第二章 牛顿定律习题分析与解答.ppt

第二章部分习题分析与解答 2 2假使地球自转速度加快到能使赤道上的物体处于失重状态 一昼夜的时间有多长 解答 按题意有 分析 由于物体地球自转时 有向心加速度存在 当提供此加速度的力即为重力时 物体处于失重状态 由向心加速度和角速度的关系就可得一昼夜所需的时间 则地球自转一天所需的时间为 2 4图示一斜面 倾角为 底边AB长为l 2 1m 质量为m的物体从斜面顶端由静止开始向下滑动 斜面的摩擦因数为 0 14 试问 当 为何值时 物体在斜面上下滑的时间最短 其数值为多少 解答 取沿斜面为坐标轴Ox 原点O位于斜面顶点 则由牛顿第二定律有 分析 该题关键在列出动力学和运动学方程后 解出倾角与时间的函数关系 f t 然后运用对t求极值的方法即可得出数值来 又物体在斜面上作匀变速直线运动 故有 则 为使下滑时间最短 可令 由上式得 则可得 此时 2 8直升飞机的螺旋桨由两个对称的叶片组成 每一叶片的质量m 136kg 长l 3 66m 求当它的转速n 320r min时 两个叶片根部的张力 设叶片是宽度一定 厚度均匀的薄片 分析 螺旋桨旋转时 叶片上各点的加速度不同 在其各部分两侧的张力也不同 由于叶片的质量是连续分布的 在求叶片根部的张力时 可选取叶片上一小段 分析其受力 列出动力学方程 然后采用积分的方法求解 解答 设叶片根部为原点O 沿叶片背离原点O的方向 距原点O为r处为dr一小段叶片 其两侧对它的拉力分别为FT r 与FT r dr 叶片转动时 该小段叶片作圆周运动 由牛顿定律有 由于时外侧 所以有 上式中取 即得叶片根部的张力 负号表示张力方向与坐标方向相反 2 9在一只半径为R的半球形碗内 有一粒质量为m的小钢球 当钢球以角速度 在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时 它距碗旅底有多高 分析 维持钢球在水平面内作匀角速度转动时 必须使钢球受到一与向心加速度相对应的力 向心力 而该力是由碗内壁对球的支持力FN的分力来提供的 由于支持为FN始终垂直于碗内壁 所以支持力的大小和方向是随 而变的 取图示Oxy坐标 列出动力学方程 即可求解钢球距碗底的高度 解答 取钢球为隔离体 其受力分析如图所示 在图示坐标中列动力学方程 且有 由上述各式可解得钢球距离碗底的高度为 可见 h随的变化而变化 2 10一质量为m的小球最初位于如图2 10 a 所示的A点 然后沿半径为r的光滑圆轨道ADCB下滑 试求小球到达点C时的角速度和对圆轨道的作用力 分析 该题可由牛顿第二定律求解 在取自然坐标的情况下 沿圆弧方向的加速度就是切向加速度at 与其相对应的外力Ft是重力的切向分量mgsin 而与法向加速度an相对应的外力是支持力FN和重力的法向分量mgcos 由此 可分别列出切向和法向的动力学方程Ft mdv dt和Fn man 由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的 因此 需应用积分求解 为使运算简便 可转换积分变量 解答 小球在运动过程是受到重力P和圆轨道对它的支持力FN 取如图所示的自然坐标系 由牛顿定律得 代入 1 式 并根据小球从点A运动到点C的始末条件 进行积分 有 得 则小球在点C的角速度为 由式 2 得 由此可得小球对圆轨道的作用力为 负号表示与反向 2 12一质量为10kg的质点在力F 120N s 1 t 40N的作用下 沿x轴作直线运动 在t 0时 质点位于x 5 0m处 其速度vo 6 0m s 1 求质点在任意时刻的速度和位置 分析 这是在变力作用下的动力学问题 由于力是时间的函数 而加速度a dv dt 这时 动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程 解此微分方程可得质点的速度v t 由速度的定义v dx dt 用积分的方法可求出质点的位置 解答 因加速度 在直线运动中 根据牛顿定律有 依据质点运动的初始条件 即t0 0时 v0 6 0m s 2 运用分离变量法对上式积分 得 又因v dx dt 并由质点运动的初始条件 t0 0时x0 5 0m 对上式分离变量积分 有 2 13轻型飞机连同驾驶员总质量为1 0 103kg 飞机以55 0m s 1的速率在水平跑道上着陆后 驾驶员开始制动 若阻力与时间成正比 比例系数 5 0 102N s 1 求 1 10s后飞机的速率 2 飞机着陆后10s内滑行的距离 分析 飞机连同驾驶员在水平跑道上运动可视为质点作直线运动 其水平方向所受制动力F为变力 且是时间的函数 在求速率和距离时 可根据动力学方程和运动学规律 采用分离变量法求解 解答 以地面飞机滑行方向为坐标正方向 由牛顿定律及初始条件 有 因此 飞机着陆10s后的速率为 又 故飞机着陆后10s内所滑行的距离为 2 15自地球表面垂直上抛一物体 要使它不返回地面 其初速度最小为多少 略去空气阻力作用 分析 要使竖直上抛物体能脱离地球不再返回地面 即使其离开地球引力的范围 其速度V 0 为此 可根据物体在地球引力场中的动力学方程导出V r关系加以讨论 就可确定脱离地球引力场所需的最小初速度即逃逸速度 解答 由动力学方程得 为使初速度最小 可取末速度接近于零 即v 0 此时物体可视为无限远 即h 由上式可得 2 16质量为45 0kg的物体 由地面以初速60 0m s 1竖直向上发射 物体受到空气的阻力为Fr kv 且k