范数的定义.doc

3.3 范数3.3.1 向量范数在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。绝对值是一种度量形式的定义。范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。任何对象的范数值都是一个非负实数。使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。向量范数是度量向量长度的一种定义形式。范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。若X是数域K上的线性空间，泛函 : X-R 满足： 1. 正定性：x0，且x=0 x=0； 2. 正齐次性：cx=cx； 3. 次可加性(三角不等式)：x+yx+y 。 那么称为X上的一个范数。常用范数这里以Cn空间为例，Rn空间类似。 最常用的范数就是p-范数。若x=x1,x2,.,xnT，那么 xp=(|x1|p+|x2|p+.+|xn|p)1/p 可以验证p-范数确实满足范数的定义。其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。 当p取1，2，的时候分别是以下几种最简单的情形： 1-范数：x1=x1+x2+xn 2-范数：x2=(x12+x22+xn2)1/2 -范数：x=max(x1,x2,xn) 其中2-范数就是通常意义下的距离。矩阵范数一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：XYXY。所以矩阵范数通常也称为相容范数。 如果是相容范数，且任何满足的范数都不是相容范数，那么称为极小范数。对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数，总存在唯一的实数k0，使得k是极小范数。 注：如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为mxn矩阵全体和mn维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，这一点和算子范数的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。矩阵的相关定义特殊矩阵类别对称矩阵是相对其主对角线（由左上至右下）对称， 即是 ai,j=aj,i。 埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称， 即是 ai,j=a*j,i。 特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对， 是 ai,j=ai+1,j+1。 随机矩阵所有列都是概率向量， 用于马尔可夫链。逆矩阵： 设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。矩阵可逆的条件A是可逆矩阵的充分必要条件是A0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。（当A=0时，A称为奇异矩阵）1 逆矩阵的求法:A(-1)=(1/|A|)A* ，其中A(-1)表示矩阵A的逆矩阵，其中|A|为矩阵A的行列式，A*为矩阵A的伴随矩阵。 逆矩阵的另外一种常用的求法： (A|E)经过初等变换得到(E|A(-1)。 注意：初等变化只用行运算，不能用列运算。E为单位矩阵。 逆矩阵具有以下性质：1 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。 2 可逆矩阵一定是方阵。 3 如果矩阵A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的。 4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。 5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。 6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。 7 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。 matlab中的求法：inv(a)或a-1。 例如： a = 8 4 9 2 3 5 7 6 1 a-1 ans = 0.1636 -0.3030 0.0424 -0.2000 0.3333 0.1333 0.0545 0.1212 -0.0970 inv(a) ans = 0.1636 -0.3030 0.0424 -0.2000 0.3333 0.1333 0.0545 0.1212 -0.0970 以下是对MATLAB中Inv用法的解释。 原文（来自matlab help doc） In practice, it is seldom necessary to form the explicit inverse of a matrix. A frequent misuse of inv arises when solving the system of linear equations Ax=B . One way to solve this is with x = inv(A)*B.A better way, from both an execution time and numerical accuracy standpoint,is to use the matrix division operator x = Ab. 实际上，很少需要矩阵逆的精确值。在解方程 Ax=B的时候可以使用x = inv(A)*B， 但通常我们求解这种形式的线性方程时，不必要求出A的逆矩阵，在MATLAB中精度更高，速度更快的方法是用左除x = Ab。 另外，用LU分解法的速度更快，只是要多写一条LU分解语句。 速度可以通过matlab中tic和toc来估算运行的时间。伴随矩阵定义 A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 1.用A的第i 行第j 列的代数余子式把第j 行第i 列的元素替换，记为(Aij) 2.符号位为 (-1)（i+j） 3.用 A(ij)=(-1)(i+j) x (Mij) 表示 即： m x n矩阵的伴随矩阵A*为 A11 A21 A31.Am1 A12. Am2 A13 .Am3 . . A1n. Amn 例如：A是一个2x2矩阵，则A的伴随矩阵 A* 为 M22,-M12 -M21, M11 原矩阵为 a11，a12 a21，a22 （余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵） 伴随矩阵的性质： 原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如 1 2 3 2 3 1 - 3 1 2 +5 -1 -7 -1 -7 5 -7 5 -1 其中1对应5 ； 2 对应-1； 3对应-7； 等等 伴随矩阵的求法: 当矩阵是大于等于二阶时： 主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式. 非主对角元素 是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的. 主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以(-1)(x+y)=(-1)(2x)=1,一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。 常用的可以记一下： a b 1/(ad-bc) (d -c c d -b a) 当矩阵的阶数等于一阶时，他的伴随矩阵为一阶单位方阵.矩阵特征值设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。 求矩阵特征值的方法 Ax=mx，等价于求m，使得(mI-A)x=0，其中I是单位矩阵，0为零矩阵。 |mI-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mI-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。 如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 . mn，则|A|=m1*m2*.*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(