山东省烟台市格迈纳尔中学高二数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年山东省烟台市格迈纳尔中学高二（上）期末数学试卷（文科）一.选择题1有以下四个命题：若=，则x=y若lgx有意义，则x0若x=y，则=若xy，则 x2y2则是真命题的序号为（）abcd2已知a、b为实数，则2a2b是log2alog2b的（）a必要非充分条件b充分非必要条件c充要条件d既不充分也不必要条件3若方程c：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（）aar+，方程c表示椭圆bar，方程c表示双曲线car，方程c表示椭圆dar，方程c表示抛物线4抛物线：x2=y的焦点坐标是（）a（0，）b（0，）c（，0）d（，0）5双曲线：的渐近线方程和离心率分别是（）abcd6曲线y=exlnx在x=1处的切线方程是（）ay=2e（x1）by=ex1cy=xedy=e（x1）7过点p（0，1）与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有（）a4条b3条c2条d1条8函数，若f（x）的导函数f（x）在r上是增函数，则实数a的取值范围是（）aa0ba0ca0da09双曲线4x2+ty24t=0的虚轴长等于（）ab2tcd410若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）abcd二.填空题（每小题5分，共20分）11ab是过c：y2=4x焦点的弦，且|ab|=10，则ab中点的横坐标是12函数f（x）=x3+ax2+x+b在x=1时取得极值，则实数a=13已知一个动圆与圆c：（x+4）2+y2=100相内切，且过点a（4，0），则动圆圆心的轨迹方程14函数f（x）=ax3+x+1有极值的充要条件是15对于函数f（x）=ax3，（a0）有以下说法：x=0是f（x）的极值点当a0时，f（x）在（，+）上是减函数f（x）的图象与（1，f（1）处的切线必相交于另一点若a0且x0则f（x）+f（）有最小值是2a其中说法正确的序号是三.解答题16已知命题p：“x1，2，x2a0”，命题q：“x0r，x02+2ax0+2a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围17已知椭圆c：=1（a2）上一点p到它的两个焦点f1（左），f2 （右）的距离的和是6（1）求椭圆c的离心率的值；（2）若pf2x轴，且p在y轴上的射影为点q，求点q的坐标18如图：是y=f（x）=x32x2+3a2x的导函数y=f（x）的简图，它与x轴的交点是（1，0）和（3，0）（1）求y=f（x）的极小值点和单调减区间；（2）求实数a的值19如图，已知f1、f2分别为椭圆的上、下焦点，其中f1也是抛物线的焦点，点m是c1与c2在第二象限的交点，且（1）求椭圆c1的方程；（2）已知点p（1，3）和圆o：x2+y2=b2，过点p的动直线l与圆o相交于不同的两点a，b，在线段ab上取一点q，满足：，（0且1），求证：点q总在某条定直线上20已知f（x）=ax3+bx2+cx在区间0，1上是增函数，在区间（，0），（1，+）上是减函数，又（）求f（x）的解析式；（）若在区间0，m（m0）上恒有f（x）x成立，求m的取值范围21已知抛物线y2=2px（p0），焦点为f，一直线l与抛物线交于a、b两点，且|af|+|bf|=8，且ab的垂直平分线恒过定点s（6，0）求抛物线方程；求abs面积的最大值2015-2016学年山东省烟台市格迈纳尔中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题1有以下四个命题：若=，则x=y若lgx有意义，则x0若x=y，则=若xy，则 x2y2则是真命题的序号为（）abcd【考点】命题的真假判断与应用 【专题】阅读型；简易逻辑【分析】由去分母，即可判断；由对数函数的定义域，即可判断；分x，y0，x，y0，即可判断；举反例，xy0，即可判断【解答】解：若=，则，则x=y，即对；若lgx有意义，则x0，即对；若x=y0，则=，若x=y0，则不成立，即错；若xy0，则 x2y2，即错故真命题的序号为故选：a【点评】本题考查等式的性质、不等式的性质、对数函数的定义域，属于基础题2已知a、b为实数，则2a2b是log2alog2b的（）a必要非充分条件b充分非必要条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】对数函数的单调性与特殊点；必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】计算题；综合题【分析】分别解出2a2b，log2alog2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件【解答】解：2a2bab，当a0或b0时，不能得到log2alog2b，反之由log2alog2b即：ab0可得2a2b成立故选a【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题3若方程c：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（）aar+，方程c表示椭圆bar，方程c表示双曲线car，方程c表示椭圆dar，方程c表示抛物线【考点】双曲线的简单性质；全称命题；特称命题 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据三种圆锥曲线标准方程的特征，对a、b、c、d各项依次逐个加以判断，即可得到只有b项符合题意【解答】解：当a=1时，方程c：即x2+y2=1，表示单位圆ar+，使方程c不表示椭圆故a项不正确；当a0时，方程c：表示焦点在x轴上的双曲线ar，方程c表示双曲线，得b项正确；ar，方程c不表示椭圆，得c项不正确不论a取何值，方程c：中没有一次项ar，方程c不能表示抛物线，故d项不正确综上所述，可得b为正确答案故选：b【点评】本题给出含有字母的二次曲线方程，求它能表示的曲线类型，着重考查了椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的特点的知识，属于基础题4抛物线：x2=y的焦点坐标是（）a（0，）b（0，）c（，0）d（，0）【考点】抛物线的标准方程 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标【解答】解：抛物线x2=y中，2p=1，=，又焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标是 （0，），故选b【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，定位定量是关键5双曲线：的渐近线方程和离心率分别是（）abcd【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题【分析】先根据双曲线的标准方程，求得其特征参数a、b、c的值，再利用双曲线渐近线方程公式和离心率定义分别计算即可【解答】解：双曲线：的a=1，b=2，c=双曲线的渐近线方程为y=x=2x；离心率e=故选 d【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线特征参数a、b、c的几何意义，双曲线几何性质：渐近线方程、离心率的求法，属基础题6曲线y=exlnx在x=1处的切线方程是（）ay=2e（x1）by=ex1cy=xedy=e（x1）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】导数的综合应用【分析】求导函数，切点切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程【解答】解：求曲线y=exlnx导函数，可得f（x）=exlnx+f（1）=e，f（1）=0，切点（1，0）函数f（x）=exlnx在点（1，f（1）处的切线方程是：y0=e（x1），即y=e（x1）故选：d【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基本知识的考查7过点p（0，1）与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有（）a4条b3条c2条d1条【考点】直线与圆锥曲线的关系 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】过点p（0，1）的直线与抛物线y2=x只有一个交点，则方程组只有一解，分两种情况讨论即可：（1）当该直线存在斜率时；（2）该直线不存在斜率时；【解答】解：（1）当过点p（0，1）的直线存在斜率时，设其方程为：y=kx+1，由，消y得k2x2+（2k1）x+1=0，若k=0，方程为x+1=0，解得x=1，此时直线与抛物线只有一个交点（1，1）；若k0，令=（2k1）24k2=0，解得k=，此时直线与抛物线相切，只有一个交点；（2）当过点p（0，1）的直线不存在斜率时，该直线方程为x=0，与抛物线相切只有一个交点；综上，过点p（0，1）与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有3条故选b【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与分类讨论思想，解决基本方法是：（1）代数法，转化为方程组解的个数问题；（2）几何法，数形结合；8函数，若f（x）的导函数f（x）在r上是增函数，则实数a的取值范围是（）aa0ba0ca0da0【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的概念及应用【分析】由函数 ，得到f（x）=x3ax，又函数f（x）在r上是增函数，从而f（x）=x2a0，解不等式求出a的范围即可【解答】解：函数 ，f（x）=x3ax函数f（x）在r上是增函数，f（x）=x2a0，ax2，而x20，a0，故选：a【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题9双曲线4x2+ty24t=0的虚轴长等于（）ab2tcd4【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再求双曲线的虚轴长【解答】解：双曲线4x2+ty24t=0可化为：双曲线4x2+ty24t=0的虚轴长等于故选c【点评】本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，解题的关键是将双曲线方程化为标准方程10若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）abcd【考点】圆与圆锥曲线的综合 【专题】综合题【分析】由题设知，由，得2cb，再平方，4c2b2，；由，得b+2c2a，综上所述，【解答】解：椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，圆的半径，由，得2cb，再平方，4c2b2，在椭圆中，a2=b2+c25c2，；由，得b+2c2a，再平方，b2+4c2+4bc4a2，3c2+4bc3a2，4bc3b2，4c3b，16c29b2，16c29a29c2，9a225c2，综上所述，故选a【点评】本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想二.填空题（每小题5分，共20分）11ab是过c：y2=4x焦点的弦，且|ab|=10，则ab中点的横坐标是4【考点】直线与圆锥曲线的关系 【分析】利用抛物线焦点弦的性质即可得出【解答】解：抛物线c：y2=4x的方程，p=2设a（x1，y1），b（x2，y2），直线ab过抛物线的交点，|ab|=x1+x2+2=10，x1+x2=8ab中点的横坐标=4故答案为4【点评】熟练掌握抛物线焦点弦的性质是解题的关键12函数f（x）=x3+ax2+x+b在x=1时取得极值，则实数a=2【考点】函数在某点取得极值的条件 【专题】导数的综合应用【分析】根据题意，可知f（1）=0，求解方程，即可得到实数a的值【解答】解：f（x）=x3+ax2+x+b，f（x）=3x2+2ax+1，又f（x）在x=1时取得极值，f（1）=3+2a+1=0，a=2故答案为：2【点评】本题考查了函数在某点取得极值的条件，要注意极值点一定是导函数对应方程的根，但是导函数对应方程的根不一定是极值点求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着函数的单调性属于基础题13已知一个动圆与圆c：（x+4）2+y2=100相内切，且过点a（4，0），则动圆圆心的轨迹方程+=1【考点】轨迹方程 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设动圆圆心为b，圆b与圆c的切点为d，根据相内切的两圆性质证出|cb|=10|bd|=10|ba|，可得|ba|+|bc|=10，从而得到b的轨迹是以a、c为焦点的椭圆，根据椭圆的标准方程与基本概念加以计算，可得所求轨迹方程【解答】解：设动圆圆心为b，半径为r，圆b与圆c的切点为d，圆c：（x+4）2+y2=100的圆心为c（4，0），半径r=10，由动圆b与圆c相内切，可得|cb|=rr=10|bd|，圆b经过点a（4，0），|bd|=|ba|，得|cb|=10|ba|，可得|ba|+|bc|=10，|ac|=810，点b的轨迹是以a、c为焦点的椭圆，设方程为（ab0），可得2a=10，c=4，a=5，b2=a2c2=9，得该椭圆的方程为+=1故答案为：+=1【点评】本题给出动圆满足的条件，求动圆圆心的轨迹方程着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题14函数f（x）=ax3+x+1有极值的充要条件是a0【考点】利用导数研究函数的极值；必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】综合题【分析】由f（x）=ax3+x+1有极值，导数等于0一定有解，求出a的值，再验证当a在这个范围中时，f（x）=ax3+x+1有极值，则求出的a的范围就是f（x）=ax3+x+1有极值的充要条件【解答】解：f（x）=ax3+x+1的导数为f（x）=3ax2+1，若函数f（x）有极值，则f（x）=0有解，即3ax2+1=0有解，a0若a0，则3ax2+1=0有解，即f（x）=0有解，函数f（x）有极值函数f（x）=ax3+x+1有极值的充要条件是a0故答案为a0【点评】本题主要考查了函数的导数与极值的关系，以及充要条件的判断，属于综合题15对于函数f（x）=ax3，（a0）有以下说法：x=0是f（x）的极值点当a0时，f（x）在（，+）上是减函数f（x）的图象与（1，f（1）处的切线必相交于另一点若a0且x0则f（x）+f（）有最小值是2a其中说法正确的序号是【考点】利用导数研究函数的极值 【专题】综合题；导数的概念及应用【分析】对于，求出原函数的导函数，由导函数的符号分析原函数的单调性，从而判断原函数极值的情况；对于，求出f（x）的图象在（1，f（1）处的切线方程，和原函数联立后求解x的值，由解得的x的值判断命题的真假；对于，由基本不等式求出函数最值，从而判断的真假【解答】解：由f（x）=ax3，（a0），得f（x）=3ax2当a0时，f（x）0，当a0时，f（x）0，函数f（x）是定义域内的单调函数，f（x）无极值点命题错误；当a0时，f（x）0，f（x）在（，+）上是减函数，命题正确；f（1）=3a，f（1）=a，f（x）的图象在（1，f（1）处的切线方程为：ya=3a（x1），即y=3ax2a代入f（x）=ax3，得ax33ax+2a=0，即x33x+2=0，解得：x=2或x=1f（x）的图象与（1，f（1）处的切线必相交于另一点（2，8a），命题正确a0且x0时，f（x）+f（）=a（x3+）=a2a，命题错误；故答案为：【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是掌握原函数的单调性与其导函数符号间的关系，是中档题三.解答题16已知命题p：“x1，2，x2a0”，命题q：“x0r，x02+2ax0+2a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围【考点】四种命题的真假关系 【分析】已知p且q是真命题，得到p、q都是真命题，若p为真命题，ax2恒成立；若q为真命题，即x2+2ax+2a=0有实根，即0，分别求出a的范围后，解出a的取值范围【解答】解：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题若p为真命题，ax2恒成立，x1，2，a1 ；若q为真命题，即x2+2ax+2a=0有实根，=4a24（2a）0，即a1或a2 ，对求交集，可得a|a2或a=1，综上所求实数a的取值范围为a2或a=1【点评】本题是一道综合题，主要利用命题的真假关系，求解关于a的不等式17已知椭圆c：=1（a2）上一点p到它的两个焦点f1（左），f2 （右）的距离的和是6（1）求椭圆c的离心率的值；（2）若pf2x轴，且p在y轴上的射影为点q，求点q的坐标【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）根据椭圆的定义即可求出a=3，所以离心率e=；（2）由椭圆方程得，所以pf2所在直线方程为x=，带入椭圆方程即可求出y，即p点的纵坐标，从而便可得到q点坐标【解答】解：（1）根据椭圆的定义得2a=6，a=3；c=；即椭圆的离心率是；（2）；x=带入椭圆方程得，y=；所以q（0，）【点评】考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，椭圆的定义，以及椭圆的离心率，直线和椭圆交点坐标的求法，以及点在线上的射影的概念18如图：是y=f（x）=x32x2+3a2x的导函数y=f（x）的简图，它与x轴的交点是（1，0）和（3，0）（1）求y=f（x）的极小值点和单调减区间；（2）求实数a的值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用【分析】（1）先利用其导函数f（x）图象，判断导函数值的正负来求其单调区间，进而求得其极值（注意是在定义域内研究其单调性）（2）由图知，f（1）=0且f（3）=0，代入导函数解析式得到关于a的方程，解出即可【解答】解：（1）由f（x）=x32x2+3a2x的导函数y=f（x）的图象可知：导函数f（x）小于0的解集是（1，3）；函数f（x）=x32x2+3a2x在x=1，x=3处取得极值，且在x=3的左侧导数为负右侧导数为正即函数在x=3处取得极小值，函数的单调减区间为（1，3）（2）由于f（x）=x32x2+3a2x的导函数f（x）=ax24x+3a2，又由（1）知，f（1）=0且f（3）=0则解得 a=1则实数a的值为1【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握19如图，已知f1、f2分别为椭圆的上、下焦点，其中f1也是抛物线的焦点，点m是c1与c2在第二象限的交点，且（1）求椭圆c1的方程；（2）已知点p（1，3）和圆o：x2+y2=b2，过点p的动直线l与圆o相交于不同的两点a，b，在线段ab上取一点q，满足：，（0且1），求证：点q总在某条定直线上【考点】圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）解法一：利用抛物线的方程和定义即可求出点m的坐标，再利用椭圆的定义即可求出；解法二：同解法一求出点m的坐标，再利用椭圆的标准方程及参数a，b，c的关系即可求出（2）方法一：利用已知向量相等及点a，b在圆上满足圆的方程即可证明；方法二：利用向量相等、直线与圆相交问题得到根与系数的关系即可证明【解答】解：（1）解法一：令m为（x0，y0），因为m在抛物线c2上，故，又，则由解得，椭圆c1的两个焦点为f1（0，1），f2（0，1），点m在椭圆上，由椭圆定义，得2a=|mf1|+|mf2|=a=2，又c=1，b2=a2c2=3椭圆c1的方程为解法二：同上求得m，而点m在椭圆上，故有，即，又c=1，即b2=a21，解得a2=4，b2=3椭圆c1的方程为（2）证明：方法一：设a（x1，y1），b（x2，y2），q（x，y）由，可得（1x1，3y1）=（x21，y23），即由，可得（xx1，yy1）=（x2x，y2y），得，得两式相加，得又点a，b在圆x2+y2=3上，且1即x+3y=3，故点q总在直线x+3y=3上方法二：由，可得（1x1，3y1）=（x21，y23），由，可得（xx1，yy1）=（x2x，y2y），（*）当斜率不存在时，由特殊情况得到，当斜率存在时，设直线为y=k（x1）+3，代入（*）得，而y=k（x1）+3，消去k，得x+3y=3而满足方程，q在直线x+3y=3上【点评】熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、向量相等、直线与圆锥曲线的相交问题及根与系数的关系