（全国通用）高考数学 单元评估检测(五).doc

单元评估检测(五)第五章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015济南模拟)数列an的前n项和为sn,若a1=1,an+1=3sn(n1),则a6=()a.44b.344+1c.344d.44+1【解析】选c.由an+1=3sn(n1)得an+2=3sn+1,两式相减得an+2-an+1=3sn+1-3sn,即an+2-an+1=3an+1,所以an+2=4an+1,即an+2an+1=4,a2=3s1=3,所以a6=a244=344.【加固训练】(2015武汉模拟)已知数列an的前n项和sn和通项an满足sn=12(1-an),则数列an的通项公式为()a.an=13n+1b.an=13nc.an=13n-1d.an=313n-1【解析】选b.当n2时,an=sn-sn-1=1-an2-1-an-12,化简得2an=-an+an-1,即anan-1=13.又由s1=a1=1-a12,得a1=13.所以数列an是首项为13,公比为13的等比数列.所以an=1313n-1=13n.2.设等差数列an的前n项和是sn,若-ama10,且sm+10b.sm0c.sm0,且sm+10d.sm0,且sm+10【解析】选a.-ama10,a1+am+10,sm+1=a1+am+12(m+1)0.【加固训练】已知数列an的前n项和为sn,且a1=1,an+1=3sn(n1,nn*),第k项满足750ak900,则k等于()a.8b.7c.6d.5【解析】选c.依题意,由an+1=3sn及an=3sn-1(n2,nn*),两式相减得an+1-an=3(sn-sn-1)=3an,即an+1=4an(n2),a2=3,所以an=1(n=1)34n-2(n2),将ak代入不等式75034k-20(n=1,2,3,),若a1=b1,a11=b11,则()a.a6=b6b.a6b6c.a6b6或a6b1b11(注q1,故b1b11),从而a6b6.8.已知数列的通项公式为an=log12(n-4),则数列中的最大项为()a.第3项b.第4项c.第5项d.第6项【思路点拨】观察数列的通项公式可将其视为一次函数与对数函数结合的复合函数求解.【解析】选c.根据题意可转化为函数f(x)=log12(x-4),xn*,易知其定义域为x|x4,xn*,且t=x-4为单调递增函数,f(t)=log12t,t0为单调递减函数,从而f(x)=log12(x-4),x4,xn*为单调递减函数,故当x=5时函数取最大值,因此该数列的最大项为第5项,选c.9.(2015杭州模拟)已知每项均大于零的数列an中,首项a1=1且前n项和sn满足snsn-1-sn-1sn=2snsn-1(nn*且n2),则a81=()a.638b.639c.640d.641【解析】选c.由已知snsn-1-sn-1sn=2snsn-1可得,sn-sn-1=2,所以sn是以1为首项,2为公差的等差数列,故sn=2n-1,sn=(2n-1)2,所以a81=s81-s80=1612-1592=640.【加固训练】已知数列an满足a1=23,且对任意的正整数m,n,都有am+n=aman,若数列an的前n项和为sn,则sn等于()a.2-23n-1b.2-23nc.2-2n3n+1d.2-2n+13n【解析】选d.令m=1,得an+1=a1an,即an+1an=a1=23,可知数列an是首项为a1=23,公比为q=23的等比数列,于是sn=a1(1-qn)1-q=231-23n1-23=21-23n=2-2n+13n.10.(2015肇庆模拟)若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”,则在1100这100个数中,能称为“和平数”的所有数的和是()a.130b.325c.676d.1300【解析】选c.设两个连续偶数为2k+2和2k(kn*),则(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1),故和平数是4的倍数,但不是8的倍数,故在1100之间,能称为和平数的有41,43,45,47,425,共计13个,其和为41+25213=676.【加固训练】设sn为数列an的前n项和,若s2nsn(nn*)是非零常数,则称该数列为“和等比数列”;若数列cn是首项为2,公差为d(d0)的等差数列,且数列cn是“和等比数列”,则d=.【解析】由题意可知,数列cn的前n项和为sn=n(c1+cn)2,前2n项和为s2n=2n(c1+c2n)2,所以s2nsn=2n(c1+c2n)2n(c1+cn)2=2+2nd4+nd-d=2+21+4-dnd.因为数列cn是“和等比数列”,即s2nsn为非零常数,所以d=4.答案:411.已知函数f(x)是定义在(0,+)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),若数列an的前n项和为sn,且满足f(sn+2)-f(an)=f(3)(nn*),则an等于()a.2n-1b.nc.2n-1d.32n-1【解析】选d.由题意知f(sn+2)=f(an)+f(3)(nn*),所以sn+2=3an,sn-1+2=3an-1(n2),两式相减得2an=3an-1(n2),又n=1时,s1+2=3a1=a1+2,所以a1=1,所以数列an是首项为1,公比为32的等比数列,所以an=32n-1.12.(2015成都模拟)已知函数f(x)=(3-a)x-3,x7,ax-6,x7,若数列an满足an=f(n)(nn*),且an是递增数列,则实数a的取值范围是()a.94,3b.94,3c.(2,3)d.(1,3)【解析】选c.由题意,an=f(n)=(3-a)n-3,n7,an-6,n7,要使an是递增数列,必有3-a0,a1,a7a8即(3-a)7-3a8-6,即1a3,a2.解得,2akan-2对一切nn*恒成立,求实数k的取值范围.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,因为an+1+an=92n-1,nn*,所以a2+a1=9,a3+a2=18,所以q=a3+a2a2+a1=189=2.所以2a1+a1=9,所以a1=3.所以an=32n-1,nn*.(2)由(1)知sn=a1(1-qn)1-q=3(1-2n)1-2=3(2n-1),所以3(2n-1)k32n-1-2,所以k2-132n-1.令f(n)=2-132n-1,则f(n)随n的增大而增大,所以f(n)min=f(1)=2-13=53,所以k53.所以实数k的取值范围为-,53.【加固训练】已知等比数列an的首项为1,公比q1,sn为其前n项和,a1,a2,a3分别为某等差数列的第一、第二、第四项.(1)求an和sn.(2)设bn=log2an+1,数列1bnbn+2的前n项和为tn,求证:tn34.【解析】(1)因为a1,a2,a3为某等差数列的第一、第二、第四项,所以a3-a2=2(a2-a1),所以a1q2-a1q=2(a1q-a1),因为a1=1,所以q2-3q+2=0,因为q1,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1.所以sn=a1(1-qn)1-q=1(1-2n)1-2=2n-1.(2)由(1)知an+1=2n,所以bn=log2an+1=log22n=n.所以1bnbn+2=1n(n+2)=121n-1n+2.所以tn=1211-13+1212-14+1213-15+1214-16+121n-2-1n+121n-1-1n+1+121n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=34-121n+1+1n+20,an+1-an=2,所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列.所以an=2n-1.(3)因为an=2n-1,所以a=(2an+2,m)=(2(2n+3),m)0,b=(-an+5,3+an)=(-(2n+9),2(n+1)0,所以abab=0m(n+1)=(2n+3)(2n+9)=2(n+1)+12(n+1)+7m(n+1)=4(n+1)2+16(n+1)+7m=4(n+1)+16+7n+1.因为m,nn*,所以n+1=7,m=47+16+1,即n=6,m=45.当n=6,m=45时,ab.【加固训练】设数列an的前n项和为sn,其中an0,a1为常数,且-a1,sn,an+1成等差数列.(1)求an的通项公式.(2)设bn=1-sn,问:是否存在a1,使数列bn为等比数列?若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)依题意,得2sn=an+1-a1,当n2时,有2sn=an+1-a1,2sn-1=an-a1,两式相减,得an+1=3an(n2).又因为a2=2s1+a1=3a1,an0,所以数列an是首项为a1,公比为3的等比数列.因此an=a13n-1(nn*).(2)因为sn=a1(1-3n)1-3=3na12-a12,所以bn=1-sn=1+a12-3na12.要使bn为等比数列,当且仅当1+12a1=0,即a1=-2,所以存在a1=-2,使数列bn为等比数列.21.(12分)已知数列an中,a1=3,前n项和sn=12(n+1)(an+1)-1(1)求证:数列an为等差数列.(2)求数列an的通项公式.(3)设数列1anan+1的前n项和为tn,是否存在实数m,使得tnm对一切正整数n都成立?若存在,求m的最小值,若不存在,试说明理由.【解析】(1)因为sn=12(n+1)(an+1)-1,所以sn+1=12(n+2)(an+1+1)-1,所以an+1=sn+1-sn=12(n+2)(an+1+1)-(n+1)(an+1),整理,得nan+1=(n+1)an-1,所以(n+1)an+2=(n+2)an+1-1,所以(n+1)an+2-nan+1=(n+2)an+1-(n+1)an,所以2(n+1)an+1=(n+1)(an+2+an),所以2an+1=an+an+2,所以,数列an为等差数列.(2)a1=3,nan+1=(n+1)an-1,所以a2=2a1-1=5,a2-a1=2即为公差,所以an=a1+(n-1)d=2n+1.(3)因为1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=1212n+1-12n+3所以tn=1213-15+15-17+12n+1-12n+3=1213-12n+3=16-12(2n+3),所以对nn*时,tn16,且当n+时,tn16,所以要使tnm对一切正整数n都成立,只要m16,所以存在实数m使得tnm对一切正整数n都成立,m的最小值为16.【加固训练】(2015凤阳模拟)已知数列an的前n项和为sn,a1=12,sn=n2an-n(n-1),n=1,2,.(1)证明:数列n+1nsn是等差数列,并求sn.(2)设bn=snn3+3n2,求证:b1+b2+bn512.【解析】(1)由sn=n2an-n(n-1)知,当n2时,sn=n2(sn-sn-1)-n(n-1),即(n2-1)sn-n2sn-1=n(n-1),所以n+1nsn-nn-1sn-1=1,对n2成立.又1+11s1=1,所以n+1nsn是首项为1,公差为1的等差数列.所以n+1nsn=1+(n-1)1,所以sn=n2n+1.(2)bn=snn3+3n2=1(n+1)(n+3)=121n+1-1n+3,所以b1+b2+bn=1212-14+13-15+1n-1n+2+1n+1-1n+3=1256-1n+2-1n+3512.22.(12分)已知在正项数列an中,a1=2,点an(an,an+1)在双曲线y2-x2=1上;数列bn中,点(bn,tn)在直线y=-12x+1上,其中tn是数列bn的前n项和.(1)求数列an的通项公式.(2)求证:数列bn是等比数列.(3)若cn=anbn,求证:cn+1cn.【解析】(1)由已知点an在双曲线y2-x2=1上可得an+1-an=1,所以数列an是一个以2为首项,以1为公差的等差数列,所以an=a1+(n-1)d