向量与向量法.doc

AFEBCDA1B1C1D1例题1：如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，ABCD，AB=2AD2DC2，E为BD1的中点，F为AB的中点.(1)求证：EF平面ADD1A1；(2)若BB1，求A1F与平面DEF所成角的大小.AFEBCDA1B1C1D1xyzG解析：(1)连结AD1，在ABD1中，E、F分别是BD1、AB的中点，EFAD1.又EF平面ADD1A1EF平面ADD1A1(2)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz(DG是AB边上的高)则有A1()，F(，0)D1(0，0，)，B(，0)E()设平面DEF的法向量为(x，y，z)则解得yx，zx取非零法向量(1，)A1F与平面DEF所成的角即是所成锐角的余角由cosA1F与平面DEF所成角的大小为arccos，即arcsin.点评：立体几何中，二面角问题几乎每年必考，几何法也有很多解决方法，如直接法、垂面法、三垂线法、面积射影法等等，这些方法都离不开严密的逻辑证明.而向量法则以算代证，从一定程度上减轻了对逻辑思维的要求，但也应该注意到，向量法计算较为烦琐，运算量较大，必须小心谨慎，否则也极易出现差错.例题2.如图，在四棱锥EABCD中，AB平面BCE，CD平面BCE，ABBCCE2CD 2, BCE1200(1)求证：平面ADE平面ABE ；(2)求点C到平面ADE的距离.解:取BE的中点O,连OC.xyzOBCCE, OCBE.又AB平面BCE.以O为原点建立空间直角坐标系O如图，则由已知条件有:,(1).设平面ADE的法向量为=，则由及可取又AB平面BCE. ABOC.OC平面ABE平面ABE的法向量可取为m.m0, m平面ADE平面ABE.点C到平面ADE的距离为AA1B1C1ED1FDCB例题3.如图：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，棱长AA1a.(1)证明：ADD1F；(2)求AE与D1F所成的角；(3)求四面体A1D1EF的体积。解法一：设基底 ABCDA1B1C1D1是正方体，棱长为a a且 (1) 0 即 ADD1F(2) cos 0 90也就是AE与D1F所成角为90.(3)取CC1中点G，因为EG平面A1D1F，则四面体A1D1EF的体积等于四面体A1D1GF的体积.即VA1D1EFVA1D1FGSD1FGA1D1a2aa3.解法二：以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。于是有：D(0，0，0)，A(a，0，0)，D1(0，0，a)，E(a，a，)，F(0，0) (0，0，0)(a，0，0)(a，0，0) (0，0)(0，0，a)(0，a) (a，a，)(a，0，0)(0，a，) (0，0)(a，a，)(a，)(1) (a，0，0)(0，a)0 即 ADD1F(2) cos0 90(3)设平面A1D1F的一个法向量为(x，y，z)由且(a，0，0)x0由且(0，a)得y2z0不妨设y2，z1，则(0，2，1)于是面A1D1F上的高为d|而SA1D1FA1D1D1Faaa2Va2a3.CBAMNP练习.如图，三角形ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，AN2NC，AM与BN相交于点P，求AP:PM的值.解：设，则又设则由得 AP:PM41(四)复习建议1.向量部分的复习应该注重向量的工具作用，紧紧围绕数形结合思想，扬长避短，解决问题；2.向量与立体几何的交汇是近年来的考查热点，命题者往往会将试题命制为几何法与向量法都能求解，但我们一定要注意他们各自的优势和弱点：向量法下手容易，思路简单，但相对计算复杂；几何法过程通常较为