城市快速交通线项目问题随着经济和社会的快速发展，我们不得不面对城市快速交通线项目问题。城市快速交通线项目的建设与运营涉及公众利益，政府通常要对票价实行管制。票价的高低影响到公众的利益、项目投资者的利益和政府的财政支出。因此，应兼顾公众利益、投资者利益和政府的财政支付能力。要求：1试建立最优票价模型，从而为乘客选择交通工具提供指导。2城市快速交通线项目票价和运量之间存在着相关关系，对于城市快速交通线项目，需要兼顾公众的利益、项目投资者的利益和政府的承受能力。请建立数学模型，结合运量预测研究票价的合理水平。3当项目的票款收入不足于维持正常运营或不足于使民间投资者获得合理的投资回报时，政府需要采取适当的方式给予投资者以合理的经济补偿。试分析并确定合理的年经济补偿或一次性的经济补偿。九房地产销售问题我市某房地产公司通过对历史资料进行回归分析（即数据拟合），并结合2008年上半年可能出现的影响楼盘销售的因素，预测该公司2008年上半年的销售情况如下表所示：月 份1 2 3 4 5 6 销售量（套）42 32 41 67 25 29 该公司的楼盘2007年12月的销售均价为4800元/平方米，平均每套120平方米，2008年上半年的售价保持不变。2007年12月末尚有49套现房未售出。商品房从规划到售出会发生下列费用：（1）建造成本，包括固定成本（主要是指购地、机器设备的折旧）和可变成本（钢材、水泥、装饰材料和人工成本等，其中人工成本在可变成本中占到大约40%），按照2007年12月份的建材价格计算，可变成本（万元）与商品房建造套数（以平均每套120平方米计算）的平方成正比，比例系数为0.5。且可变成本与建材价格上涨幅度有关，例如建材价格上涨10%，则可变成本是按前面方法计算结果的1.1倍。（2）销售费用，与当月销售金额成正比。（3）折旧，建造好的商品房未售出的必须计提折旧，折旧分40年平均摊销，即该公司生产的商品房平均每套每月的折旧为48万元/（40*12）=0.1万元。近年以来，央行和国家发改委等部门出台了一系列措施平抑建材价格，但由于对建材需求结构而言，总体上求大于供的市场状况没有得到根本改善，预计今年建材的价格仍会有一定的增长。预计的增长速度（以2007年12月的价格为基准）见下表：月 份1 2 3 4 5 6 增长速度10% 10% 15% 15% 20% 20% 该公司希望在上半年就把建造好的房屋全部销售完，为使利润最大化，需要制定出从2008年1月到6月每月的建造计划（即每月完成多少套，以平均每套120平方米计算）。（1）如果公司的月建造能力没有限制，并允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在6月底前要全部完成交房，如何制定月建造计划？（2）如果公司的月建造能力限于33套（以平均每套120平方米计算），并且允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在6月底前要全部完成交房，又该如何制定月建造计划？十销售预测一家商场2003-2005年各季度的销售额数据如表一所示，试建立一个多元回归模型预测2006、2007年各季度的销售额。表一 2003-2005各季度销售额季度/年销售额（万元）2003年2004年2005年1389038404125225002190314631989176524344436542134531十一。成绩评价表一搜集的是我校七个学院学生在四门课程期末考试当中的平均分，请根据表中的数据对各学院的学习情况进行模糊聚类分析。表一 平均成绩表课程名称理学院经管学院生科院资环学院水产学院园林学院水产学院微积分80.5675.3270.1269.4372.3668.7377.87线性代数80.4374.9176.5878.5681.1170.5977.12概率统计76.6170.3878.2268.9569.8574.3872.55英语70.4876.5473.1575.8174.1480.5470.13.十二。有价证券投资某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级，到期年限、收益如下表所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50的税率纳税，此外还有以下限制：（1） 政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；（2） 所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)；（3） 所购证券的平均到期年限不超过5年。证券名称证券种类信用等级到期年限/年到期税前收益/%A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5试问：1） 若该经理有1000万元资金，应如何投资？2） 如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？并考虑利率在什么范围内变化时，投资方案不改变？在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？十三.水库排污问题某条江流上有2条支流，每条支流上都兴建了规模相当的水库。由于正处在雨水多发季节，因此两个水库都以一定规模的流量进行泄洪。某天晚上10：00，在其中的一个水库中发生了两船相撞的事故，而其中的一条船装载的p吨化学物质（这里的化学物质可以是具有挥发性的，也可能是急难挥发的）全部泄漏至水库中。当水上航运事故处置中心接获事故报告，立即要求该水库关闭水库泄洪闸，以免化学物质随洪水流入干流，发生更大规模的污染。水库闸门开始关闭时，已经处在事故发生后的1个小时，而水库闸门彻底关闭也需要1个小时的时间。 根据当地环境监测的有关规定，干流大面积污染的危险警戒值设为：三小时内q吨该化学物质发生泄漏。(1) 试建立合理的数学模型，讨论由于此次事故的发生，干流发生大面积污染的可能性；(2) 如果在另外的一水库中有一化工厂违规排放废料。废料中同样含有该化学物质。该工厂为躲避环境监测站的监控，均在晚上9：00-12：00违规进行周期性排放。在这种情形下，讨论由于此次事故的发生，干流发生大面积污染的可能性；(3) 如果以上两个水库间有一条人工修建的水渠相连接，水渠中的水流流向不定，但保证两水库之间的水流能够相互影响。那么上述结果是否会改变？请给出说明，若有改变，则给出修正的模型及结果；(4) 如果发生了大面积污染，那么针对第三种情况，试给出在短时间内控制污染模型。十四.影院座位设计问题下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角和仰角。视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求不超过。设影院屏幕高h, 上边缘距地面高H，地板线倾角，第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d和D, 观众平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）。已知参数 h=1.8， H=5，d=4.5 ，D=19，c=1.1（单位：m）。(如图所示)(1) 地板线倾角，问最佳座位在什么地方。(2)