高优指导高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值课件 理 北师大版.ppt

3 2导数与函数的单调性 极值 最值 2 考纲要求 1 了解函数的单调性与导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数不超过三次 3 1 导函数的符号和函数的单调性的关系 1 如果在某个区间内 函数y f x 的导数f x 0 则在这个区间上 函数y f x 是增加的 2 如果在某个区间内 函数y f x 的导数f x 0 则在这个区间上 函数y f x 是减少的 2 函数的极值与导数 1 函数的极大值点和极大值 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都小于x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的极大值点 其函数值f x0 为函数的极大值 2 函数的极小值点和极小值 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都大于x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的极小值点 其函数值f x0 为函数的极小值 3 极值和极值点 极大值与极小值统称为极值 极大值点与极小值点统称为极值点 4 4 求可导函数极值的步骤 求出导数f x 解方程f x 0 对于方程f x 0的每一个解x0 分析f x 在x0左 右两侧的符号 即f x 的单调性 确定极值点 若f x 在x0两侧的符号 左正右负 则x0为极大值点 若f x 在x0两侧的符号 左负右正 则x0为极小值点 若f x 在x0两侧的符号相同 则x0不是极值点 5 3 函数的最值与导数 1 最大值点 函数y f x 在区间 a b 上的最大值点x0指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f x0 函数的最小值点也有类似的意义 2 函数的最大值 最大值或者在极大值点取得 或者在区间的端点取得 3 最值 函数的最大值和最小值统称为最值 4 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 求f x 在 a b 内的极值 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 6 1 2 3 4 5 1 下列结论正确的打 错误的打 1 已知函数f x 在 a b 内可导 则f x 0是f x 为增函数的充要条件 2 函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的 3 对可导函数f x f x0 0是x0点为极值点的充要条件 4 函数的极大值不一定比极小值大 5 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 7 1 2 3 4 5 2 如图是函数y f x 的导函数f x 的图像 则下面判断正确的是 a 在区间 2 1 上f x 是增加的b 在区间 1 3 上f x 是减少的c 在区间 4 5 上f x 是增加的d 在区间 2 3 上f x 不是单调函数 答案 解析 8 1 2 3 4 5 3 函数f x x2 lnx的最小值是 a 0b c 1d 不存在 答案 解析 9 1 2 3 4 5 4 如图是f x 的导函数f x 的图像 则f x 的极小值点的个数为 答案 解析 10 1 2 3 4 5 5 若函数f x x3 ax 2在 1 上是增加的 则实数a的取值范围是 答案 解析 11 1 2 3 4 5 自测点评1 函数f x 在区间 a b 上递增 则f x 0 f x 0在 a b 上成立 是 f x 在 a b 上单调递增 的充分不必要条件 2 对于可导函数f x f x0 0 是 函数f x 在x x0处有极值 的必要不充分条件 如函数y x3在x 0处导数为零 但x 0不是函数y x3的极值点 3 求最值时 应注意极值点和所给区间的关系 关系不确定时 需要分类讨论 不可想当然认为极值就是最值 4 函数最值是 整体 概念 而函数极值是 局部 概念 极大值与极小值之间没有必然的大小关系 12 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点1利用导数研究函数的单调性例1 2015兰州 张掖联考 已知函数f x lnx g x f x ax2 bx 其中g x 的函数图像在点 1 g 1 处的切线平行于x轴 1 确定a与b的关系 2 若a 0 试讨论函数g x 的单调性 思考 如何利用导数的方法研究函数的单调性 13 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 14 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 15 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 16 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 如何利用导数的方法研究函数的单调性 解题心得 1 导数法求函数单调区间的一般流程 求定义域 求导数f x 求f x 0在定义域内的根 用求得的根划分定义区间 确定f x 在各个开区间内的符号 得相应开区间上的单调性 2 利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号 当f x 不含参数时 解不等式f x 0 或f x 0 直接得到单调递增 或递减 区间 当f x 含参数时 需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 3 若可导函数f x 在指定的区间d上单调递增 减 求参数范围问题 可转化为f x 0 或f x 0 恒成立问题 从而构建不等式 要注意 是否可以取到 17 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练1 2015浙江嘉兴质检 已知函数 1 当时 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在 1 1 上为单调函数 求实数a的取值范围 令f x 0 得ex 1或ex 2 即x 0或x ln2 令f x 0 则xln2 令f x 0 则0 x ln2 f x 的递增区间是 0 ln2 递减区间是 0 ln2 18 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 19 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 20 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点2利用导数研究函数的极值例2 2015天津模拟 已知函数f x lnx a2x2 ax a r 1 求f x 的单调区间与极值 2 若函数在区间 1 上单调递减 求实数a的取值范围 21 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 22 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 23 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 函数的导数与函数的极值有怎样的关系 解题心得 1 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 2 若函数y f x 在区间 a b 内有极值 那么y f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间上单调函数没有极值 3 利用导数研究函数极值的一般流程 24 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练2已知函数f x ae2x be 2x cx a b c r 的导函数f x 为偶函数 且曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线的斜率为4 c 1 确定a b的值 2 若c 3 判断f x 的单调性 3 若f x 有极值 求c的取值范围 25 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 26 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 27 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 28 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点3利用导数研究函数的最值 29 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 30 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 求函数的最值可划分为哪几步 解题心得 求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点的函数值f a f b 3 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 31 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练3若函数f x 1 x2 x2 ax b 的图像关于直线x 2对称 则f x 的最大值为 答案 16 32 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 33 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 34 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 1 函数y f x 在 a b 内可导 f x 在 a b 上任意子区间内都不恒等于零 则f x 0 f x 在 a b 上为增函数 f x 0 f x 在 a b 上为减函数 2 求可导函数极值的步骤 1 求f x 2 求f x 0的根 3 判定根两侧导数的符号 4 下结论 3 求函数f x 在区间 a b 上的最大值与最小值时 首先求出各极值及区间端点处的函数值 然后比较其大小 得结论 最大的就是最大值 最小的就是最小值 35 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 1 注意定义域优先的原则 求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行 2 求函数最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过认真比较才能下结论 3 一个函数在其定义域内最值是唯一的 可以在区间的端点取得 4 解题时 要注意区分求单调性和已知单调性