行程问题百解法.doc

行程问题百解法（转载）一、统一法： 三个量的不同，如时间不等，方向不同，路程长短等均可进行恰当统一，转化成相同便于找出数量关系。例题一， 一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行60千米共用了12时；顺流航行225千米，逆流航行210千米用了30时。如果两码头相距195千米。求轮船往返一次所需时间？答案：27小时分析与解：顺水120+逆水6012小时 顺水225+逆水21030小时顺水20+逆水102小时 顺水15+逆水142小时所以顺水5千米时间逆水4千米时间；所以：顺流航行120千米，逆流航行60千米用了12时.相当于顺流航行120千米，顺流航行604575千米，用了12时，现在两码头相距195千米，所以顺流所需时间为1219519512时，逆流所用时间为顺流的5/4 ，即为 125/4=15小 时，所以来回共需12+15=27小时。注意到这题中涉及两次统一，第一次为统一时间，上面都统一为2小时，也可以统一为1小时，也可能统一为60小时；第二次为统一运动方向，把逆流转化成顺流。二、假设法假设的目的是为了建立条件间的相同点，在有些题目中，前后两个类似条件在形式上有不同之处，此时，我们可以通过假设把其中一个条件加以变化，使这和另一个条件更接近，更加便于比较。例题三， 甲乙两车分别从相距180千米的A，B两地出发相向而行，两车在距离A地80千米处相遇，若出发半小时后甲车突然提高50%的速度，那么两车恰好在A，B两地中点相遇，如果出发后20分钟甲车把速度变为原来的一半，那么相遇地点将在哪里？分析与解这是一道04年华校入学考试题，见三卷第5题。从条件的第一句话可知，在相同时间里，甲走了80千米，乙走了180-80=100千米。也就是甲乙的速度比是4：5。难点是在对第二句的理解上，我们可以假设甲车一开始就把速度提高了50%，4（1+50%）=6，那么甲与乙的速度比就变为6：5，因此当乙走90千米到中点时，甲应该走9056=108千米。与实际相差108-90=18千米，这个18千米是把半小时内甲的速度提高50%多出来的，也就是甲用一半的速度走半小时是18千米，那就可以求出甲的速度为181/21/2=72千米/时。 下面的解题过程就很方便了： 乙速为7245=90千米/时，出发20分钟后，甲乙的距离为180-721/3-901/3=126千米。因为甲速变为原来一半，126（721/2+90）=1小时，可知小时后甲乙相遇。这一小时甲行了36千米，加上前20分钟行的24千米，所以相遇点距A地36+24=60千米。三、方程法 占很大份量的一种超常规方法，一定要牢牢掌握。要点一是设未知数，二是找等量关系。这里借一道时钟问题来说明问题。例题四， 时钟于8点到9点间，由“12至分针之间的距离与至时针之间的距离之比等于3：7。这个时刻是什么？答案：8：8 ，8：53 ，8：17 (还缺一个解，自己想想怎么算出来。)四、倍比法行程题中，路程、速度、时间的关系已变得很复杂，其中反复用到速度差速度和与路程时间之间的倍数关系，思考起来稍用难度。例题五， A、B两地相距4800米，甲住A地，乙和丙住在B地。有一天他们同时出发，乙、丙向A地前进，而甲向B地前进。甲和乙相遇后，乙立刻反身行进，10分钟后又与丙相遇。第二天他们又是同时出发，只是甲行进的方向与第一天相反，但三人的速度没有改变，乙追上甲后又立刻返身行进，结果20分钟后与丙相遇。已知甲每分钟走40米，求丙的速度。分析与解：由已知，第一天甲、乙相遇时乙、丙的距离是两人每分钟所走路程和的10倍，而第二天甲、乙相遇时乙、丙的距离是两人每分钟所走路程和的20倍，因此第二天甲、乙相遇时，乙、丙的距离是第一天的2倍。由于乙、丙的距离是乙、丙的速度差与甲、乙相遇所需时间的乘积，所以第二天甲、乙相遇所需时间是第一天的2倍。由于第二天甲、乙相遇所需的时间=AB的距离甲和乙的速度差，而第一天甲、乙相遇所需的时间=AB的距离甲和乙的速度和，因此甲、乙的速度和是甲、乙的速度差的2倍。由于甲、乙的速度和是甲的速度的2倍加上两人速度差，因此甲速度的2倍等于甲、乙速度差，由此知乙的速度是甲的3倍，即乙每分钟走40*3=120米。在第一天中，甲、乙相遇用了4800（120+40）=30分钟，又乙返回10分钟后与丙相遇，因此乙、丙速度和是乙丙速度差的3倍，从而丙的速度为每分钟120*（3-1）（3+1）=60米。即丙每分钟走60米。这道行程题中，路程、速度、时间的关系已变得稍复杂，其中反复用到速度差速度和与路程时间之间的关系，思考起来稍用难度。五、列表法两人的速度时间等都在变化时，不好统一列式计算，我们可以列一个表观察一下。例题六， 甲、乙二人进行汽车比赛。第一分钟内甲的速度是6.6米/秒，乙的速度是2.9米/秒。以后每分钟内的速度，甲总是前一分钟的2倍，乙总是前一分钟的3倍。问：出发后多长时间乙追上甲？分析与解：因为两人的速度都在变化，不好统一列式计算，我们可以列一个表观察一下。由上表看出，乙在出发后3分多钟追上甲。从3分钟后开始计算，乙追上甲还需（2772-2262）（2.933-6.623）51025.5=20（秒）。所以，出发后3分20秒乙追上甲。六、分步思考在有些行程问题中，既有路程上的前后调头，又有时间上的走走停停，同时又有速度上的前后变化。遇到此类问题，我们应分析其中的运动规律，把整个运动过程分成几段，再仔细分析每一段中的情况，然后再类推到其它各段中去。这样既可使运动关系明确、简化，又可减少复杂重复的推理及计算。例题七， 江上有甲、乙两码头，相距15千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5小时后货船追上游船。又行驶了1小时，货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上），6分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米？提示：此题可以分为几个阶段来考虑。第一个阶段是一个追及问题。在货舱追上游船的过程中，两者的追及距离是15千米，共用了5小时，故两者的速度差是155=3千米。由于两者都是顺水航行，故在静水中两者的速度差也是3千米。在紧接着的1个小时中，货船开始领先游船，两者最后相距3*1=3千米。这时货船上的东西落入水中，6分钟后货船上的人才发现。此时货船离落在水中的东西的距离已经是货船的静水速度*1/10千米，从此时算起，到货船和落入水中的物体相遇，又是一个相遇问题，两者的速度之和刚好等于货船的静水速度，所以这段时间是货船的静水速度*1/10货船的静水速度=1/10小时。按题意，此时也刚好遇上追上来的游船。货船开始回追物体时，货船和游船刚好相距3+3*1/10=33/10千米，两者到相遇共用了1/10小时，帮两者的速度和是每小时33/101/10=33千米，这与它们两在静水中的速度和相等。（解释一下）又已知在静水中货船比游船每小时快3千米，故游船的速度为每小时（33-3）2=15千米。七、直观图解通过画图直接看出结果是个很好的办法，分线段图与坐标图举两个例子。例题八， A，B两地间有条公路，甲从A地出发步行到B地，乙骑摩托车从B地同时出发，不停顿地往返于A，B两地之间。80分钟后他们第一次相遇，又过了20分钟乙第一次超越甲。当甲到达B地时乙共追上甲多少次？分析与解：4次。在行程问题中，通常先画出运行图，这样直观清晰，可以帮助我们分析各个量之间的关系。依照题意画运行图如下：第一次相遇时甲、乙各行了80分钟，到第一次超越时，甲共行100分钟，而乙在第一次相遇到第一次超越的这20分钟内行的路程，相当于甲行80100=180（分）的路。所以甲、乙的速度之比为2018019。例题九， 如图，AC、CD、DE和EB的长度都是30米，甲、乙二人分别在A、B两处进行折返跑练习，甲从A出发先到C，然后返回到A，再到D，又返回到A，再到E，返回到A，最后到B并返回到A，乙练习的方法和甲一样。已知甲、乙二人的速度分别位每秒4米和每秒6米，如果不计两人调头的时间，问：(1)如果两人同时开始练习，那出发多长时间后，甲、乙二人第一次相遇？(2)如果甲比乙提前9秒开始练习，那两人在练习的过程中一共相遇了多少次？(追上也认为是相遇) 人大附03-04考题。下表单位为5秒，即为表内数字乘以5ACDEB甲01.534.5697.510.51213.51816.51519.52122.5243028.52725.5ACDEB乙10432569871011121615141317181920通过上表甲在12513.55之间时在D E之间， 乙在135145之间时在E D之间。于是，为甲6067.5 乙6570假设在距D处x米，则距E处30x；有60 65 ；得x24，60 60666秒，所以在66秒时相遇。下表单位为5秒，即为表内数字乘以5ACDEB甲01.534.5697.510.51213.51816.51519.52122.5243028.52725.5乙ACDEB2.81.84.84.83.84.87.810.89.88.811.812.813.817.816.815.814.818.819.820.021.8由下图我们知道，相遇四次。八、扫清烟幕有些行程问题的条件变化看上去很复杂，其实它内涵的某些本质是不变的，必须扫清迷雾，抓住本质。例题十， 有A、B两辆电动磁控赛车在一条周长250米的环形双轨道上，它们同从一地点反向开出，A车行了90米后与B车相遇，然后两车各增加原速的12%继续前进，第2次相遇时，两车各自减少原速的，那么当第10次相遇时，B车还要开 米才能到达出发点。不管怎么变化，每次的速度比都一定，每一次相遇A车都行90米，B车都行160米，160乘10除以250得6圈余100米，行了100米。还要行150米。150米九、界定范围给速度、时间、或路程确定一个范围，在可能的范围内寻找符合要求的解比较方便。例题十一， 一个边长为100米的正方形跑道，甲、乙两人分别在跑道相对的两个顶点逆时针同时起跑。甲的速度是每秒7米，乙的速度是每秒5米，他们在转变处都要耽误5秒。当甲第1次追上乙时，乙跑了多少米？确定临界值 精假设乙在某顶点刚休息完，正准备跑时，甲到达该顶点（追上乙）。此时，乙比甲恰好多休息1次。设甲纯跑步时间为t1秒，则乙纯跑步时间为（t1+5）秒。根据甲比乙多跑200米，可得方程7t1-5(t1+5)=200解得t1=112.5秒。甲跑一条边需 秒，而112.5不是 的倍数，所以这种情况不成立。再假设甲在某一边上而不是某一顶点上追上乙，那么甲比乙恰好多休息2次。设甲纯跑步时间为t3秒，则乙纯跑步时间为（t3+10）秒。根据甲比乙多跑200米，可得方程7t3-5(t3+10)=200，解得t3=125(秒)。因为在t1=112.5与t3=125之间， = 是的整数倍，所以当甲纯跑步时间为t2= 秒时，甲第1次追上乙。此时乙跑了7 -200=600米。(为什么必须是100/7的倍数，课上详解。)十、 数据分析对数据的产生过程逐一分析，往往能找到突破口。例题十二， 沿着向上移动的自动扶梯，甲从顶朝下走到底走150级，他的朋友乙沿着自动扶梯从底朝上走到顶走了75级，如果每分钟甲行走的级数是乙行走级数的3倍，那么自动扶梯有多少级？150级=甲走150级的时间内扶梯上升级数+扶梯级数，75级=扶梯级数-乙走75级时间内扶梯引升级数150-75=75=甲走150级时间内扶梯上升级数+乙走75级时间内扶梯上级数，75级=甲走150级+753=375纺时间内扶梯上升级数甲速=5梯速 扶梯级数=150-1505=30级十一、枚举验证动点所处的位置往往不止一种状态，需要列举出来逐个验证，注意到答案的不唯一性。例题十三， 甲、乙、丙三人骑车同时出发沿某公路直行，出发时丙在甲前10千米，乙在丙后6千米；甲、乙、丙三人骑车的速度分别为20千米/时、18千米/时、16千米/时，那么经过 小时甲和乙、丙的距离相等分析与解：首先得弄清楚甲乙丙三人的位置，要得到这题的一个解其实特别容易，不管甲在何处只要乙追上丙两人在同一地点时，乙丙必与甲距离相等。因此：6（18-16）=3小时。 那么，很自然地想到乙丙在甲一边距离相等是一种情况，会不会出现甲在乙丙中间而距离相等的情况。甲20乙18丙16 4千米 6千米可以考虑设