2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法同步学案新人教A版.docx

2.2.2反证法学习目标1.了解间接证明的基本方法反证法.2.理解反证法的基本模式、思考过程和特点.3.结合已学过的数学实例，理解反证法的推理过程及其证明数学命题的一般步骤，体会反证法在数学证明中的作用.4.通过具体实例，体会直接证明与间接证明的区别和联系知识点一反证法的定义思考在用反证法推出矛盾的推导过程中，可以作为条件使用的是()结论的否定；已知条件；公理、定理、定义等；原结论ABCD答案C梳理一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种基本方法知识点二反证法的理论依据思考反证法解题的实质是什么？答案否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确梳理由四种命题的相互关系可知，原命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，具有同真同假性，即等价性根据这一结论，要证原命题“若p，则q”为真，可以改证逆否命题“若非q，则非p”为真，这种证明方法即为反证法也就是说，若非q(即否定结论，假设结论的反面成立)，则非p(经过推理论证，得出与题设条件相矛盾的结论)，从而根据等价性原则，肯定原命题成立知识点三反证法的一般步骤思考(1)反证法常见的主要矛盾有哪些？(2)反证法适用范围主要有哪些方面？答案(1)常见的主要矛盾有三类：与已知条件矛盾，与假设矛盾(自相矛盾)，与定义、定理、公理及事实矛盾(2)一般地，以下几种情况宜用反证法：结论本身是以否定形式出现的命题，结论是以“至多”“至少”形式出现的命题，关于唯一性、存在性的问题，或结论的反面要比原命题更易证明的命题等等梳理反证法的证题步骤(1)反设：假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定理、公理、定义、事实矛盾等(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而证明了结论成立1反证法属于间接证明问题的方法()2反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理()3反证法的实质是否定结论导出矛盾()类型一反证法概念的理解例1反证法是()A从结论的反面出发，推出矛盾的证法B对其否命题的证明C对其逆命题的证明D分析法的证明方法考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案A解析反证法是先否定结论，在此基础上，经过正确的推理，最后得出矛盾，从而证明了原命题成立反思与感悟对于反证法，其实质是先否定结论，根据否定后的结论，连同题目条件，推出矛盾，从而侧面说明原命题成立跟踪训练1(1)命题“在ABC中，若AB，则ab”的结论的否定应该是()Aab”的否定应为“ab或a0，b0，得0，.a，b为有理数，且为有理数，为有理数，即为有理数，()()为有理数，即2为有理数，从而也应为有理数，这与为无理数矛盾是无理数反思与感悟用反证法证明数学命题步骤：第一步，写出与命题结论q相矛盾的假设綈q；第二步，由綈q出发，应用正确的推理，得出矛盾；第三步，断定产生矛盾的原因在于所作的假设綈q不成立，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题跟踪训练2已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，不成等差数列考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设，成等差数列，则2，即ac24b.又b2ac，即b，ac24，()20，即，从而abc，这与a，b，c不成等差数列矛盾，故，不成等差数列命题角度2证明“至多、至少、唯一性”问题例3若x，y均是正实数，且xy2，求证：2和2中至少有一个成立考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设2和2矛盾，假设不成立，原命题结论正确反思与感悟常用的“原结论词”与“反设词”如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n1个至少有n1个跟踪训练3已知函数f(x)在区间a，b上是增函数，求证：方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根，即f()f()0，且，不妨设，f(x)在区间a，b上单调递增，f()f()，这与f()f()0矛盾，f(x)0在区间a，b上至多有一个实根命题角度3证明否定性命题例4已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：，不可能构成等差数列考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设，成等差数列，则，2acbcab.又a，b，c成等差数列，2bac.2acb(ac)b2b，b2ac.由，得4b2(ac)2，把代入上式得4ac(ac)2，(ac)20，ac.把ac代入得ba，故abc，公差为0，这与已知矛盾，不可能成等差数列反思与感悟证明否定性问题常用反证法，例如证明异面直线，可以先假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾跟踪训练4设0a1,0b1,0c，(1b)c，(1c)a，所以(1a)b(1b)c(1c)a，即(1a)a(1b)b(1c)c.因为(1a)a2，(1b)b2，(1c)c2，所以(1a)a(1b)b(1c)c，这与(1a)a(1b)b(1c)c矛盾所以假设不成立，所以原结论成立.1以下各数不能构成等差数列的是()A3,4,5B.，C3,6,9D.，考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案B解析假设，成等差数列，则2，即1272，此等式不成立，故，不能构成等差数列2异面直线在同一个平面上的射影不可能是()A两条平行直线B两条相交直线C一个点与一条直线D同一条直线考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案D解析如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1A与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是点A和直线BC，故排除C；BA1与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和BC，故排除B；BA1与C1D1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和CD，故排除A.故选D.3由四种命题的关系可知，反证法的实质是通过_来证明原命题的正确性考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案逆否命题4用反证法证明命题：“若a，b是实数，且|a1|b1|0，则ab1”时，应作的假设是_考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案a1或b1解析结论“ab1”的含义是a1且b1，故其否定应为“a1或b1”5证明：方程2x3有且仅有一个实根考点反证法及应用题点反证法的应用证明2x3，x，方程2x3至少有一个实根设x1，x2是方程2x3的两个不同实根，则由得2(x1x2)0，x1x2，这与x1x2矛盾方程2x3有且仅有一个实根成立用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.一、选择题1证明“在ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A三角形中至少有一个直角或钝角B三角形中至少有两个直角或钝角C三角形中没有直角或钝角D三角形中三个角都是直角或钝角考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案B2否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()Aa，b，c都是偶数Ba，b，c都是奇数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数考点反证法及应用题点反证法的应用答案D解析自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有2个偶数”3命题“关于x的方程axb(a0)的解是唯一的”的结论的否定是()A无解B两解C至少两解D无解或至少两解考点反证法及应用题点反证法的应用答案D解析“唯一”的意思是“有且只有一个”，其反面是“没有或至少有两个”4已知l，a，b，若a，b为异面直线，则()Aa，b都与l相交Ba，b中至少有一条与l相交Ca，b中至多有一条与l相交Da，b都不与l相交考点反证法及应用题点反证法的应用答案B解析逐一从假设选项成立入手分析，易得B正确5“集合M不是集合N的子集”的充要条件是()A若xM，则xD/NB若xN，则xMC存在x1M，使得x1N，且存在x2M，x2D/ND存在x0M，使得x0D/N考点反证法及应用题点反证法的应用答案D解析若集合M是集合N的子集，则对任意的xM，都有xN，因此该命题的否定为：若存在x0M，使得x0D/N，则M不是N的子集6已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案C解析假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线故选C.7若实数a，b，c满足a2bc2，则()Aa，b，c都是正数Ba，b，c都大于1Ca，b，c都小于2Da，b，c中至少有一个不小于考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案D解析假设a，b，c均小于，则a2bcb”的反面是“ay或x2；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案11用反证法证明命题“若a，bN，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是_考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案a，b都不能被2整除解析根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a，b都不能被2整除”三、解答题12若a，b，c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x.求证a，b，c中至少有一个是大于0的考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设a，b，c都不大于0，则a0，b0，c0，abc0，而abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23，abc0.这与abc0矛盾，假设不成立，a，b，c中至少有一个是大于0的13已知p3q32，求证：pq2.考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设pq2，则p2q，将其两边立方，得p3(2q)3812q6q2q3.将p3q32代入上式，得6q212q60，即6(q1)20，与(q1)20矛盾，故pq2.四、探究与拓展14若两个方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_考点反证法及应用题点反证法的应用答案(，21，)解析假设两个一元二次方程均无实根，则有即解