第五节 条件分布与条件期望.ppt

第五节条件分布与条件期望 设 X Y 是二维离散型随机变量 其分布律为P X xi Y yj pij i j 1 2 X Y 关于X和关于Y的边缘分布律分别为P X xi pi i 1 2 P Y yj p jj 1 2 设pi 0 p j 0 考虑在事件 Y yj 已发生的条件下事件 X xi 发生的概率 即 X xi Y yj i 1 2 的概率 由条件概率公式 一 离散型随机变量的条件分布律 显然 上述条件概率具有分布律的特性 1 P X xi Y yj 0 1 定义设 X Y 是二维离散型随机变量 对于固定的j 若P Y yj 0 则称 为在Y yj条件下随机变量X的条件分布律 同理 对于固定的i 若P X xi 0 则称 为在X xi条件下随机变量Y的条件分布律 2 条件分布函数 同理 例二维离散型随机变量 X Y 的分布律如表 求条件分布律P X xi Y 2 解 X与Y的边缘分布如表 P X 1 Y 2 p13 p 3 3 4 P X 1 Y 2 p23 p 3 1 4 P X 2 Y 2 p33 p 3 0 又如 P X 1 Y 0 p21 p 1 0等 设 X Y 是二维连续型随机变量 这时由于对任意x y有P X x 0 P Y y 0 因此不能直接用条件概率公式引入条件分布函数P X x Y y 下面我们用极限的方法来处理 给定y 设对于任意固定的正数 P y Y y 0 于是对于任意x有 上式给出了在任意y Y y 下X的条件分布函数 现在我们引入以下的定义 二 连续型随机变量条件分布的定义 1 条件分布函数的定义 给定y 设对于任意实数x 若极限 存在 则称此极限为在条件Y y下X的条件分布函数 记为P X x Y y 或记为FX Y x y 2 公式 设 X Y 的分布函数为F x y 概率密度为p x y 若在点 x y 处p x y 连续 且pY y 0 则有 3 条件概率密度定义 同理 称为在Y y条件下X的条件概率密度 且满足概率密度的两个性质 称为在X x条件下X的条件概率密度 且满足概率密度的两个性质 例 设 X Y 服从二维正态分布N 1 2 12 22 求在X x的条件下 Y的条件密度函数pY X y x 解 X Y 的密度函数为 由以前的例子知道 所以X x条件下Y的条件概率密度为 这正是正态分布 例 设数X在区间 0 1 上随机地取值 当观察到X x 0 x 1 时 数Y在区间 x 1 上随机取值 求Y的概率密度pY y 解 按题意X具有概率密度 对于任意的x 0 x 1 在X x的条件下 Y的条件概率密度 于是得关于Y的边缘概率密度为 三 连续场合的全概率公式和贝叶斯公式 由条件概率密度定义知 故 全概率公式的密度函数形式 代入条件概率密度定义式 即得 贝叶斯公式的密度函数形式 例 设X 在X x的条件下 求Y的概率密度 解 根据题意 有 故 按x配方积分 即Y仍服从正态分布 二 条件数学期望 1定义 X在Y y的条件下的条件分布的数学期望 若存在 称为X在Y y的条件下的条件期望 具体定义式 1 当 X Y 为离散随机向量时 2 当 X Y 为连续随机向量时 同样地可定义Y在X x的条件下的条件期望 若记 可以看出 X在Y y的条件下的条件期望是y的函数 它是一个 变量 这不同于无条件期望E X Y取确定值y的条件下 Y取值随机的条件下 则 作为随机变量Y 的函数 我们可称之为在给定Y的条件下X的条件期望 它是随机变量 2 重期望公式 定理 设 X Y 为二维随机向量 且E X 存在 则 证明 略 特殊的情形 1 Y离散情形下 2 Y连续情形下 给定Y y时算X的条件期望 然后按Y y的可能性大小进行加权平均 条件期望的应用 设在一个指定的时间内供给一水电公司的电能 是一个随机变量 且 在 10 30 上服从均匀分布 该公司对于电能的需要量 也是一个随机变量 且 在 10 20 上服从均匀分布 对于所供给的电能 公司取得每千瓦0 03元利润 如果需要量超过所能供给的电能 公司就从另外的来源取得附加的电能加以补充 并取得每千瓦0 01元利润 问在所考虑的指定时间内 公司所获得的利润的期望值是多少 例 解 设T是公司所获得的利润 则 当时 当时 由全