山东省淄博实验中学高三数学上学期第一次诊断试卷 理（含解析）.doc

山东省淄博实验中学2015届高三 上学期第一次诊断数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共50分）1（5分）设集合a=xr|x20，b=xr|x0，c=xr|x（x2）0，则“xab”是“xc”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d即不充分也不必要条件2（5分）已知函数f（x）=（x23x+2）lnx+2008x2009，则方程f（x）=0在下面哪个范围内必有实根（）a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（2，4）3（5分）函数y=2xx2的图象大致是（）abcd4（5分）三个数a=0.312，b=log20.31，c=20.31之间的大小关系为（）aacbbabccbacdbca5（5分）已知tan=2，则sin2sincos的值是（）abc2d26（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|ax，则a的取值范围是（）a（，0b（，1c2，1d2，07（5分）定义在r上的函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x）=f（x+4），且x（1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）a1bc1d8（5分）由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（）abcd2ln29（5分）若函数f（x）在r上可导，且满足f（x）xf（x），则（）a2f（1）f（2）b2f（1）f（2）c2f（1）=f（2）df（1）=f（2）10（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中dcba0，则abcd的取值范围是（）a（16，21）b（16，24）c（17，21）d（18，24）二.填空题（每小题5分，共25分）11（5分）设命题p：a0，a1，函数f（x）=a2xa有零点，则p：12（5分）设p：|2x+1|m（m0），若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为13（5分）已知函数y=log2（ax1）在（1，2）单调递增，则a的取值范围为14（5分）已知x0，y0，且x+y=1，则的最小值为15（5分）若实数x，y满足，则的取值范围是三.解答题（16-19题每题12分，20题13分，22题14分，共75分）16（12分）已知a0，a1，设p：函数y=loga（x+1）在（0，+）上单调递减；q：曲线y=x2+（2a3）x+1与x轴交于不同的两点如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围17（12分）已知cos=，cos（）=，且0，（）求tan2的值；（）求18（12分）设ar，解关于x的不等式ax2+（12a）x2019（12分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？20（13分）已知函数为奇函数（）若f（1）=5，求函数f（x）的解析式；（）当a=2时，不等式f（x）t在1，4上恒成立，求实数t的最小值；（）当a1时，求证：函数g（x）=f（2x）c（cr）在（，1上至多有一个零点21（14分）已知函数g（x）=alnx，f（x）=x3+x2+bx（1）若f（x）在区间1，2上不是单调函数，求实数b的范围；（2）若对任意x1，e，都有g（x）x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）当b=0时，设f（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点p，q，使得poq是以o（o为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由山东省淄博实验中学2015届高三上学期第一次诊断数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共50分）1（5分）设集合a=xr|x20，b=xr|x0，c=xr|x（x2）0，则“xab”是“xc”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用 专题：简易逻辑分析：化简集合a，c，求出ab，判断出ab与c的关系是相等的即充要条件解答：解：a=xr|x20=x|x2ab=x|x2或x0c=xr|x（x2）0=x|x2或x0ab=c“xab”是“xc”的充要条件故选c点评：本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，先化简各个命题考查充要条件的定义2（5分）已知函数f（x）=（x23x+2）lnx+2008x2009，则方程f（x）=0在下面哪个范围内必有实根（）a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（2，4）考点：根的存在性及根的个数判断；函数与方程的综合运用 专题：函数的性质及应用分析：本题即求函数零点所在的区间，将各个答案代入检验，通过排除于筛选，得出正确的答案解答：解：函数f（x）为连续函数，且f（1）=10，f（2）=40162009=20070，故函数f（x）的零点在（1，2）上，故答案选 b点评：本题即求函数零点所在的区间，函数与方程的综合运用3（5分）函数y=2xx2的图象大致是（）abcd考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：分别画出y=2x，y=x2的图象，由图象可以函数与x轴有三个交点，且当x1时，y0，故排除bcd，问题得以解决解答：解：y=2xx2，令y=0，则2xx2=0，分别画出y=2x，y=x2的图象，如图所示，由图象可知，有3个交点，函数y=2xx2的图象与x轴有3个交点，故排除bc，当x1时，y0，故排除d故选：a点评：本题主要考查了图象的识别和画法，关键是掌握指数函数和幂函数的图象，属于基础题4（5分）三个数a=0.312，b=log20.31，c=20.31之间的大小关系为（）aacbbabccbacdbca考点：不等式比较大小 专题：函数的性质及应用分析：利用指数函数和对数函数的单调性即可得出解答：解：00.3120.310=1，log20.31log21=0，20.3120=1，bac故选c点评：熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键5（5分）已知tan=2，则sin2sincos的值是（）abc2d2考点：三角函数的化简求值 分析：先在sin2sincos加上分母1，即 ，然后分子分母同时除以cos2即可得到关于tan的关系式，进而得到答案解答：解：因为sin2sincos=故选a点评：本题是基础题，考查三角函数的值的求法，注意齐次式的应用，考查计算能力6（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|ax，则a的取值范围是（）a（，0b（，1c2，1d2，0考点：对数函数的单调性与特殊点 专题：函数的性质及应用分析：依题意，作出y=|f（x）|与y=ax的图象，由图分析当x0时，g（x）=|f（x）|=（x2+2x）=x22x，g（x）|x=0=（2x2）|x=0=2，当2a0时，|f（x）|ax，于是可得答案解答：解：f（x）=，y=|f（x）|与y=ax的图象如下：由图可知，当x0时，g（x）=|f（x）|=（x2+2x）=x22x，g（x）|x=0=（2x2）|x=0=2，当2a0时，|f（x）|ax，故选：d点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点，考查分段函数的作图与函数恒成立问题，考查导数的几何意义，属于难题7（5分）定义在r上的函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x）=f（x+4），且x（1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）a1bc1d考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：由log220（4，5），可得4log220（1，0），结合定义在r上的函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x）=f（x+4），可得：f（log220）=f（log2204）=f（4log220），再由x（1，0）时，f（x）=2x+，可得答案解答：解：log220（4，5），log2204（0，1），4log220（1，0），又定义在r上的函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x）=f（x+4），f（log220）=f（log2204）=f（4log220），x（1，0）时，f（x）=2x+，f（4log220）=+=+=1620+=1，故f（log220）=1，故选：c点评：本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档8（5分）由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（）abcd2ln2考点：定积分在求面积中的应用 分析：由题意画出图形，再利用定积分即可求得解答：解：如图，面积故选d点评：本题主要考查定积分求面积9（5分）若函数f（x）在r上可导，且满足f（x）xf（x），则（）a2f（1）f（2）b2f（1）f（2）c2f（1）=f（2）df（1）=f（2）考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：根据条件f（x）xf（x）可构造函数g（x）=，然后得到函数的单调性，从而得到所求解答：解：设g（x）=，则g（x）=，f（x）xf（x），g（x）0，即g（x）在（0，+）上单调递增，即2f（1）f（2）故选：a点评：本题主要考查了导数除法的运算法则，以及利用构造法是解题的关键，同时考查了运算求解的能力，属于基础题10（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中dcba0，则abcd的取值范围是（）a（16，21）b（16，24）c（17，21）d（18，24）考点：对数函数图象与性质的综合应用 专题：数形结合；函数的性质及应用分析：根据图象可判断：，1b2，2c4，6d8，当直线y=t，0t4，可以有4个交点，通过图象运动可以判断1146=24，=16，直线越往上走abcd的积越小，越往下abcd的积越大，即可求出答案解答：解：若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中dcba0根据图象可判断：，1b2，2c4，6d8，当直线y=t，0t4，可以有4个交点，把直线向上平移，向下平移，可判断：直线越往上走abcd的积越小，越往下abcd的积越大，当t=0时1146=24，当t=4时，=16，abcd的取值范围是（16，24），故选：b点评：本题综合考查了函数图象的运用，求解两个图象的交点问题，运用动的观点解决，理解好题意是解题关键二.填空题（每小题5分，共25分）11（5分）设命题p：a0，a1，函数f（x）=a2xa有零点，则p：a0，a1，函数f（x）=a2xa没有零点考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：a0，a1，函数f（x）=a2xa有零点，则p：a0，a1，函数f（x）=a2xa没有零点故答案为：a0，a1，函数f（x）=a2xa没有零点点评：本题考查命题的否定，注意全称命题与特称命题的否定关系12（5分）设p：|2x+1|m（m0），若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（0，2考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：探究型分析：先化简p，q，利用p是q的充分不必要条件，建立不等式关系进行求解解答：解：m0，不等式|2x+1|m等价为m2x+1m，解得，即p：由，即（x1）（2x1）0，解得x1或x即q：x1或xp是q的充分不必要条件，解得m2，m0，0m2，即实数m的取值范围为（0，2故答案为：（0，2点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法注意端点值等号的取舍问题13（5分）已知函数y=log2（ax1）在（1，2）单调递增，则a的取值范围为1，+）考点：对数函数的单调性与特殊点 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得 a110，由此解得a的取值范围解答：解：函数y=log2（ax1）在（1，2）上单调递增，a110，解得a1，故a的取值范围为1，+），故答案为1，+）点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，属于基础题14（5分）已知x0，y0，且x+y=1，则的最小值为3考点：基本不等式 专题：导数的综合应用分析：由已知x0，y0，且x+y=1，可得0x1，y=1x代入可得=f（x），再利用导数研究其单调性即可得出解答：解：x0，y0，且x+y=1，0x1，y=1x=f（x），f（x）=0，函数f（x）在0，1上单调递增当x=0时，f（x）取得极小值即最小值3故答案为：3点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于基础题15（5分）若实数x，y满足，则的取值范围是（，3）考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，设z=，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论解答：解：不等式组对应的平面区域如图：设z=，则z的几何意义是区域内的点与原点的斜率，则由图象可知，oa的斜率最大，ob的斜率最小，由，解得，即a（，），此时oa的斜率k=，由，解得，即b（，12），此时ob的斜率k=，则z3，即的取值范围是（，3），故答案为：（，3）点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键三.解答题（16-19题每题12分，20题13分，22题14分，共75分）16（12分）已知a0，a1，设p：函数y=loga（x+1）在（0，+）上单调递减；q：曲线y=x2+（2a3）x+1与x轴交于不同的两点如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围考点：复合命题的真假；二次函数的性质；对数函数的单调性与特殊点 专题：分类讨论分析：根据对数函数的单调性我们易判断出命题p为真命题时参数a的取值范围，及命题p为假命题时参数a的取值范围；根据二次函数零点个数的确定方法，我们易判断出命题q为真命题时参数a的取值范围，及命题q为假命题时参数a的取值范围；由p且q为假命题，p或q为真命题，我们易得到p与q一真一假，分类讨论，分别构造关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案解答：解：若p为真，则0a1若q为真，则0即（2a3）240解得a或ap且q为假，p或q为真，p与q中有且只有一个为真命题（a0且a1）若p真q假，则a1若p假q真，则a综上所述，a的取值范围为：，1）（，+）点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，二次函数的性质，对数函数的性质，其中根据二次函数及对数函数的性质判断两个命题为真或为假时参数a的取值范围，是解答本题的关键17（12分）已知cos=，cos（）=，且0，（）求tan2的值；（）求考点：两角和与差的余弦函数；三角函数值的符号；三角函数中的恒等变换应用 专题：计算题分析：（1）欲求tan2的值，由二倍角公式知，只须求tan，欲求tan，由同角公式知，只须求出sin即可，故先由题中cos的求出sin 即可；（2）欲求角，可通过求其三角函数值结合角的范围得到，这里将角配成=（），利用三角函数的差角公式求解解答：解：（）由，得，于是（）由0，得，又，由=（）得：cos=cos（）=coscos（）+sinsin（）=所以点评：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力18（12分）设ar，解关于x的不等式ax2+（12a）x20考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：利用ax2+（12a）x2=（x2）（ax+1），于是有（x2）（ax+1）0，对a分类讨论，同时要注意比较根的大小，依次求解即可得到答案解答：解：关于x的不等式ax2+（12a）x20，因式分解可形为（x2）（ax+1）0，当a=0时，不等式即为x20，故不等式的解为x|x2；当a0时，不等式即为（x2）（x+）0，2，故不等式的解为x|x或x2；当a0时，不等式即为（x2）（x+）0，2，故不等式的解为x|2x；当a=时，不等式即为（x2）20，故不等式的解为；当a时，不等式即为（x2）（x+）0，2，故不等式的解为x|x2综上所述，当a=0时，不等式的解为x|x2，当a0时，不等式的解为x|x或x2，当a0时，不等式的解为x|2x，当a=时，不等式的解为，当a时，不等式的解为x|x2点评：本题考查了一元二次不等式的解法求解一元二次不等式时，要注意与一元二次方程的联系，以及与二次函数之间的关系求解不步骤是：判断最高次系数的正负，将负值转化为正值，确定一元二次方程的根的情况，利用二次函数的图象，写出不等式的解集属于基础题如果方程的根的大小关系部确定，则需要进行分类讨论求解属于中档题19（12分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？考点：函数的最值及其几何意义 专题：应用题分析：（1）由题意月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，两边同时除以x，然后利用不等式的性质进行放缩，从而求出最值；（2）设该单位每月获利为s，则s=100xy，把y值代入进行化简，然后运用配方法进行求解解答：解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：（4分），当且仅当，即x=400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元（8分）（2）设该单位每月获利为s，则s=100xy （10分）=因为400x600，所以当x=400时，s有最大值40000故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损（16分）点评：此题是一道实际应用题，考查了函数的最值和不等式的基本性质，及运用配方法求函数的最值20（13分）已知函数为奇函数（）若f（1）=5，求函数f（x）的解析式；（）当a=2时，不等式f（x）t在1，4上恒成立，求实数t的最小值；（）当a1时，求证：函数g（x）=f（2x）c（cr）在（，1上至多有一个零点考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的性质 专题：综合题；函数的性质及应用分析：（）由奇函数定义可得f（x）=f（x），可求b，由f（1）=5可得a；（）不等式f（x）t在1，4上恒成立，等价于f（x）maxt，易判断a=2时f（x）在1，4上的单调性，由单调性可得最大值；（）表示出g（x），只需判定函数g（x）在（，1单调即可，利用单调性的定义可作出判断；解答：解：（）函数为奇函数，f（x）=f（x），即，b=0，又f（1）=4+a+b=5，a=1函数f（x）的解析式为（）a=2，函数在1，4均单调递增，函数f（x）在1，4单调递增，当x1，4时，不等式f（x）t在1，4上恒成立，实数t的最小值为（）证明：，设x1x21，=，x1x21，a1，即a1，又，g（x1）g（x2）0，即g（x1）g（x2），函数g（x）在（，1单调递减，又cr，可知函数g（x）在（，1上至多有一个零点点评：本题考查函数的单调性、奇偶性及其应用，考查函数最值的求解，考查学生综合运用函数性质分析解决问题的能力，属中档题21（14分）已知函数g（x）=alnx，f（x）=x3+x2+bx（1）若f（x）在区间1，2上不是单调函数，求实数b的范围；（2）若对任意x1，e，都有g（x）x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）当b=0时，设f（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点p，q，使得poq是以o（o为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数单调性的判断与证明；分段函数的应用；利用导数研究