火车站买票难问题模型.doc

2011中国大学生数学建模精英赛暨建模精英选拔赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模精英赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们的参赛报名号为： MCM201101215 所属学校（请填写完整的全名）： 海南大学 参赛队员 ： 1. 张捷 2. 姚澄雪 3. 方玉英 指导教师或指导教师组负责人 (没有可以不填写)： 日期： 2011 年 10 月 7 日旅游高峰期及春运车票紧张的解决方案 摘 要五一、十一等旅游高峰期和春运虽客流人群成分结构及流向有所差异，但均表现出铁路客流量在短期内的激增这一共同特征，因此可将其大致归于一类进行分析。本文选取广州地区及广州站为对象，全年客流量最大的春运期这一时段进行研究与分析，运用线性规划和排队论的知识最终制定出了解决2012年春运高峰期车票紧张的方案。首先，结合历年客运量数数据，利用灰色模型GM(1,1)对广州地区及广州站2012年春运时期的客流量进行预测和精度分析，可以看出灰色模型GM(1,1)的预测值与实际值基本接近，而且由其后验差可知模型的精度为优，因此其预测值具有较好的实际指导意义。接着，为解决票源不足问题，一方面可利用多目标规划模型解决了如何增设备用车可使得高峰期创造的经济利润和社会价值尽可能大，同时非高峰期运力资源的浪费尽可能小这一问题。最终确定出2012年广州火车站春运等高峰期增设备用车数量的最优值为21辆，增加的日客运量为6.3万；另一方面可先采用边际成本定价、盈亏平衡定价和总效用最优定价模型来寻找春运期间的最优票价，综合考虑社会效益、铁道部效益与乘客利益的最大化，用模糊综合评价法对这三种定价模型进行评价出总效用最优定价法为最优方案。另外可由拉姆塞模型作出改进，利用高峰负荷定价法调低非高峰期的票价以削减高峰期的客运量，最终由预测数据得到2012年调整非高峰期的票价后广州地区春运高峰期铁路客流量将减少7.89万。 最后，在票源充足的情况下，分析售票系统的特征，从而建立基于排队论火车站售票系统的优化模型，得出在春运高峰期广州火车站售票大厅至少增加76个临时售票点才能有效缓解购票压力。 关键词：灰色模型；多目标规划；排队论；层次分析法； 高峰负荷定价法一、问题重述每年的国庆，五一以及春运都会看到火车售票大厅以及代售点长长的人龙排队买票。很多情况下会有很多人买不到票，热门城市的车票更是一票难求。中国政府也采取了各种政策来进行调控，但是效果甚微。请你查阅资料，以最优化的方式建模解决这种情况。现针对广州地区及广州站春运等高峰期车票紧张的情况，制定出2012年春运等高峰期的应对方案，则需要解决以下问题：问题一，对广州火车站2012年春运等高峰期的最大客运量进行预测和分析；问题二，通过增设备用车可以扩张铁路运力，但春运等高峰期仅仅是一个短期现象，过多地增设备用车会导致资源的浪费。请提出一个增设备用车的最优方案，使其能够满足2012年春运等高峰期的客流量要求；问题三，通过票价调控可以削减铁路客流量，并诱导其向其他交通运输工具的偏移，然而票价调控的不合理会引起系列社会问题，因此要兼顾社会效益、铁道部效益与乘客利益。请提出一个票价调控的最优方案；问题四，售票窗口的不合理设置往往会引起“买票难”等一系列问题，就广州火车站春运等高峰期的售票情况，对其售票窗口的设置进行优化。二、模型假设1 假设所有网上搜集的数据均真实准确；2 假设备用列车的配置为2个机车和20个车厢，平均车厢定员为150；3 假设春运期间不考虑国家对火车票的价格管制；4 假设各售票窗口工作效率相同，任意时刻各窗口队长相等；5 假设不考虑增加临时售票点的所有影响；6 假设未来一年内不会发生严重自然灾害、较大政策变化等对客流量进行干预的系列事件；三、符号说明 车站现可承载最大客运量 为后验差检验数 备用车体运行期间的闲置费用 备用车体运营期间的成本 备用车体运营期间利润 为运输成本， 为最优票价， 列车提价产生的总效用 为第种交通工具的旅行时间 为第种交通工具的票价 为第种交通工具的其它影响因素 旅客平均等待时间 旅客平均逗留时间 等待排队买票顾客数的期望值 系统中排队买票顾客的期望值 服务强度四、问题分析该方案旨在解决导致车票紧张的两大方面难题：票源不足导致的“买不到票”和售票系统不够完善导致的“票难买”。 票源不足的根源在于铁路运输供求的尖锐矛盾，因此解决这一矛盾有两种途径：提高铁路运输的供应能力和削减铁路的客运量。提高铁路运输的供应能力的措施有多种，但从短期来看，通过增设备用车来扩张铁路运力比较可行有效，因此也常常是各大车站应对客流高峰期的重要举措；而削减铁路的客运量在于利用多种交通运输工具的整合来分散客流量，则可以通过合理调整票价来诱导旅客向其他交通工具及其它春运时段的偏移来削减普通列车的客运量；而通过合理增加临时售票点可以优化售票系统，从而缩短买票长龙。针对问题一，需要对广州火车站2012年春运等高峰期的最大客运量进行预测和分析，考虑到所能查找到的数据有限，而灰色模型GM(1,1)能够很好地克服这一不足。因此，利用灰色模型GM(1,1)来对其进行预测并由其误差检验来分析预测的合理性。针对问题二，需要使增设备用车的数量达到最优，考虑到备用车在不运行时会产生闲置费用（包括检修费等），而春运等客流高峰期运行时，即可满足客流量的要求，又能带来较大的经济利润及社会价值。由此，我们可以建立一个多目标规划模型来得到增设备用车数量的最优值，使得备用车产生的闲置费用尽可能小而获取的利润尽可能大。针对问题三，价格调控最优是在多种定价方法中找到最适合春运期间调控价格的方案，可先分别用边际成本定价法、盈亏平衡定价法和总效用最优定价法求出最优价格，再利用模糊综合评价法对其三者进行比较评价选出最优方案。针对问题四，在客运高峰期，需要合理增加临时售票点以缩短购票长龙。通过对火车站售票窗口进行特征分析，发现售票系统符合多通道排队论系统，可以建立M/M/C模型对其进行模拟优化。五、模型的建立与求解5.1 灰色预测模型GM(1,1)GM（1，1）模型是指一阶、一个变量的灰色系统模型，其具有能够利用“少数据”建模寻求现实规律的良好特性，很好地克服了资料不足的缺点，并且预测精度较高。5.1.1 模型的建立（1）累加生成数（AGO）的概念：累加生成数1-AGO指依次累加生成。记原始序列为一次生成序列为其中，（2）令表示需要建模的序列，为的1-AGO序列，则有定义为的紧邻均值生成序列：（3 ）建立如下灰微分方程：记，则灰微分方程的最小二乘估计参数列满足下式：其中， 称为灰微分方程的白化方程。（4） 预测方程的确定：首先求出时间响应函数，即白化方程的解为：再得到灰色微分方程的时间响应序列为：取，则有将值还原得到预测方程如下：5.1.2 模型的求解（1）通过网上查询，整理出广州地区和广州站20032011年春运期间客运量数据如表1、表2：表1 广州地区20032011年春运期间总客运量（单位：万人）年份200320042005200620072008200920102011总客运量386.7432.0471.6589.2664.5584.2689.5871.2984.9表2 广州站20032011年春运期间日最大客运量（单位：万人）年份200320042005200620072008200920102011日最大客运量15.315.416.917.419.321.222.022.923.7（2） 若以表1给出的总客运量数据作为原始序列，对可生成1-AGO序列，另外可得见表3.表3 原始序列、生成的1-AGO序列以及123456789386.7432.0471.6589.2664.5584.2689.5871.2984.9386.7818.71290.31879.52544.03128.23817.74688.95673.8818.71290.31879.52544.03128.23817.74688.95673.8其中，即（3） 对于上述的的GM(1,1)参数按照下式进行最小二乘估计得(B矩阵的完整数据见附录1)（4） 将代入辨识算式，得（5） 求得GM(1,1)模型为灰微分方程：白化方程：,其时间响应式为：将值还原得到预测方程如下：（6 ）利用Matlab编程（代码见附录2）可分别预测2012年广州地区春运期间总客运量和广州站日最大客运量为1060.3和25.9万人，其预测曲线分别如图1,2所示(其中绿色曲线代表实际值，红色曲线代表预测值)：（7）误差分析：由图1、图2可看出预测曲线与实际曲线拟合程度较高，除2008年外其余年份预测值与实际值的偏差较小，而2008年客流量预测值与实际值偏差较大的原因主要在于08春运期间的大规模冰雪灾害导致广州周围众多铁路发生“瘫痪”，从而不利于客运量的疏导，造成较大客运量的滞留与累积。5.1.3 模型的检验利用后验差检验能较精确地对GM(1,1)模型的预测结果进行精度检验与分析，后验差的定义为：其中，分别为残差序列的均方差和原序列的均方差，由后验差检验判别参照表，可以判断模型的精度，如表4：表4 ：后验差检验判别参照表模型精度0.35优0.5合格0.65不及格Matlab编程可得，对2012年广州地区春运期间总客运量和广州站日最大客运量的预测结果产生的后验差分别为0.16和0.10,均小于0.35，表示模型的精度为优，则预测值具有一定的实际指导意义。5.2 基于多目标规划的备用车数量优化模型春运及旅游高峰期票源不足的根本问题在于铁路运力不足，因此解决这一难题的途径在于提高铁路运输能力。而提高铁路运输能力的措施，长期来看，是加强铁路的建设以及开通铁路专线；短期来看，则是增加备用车体的数量。铁路的建设及专线的开通是一项长期复杂的任务，需要涉及的方面很多，分析起来比较困难；而增加备用车体这一措施比较灵活有效，所以常常作为春运及旅游高峰期铁路运输的重要措施。5.2.1 模型的建立（1）模型的准备增加的备用车在运休期间，会占用停车线闲置车辆，也需要进行定期检修及维修工作。因此假设运休期间车厢的闲置费用为，机车闲置费用为（其中闲置费用包括日均维护费用及检修存放费用等），车体一年中闲置天数为n，则运行天数为m=365-n；运行期间的车底运营成本为，机车运营成本为。另外需假设列车平均车厢定员为，春运客流高峰期所需要增加的车底、机车数量分别为，平均票价为p。那么，在春运客流高峰期增加的备用车所能运送的最大客流量为。并且假设车站停存备用车体的最大数量为z，高峰时期最大客运量为,车站现可承载最大客运量为。（2）目标函数的确立a.备用车体运行期间的闲置费用：b.备用车体运营期间的成本和利润：备用车体在春运客流高峰期分担的乘客量为，其中为铁路所能承受的最大客流量，为日常客流量。则客流高峰期备用车的运营收入为，而备用体运营期间的运营成本为：在运行期间，备用车体创造的利润为：(3)模型的建立由以上分析，为解决春运等客流高峰期运输难题，可建立以下模型来确定增加备用车的数量的最优解：Obj.MinA=MaxB=s.t.这是一个多目标规划问题，通常可以转换为单目标规划来求解。考虑到减小备用车的闲置费用与增加备用车利润对于火车站来说，其作用相当，因此给A,B加权各0.5，目标函数即可转化为单一的MinC=MinA-MaxB.(4) 模型的求解由问题一给出的预测数据，2012年由网上搜集的资料可得到广州站春运高峰时期日最大客运量为25.9万，另外其能停存备用车体的最大数量z为30，而且由假设可知备用列车定员为3000人，备用车体的其他具体数据见表5：表5 广州火车站备用车体的相关数据日均闲置费用（元）日均运营成本（元）闲置天数运行天数19.6万4.9万25.9万19.6万车底机车车底机车26310228704256894338452结合上述数据利用Lingo软件编程（见附录3），得出结果如下：Objective value: 89325.36(万)Variable Value X 420.0000 Y 42.00000 由此可知对于广州火车站而言，2012年春运客流高峰期备用车增加数量的最优值为y/2,即21辆。5.3 基于火车票定价的优化模型首先，根据统计数据，从整体上对从广州出发的列车进行模糊统一定价，即可抽象为从广州出发的列车无差异且前往唯一目的地，在此条件下分别用边际成本定价模型和盈亏平衡定价模型求出票价最优值。其次，对同一线路的不同运输方式进行定价，即选择普快、动车、高铁三种交通方式进行比较，运用总效用最优模型分别求其票价最优值。5.3.1 边际成本定价模型的建立与求解(1)假设运输成本和客流量之间存在函数关系为： 其中，为待定常数，为运输成本，为客流量。(2)边际成本是运输总成本对运量的导数，公式为：其中，为用边际成本确定的单位运价。(3)票价最优值的式子为： 其中，为除运输成本以外的固定运营成本。(4)对式两边同时取对数可得：根据有关数据及利用问题一中的GM(1,1)预测模型可得到广州地区春运期间及日客流量日运输成本数据如表6：表6 广州地区春运期间日运输成本及日客流量数据年份日客流量Q/万人lnQ日运输成本C/万元lnC20039.6682.269148.5865.001200410.8002.380166.7595.117200511.7902.467182.6355.207200614.7302.690229.2145.435200716.6132.810258.6955.556200814.6052.681228.7345.433200917.2382.847270.1865.599201021.7803.081343.8125.840201124.6233.204388.9945.9642012（预测）26.5083.277419.9586.040(5)将和的数据导入Eviews，参数估计出和，具体运算结果见附录4。得到：=2.667 =1.029 =14.397则： =+(6)根据铁路运营部门数据显示，大约在50-150元上下浮动。由此可估计出2012年，最优票价应定在66.292-166.292元之间。5.3.2盈亏平衡的定价模型的建立与求解考虑到铁路部门和旅客两者的利益关系, 可将运营的盈亏平衡作为制定票价模型的依据, 从而建立相应的盈亏平衡定价模型。(1)假设客运量与票价之间存在函数关系： (2)式中:为常数，为客运量，为票价，为运量的价格需求弹性系数, (2)运营收入： (3)将(2)式代入得成本： (4)当运营收入与成本达到盈亏平衡时的票价为最优平均票价, 即：可得均衡票价.由于国家对火车票有着较为严格的价格管制，票价基本由里程数决定，2003至2011年间火车票价格变化甚微。因此假设火车票价在无价格管制的情况下，可以根据类似条件将轻轨的历史数据作线性回归，估计出和的值。考虑到交通出行方式、城市的规模等因素，选取广州地铁20032010年的运营数据（见表7）作线性回归分析。表7 广州地铁运营数据年份平均票价/元客流量/亿人次20036.0747.68620046.1727.67820056.2717.67020066.3727.66220076.4747.65420086.7257.64620096.6837.63820106.7907.6302011(预)6.8997.6222012（预）7.0107.614(5)对式两边求对数可得：(6)将和的数据导入Eviews，参数估计出和，具体运算结果见附录5得到：=2.149 =-0.061 =8.576(7)代入相关数据得到盈亏均衡模型的最优票价：即票价为577.987时，达到盈亏平衡。5.3.3 总效用最优的定价模型的建立与求解乘客对交通工具的选择实际上是一个决策的过程,在此过程中乘客总是希望能够选择广义效用最大的交通工具，这种效用可采用广义效用函数的形式表示。5.3.3.1模型的建立(1)假定在出行中乘坐普快、动车和高铁的广义效用函数分别为、,由于乘客在选择某种交通工具时所用的时间和票价越小则其所得到的效用就越大,同时当其所选的交通工具的安全、舒适、方便等属性的值越大时所得到的效用也越大，则可表示为: () (3)其中，为第种交通工具的旅行时间；为第种交通工具的票价；为第种交通工具的其它影响因素,表示未被包含的属性如舒适、安全、方便等；、为待定系数。(2)假设在特定的区间内乘坐火车的客流量为,乘坐飞机的客流量为,乘坐长途汽车的客流量为，则总效用为： (4) (3)假设、不变，即、不变。当升高时,下降，也相应下降,而客流量的总和不变，即不变，所以、会增加，即普快的票价上涨会导致其部分客流转移到其他交通方式中。当、降低时，、上升，、也上升,这时会吸引其他交通方式的乘客选择动车和高铁。(4)由上述分析可知必然存在最优票价使得总效用最大。5.3.3.2模型的求解(1)确立目标函数: (5)(2)确定权重系数：、分别代表旅行时间，票价，舒适、安全、方便等在旅客心中的重要性。由于不同时期不同因素的重要程度不同，根据熵权法，在春运期间得=0.2，=0.7，=0.1。(3)已知客运量与价格的函数为，代入(5)式中得从广州出发前往唯一目的地的普快列车所需的平均时间为8.5小时，动车所需的平均时间为4小时，高铁列车所需的平均时间为2.5小时。在舒适、安全、方便等其它因素方面，取，由专家打分可得：=5.5，=7.4，=8.1(4)由一列火车客运量为3000人，得约束条件：即。运用Lingo软件，代入数据得： =223，=265 =407（单位：元）即普快定价在223，动车定价在265，高铁定价在407时，可实现所有旅客总效用最优。5.3.4 基于层次分析法的模糊评价模型5.3.4.1 建立层次分析结构模型通过查阅大量资料可知，火车票提价所产生的综合效益由社会效益、铁道部效益、乘客利益三个部分组成，其涉及到缓解交通压力、促进社会稳定、提高经济效益、保障公共安全等方面。由此建立如图所示的层次分析结构模型：图3 层次分析结构模型图说明：目标层：A 火车票提价后的综合效益；准则层一：B 社会效益、铁道部效益、乘客利益；准则层二：C 缓解交通压力、促进社会稳定、提高经济效益、保障公共安全； 决策层：D 边际成本定价法、盈亏平衡定价法、总效用最大化定价法；5.3.4.2 成对比较阵的构造由于我国铁路运输的特殊性，铁路运输不是纯粹的盈利企业，而是担负着重大社会责任的载体，因此铁路经营的社会效益是重中之重；其次，由于舆论的力量，旅客的利益也不容忽视，然后才能考虑经济效益；三种定价方案的出发点不同，带来的效益必然也不同。由此利用Saaty等人提出19尺度构造出成对比较阵，并用yaahp软件对其进行一致性检验及确定各层权重，得出最终的组合权重排序为：（成对比较阵、一致性检验结果见附录6）表8：最终组合权重排序备选方案权重边际成本定价法0.2704盈亏平衡定价法0.3080总效用最大化定价法0.4216综上分析,由于铁路交通线巨额的固定成本导致其平均成本要比边际成本高很多,采用边际成本定价虽能实现资源的利用率最大，但企业会出现巨额的亏损甚至会导致快速交通过于拥挤；采用盈亏平衡定价则所定票价将超出旅客的承受能力,虽然可以大幅度减少客运量而解决春运拥挤问题，但会严重损害社会公共利益。票价的最优值应定为既能使普快、动车、高铁等铁路各种交通方式充分发挥其运能又能使客票收入最大的票价，因此总效用最大化定价法是综合效益最大的方法，由其确定出得票价为最优值。5.4 基于拉姆塞定价法的票价优化模型5.4.1模型的建立春运期间铁路部门的需求量存在周期性波动,形成相对明显的高峰期和非高峰期,把春运的40天划分为高峰时段（春运开始前10天和春运的最后15天）和非高峰时段（春运中间的15天）。通常消费者在高峰期对价格的敏感程度小于非高峰期,所以可以采取在高峰时段定高价，而在非高峰时段定低价的策略，应用拉姆塞定价模型，结合高峰负荷定价法来求得高峰期及非高峰期的最优票价。 由经济学原理及公式已知拉姆塞定价模型的一般表达式: 式中：P为价格，MC为边际成本，为价格需求弹性系数，为拉姆塞指数令、和、分别表示高峰时段和非高峰时段的价格、边际成本和价格需求弹性系数，则代入拉姆塞定价模型的一般表达式得： （6）由于春运期间铁路运输在所有时段的边际成本一样,故可变为：由盈亏平衡价格,春运期间铁路运输的边际成本、盈亏平衡时价格需求弹性系数和非高峰时段的价格需求弹性系数，可得：即可求得非高峰期的票价 同理可得高峰期的票价()由于票价的高低在乘客对选择是否高峰时段时段出行起着决定性的作用,那么政府在非高峰时段用代替盈亏平衡点的票价作为最优票价，此时求得的最优票价明显低于盈亏平衡点的票价,因此能够吸引更多的乘客在非高峰时段回家,充分发挥对春运高峰时段拥挤的缓解作用。这样便能最大限度地对春运高峰时段的客流进行疏导。可实现总客运量不变，日客运量较为均匀。5.4.1模型的求解由盈亏平衡的定价模型可得，均衡票价，盈亏平衡时价格需求弹性系数;由边际成本定价模型可得，边际成本，参考资料可得非高峰时段的价格需求弹性系数.对代入数据可得：而根据价格与客流量的函数关系可求得而未调整票价前。因此，调整票价后非高峰时段将增加7.89万人，而高峰时段则减少7.89万人。5.4 基于排队论的火车站售票系统优化模型即使在火车票源充足的情况下，春运期间依然常常出现票难买的现象，除了特殊时期客流量过分集中外，售票系统不完善也是一个重要原因。5.4.1火车站售票窗口系统特征分析车站售票窗口排队系统是一个随机服务系统，它的服务对象出行旅客，服务设备是售票窗口，可以用旅客到达时间、售票窗口服务时间、系统容量和排队规则等参数描述。它具有如下特征：a 旅客到达车站售票窗口是相互独立的,而旅客到达的时间间隔是随机的;b 排队规则为遵从“先到先服务原则”的等待制，即旅客接受售票服务是需要等待时间的, 而旅客可以根据窗口的排队情况选择到相对空闲的队列排队;c 旅客在售票窗口接受购票服务的时间是相互独立的。综上所述,可知旅客的到达时间间隔和售票窗口服务时间均服从负指数分布，因此售票窗口排队系统属于多通道等待制M/M/C/的排队问题。5.4.2 模型的建立铁路车站售票窗口排队系统是典型的离散动态系统，由于每个旅客都存在确定的到达时间、开始服务时间和完成时间，因此可以用静态的思想来建立售票窗口排队系统的模拟模型。旅客到达时间间隔和售票窗口服务时间是模拟模型的概率输入量，售票窗口数量和旅客可接受等待时间是可控输入量，输出量为平均等待时间和买票旅客人数。可证明当旅客到达规律服从Poisson分布时，旅客的到达时间间隔和售票窗口服务时间均服从负指数分布，因此售票窗口排队系统属于多通道等待制M/M/C/的排队问题。其模拟模型概念结构图如图3所示图3 模拟模型概念结构图下面以广州火车站售票大厅为例，通过建立多通道等待制排队论模型来解决春运等期间火车站买票排队问题：设有个售票窗口，每个窗口相互独立工作，平均服务个数相同，单位时间（以小时计）内到达旅客数，单位时间内每个窗口服务旅客数，则整个服务机构的平均服务率为。旅客到达规律服从参数为的Poisson分布，在0,t时间内到达旅客数X(t)服从的分布为：旅客买票的平均时间服从参数为的负指数分布，服务时间分布为理论上已证明，当时，系统存在平稳分布。令，则系统的状态概率可通过系统处于平衡时的K 氏代数方程求出。（时，表示n状态时系统内有n个窗口正在使用的概率；nm时，表示m个旅客正在买票，其余n-m个旅客在排队等待的概率。）对0状态有 ，得；对1状态有 ，得；对m-1状态有 ，得对m状态有 ，得;对n+r-1状态有 ，得； 由正则性条件，当时，有于是 根据Little公式 5.4.3 Lingo中的排队论相关函数及相关参数计算公式1 旅客等待概率Pwait=peb(load,m)其中，m为售票窗口数；load为系统到达的荷载，即。 2 旅客平均等待时间W队=PwaitT/(m-load)其中，T为旅客买票所需的平均时间，T=1/。 3 系统中旅客的平均等待队长：L队=W队5.4.4 模型的求解在春运等客流高峰期，为了尽可能满足旅客需求及充分利用售票点资源，我们以旅客能忍耐的最长等待时间作为模型优化的标准。由以上的灰色预测模型GM(1,1)可得到广州火车站春运期间的日最大客流量为25.9万人。通过查看大量的专业调查统计我们了解到：火车站购票约占总数的22.7%，单位时间内到达的旅客期望值为2449人，每小时能服务完的旅客数为20人，而春运期间旅客可忍耐的最长等待时间为5小时。显然，则目标函数和约束条件为利用Lingo软件编程（代码见附录7）可求得：S=124，队长期望值，最长等待时间，旅客需要等待的概率为0.839。已知广州火车站现拥有固定售票窗口48个，故在春运高峰期，应至少增加76个临时售票窗口才能消除排队长龙。六、模型的改进1 问题一建立的灰色预测模型，是按广义能量系统的增长规律来预测的即在正常情况下（包括经济发展正常，天气正常，不出现影响铁路运输的灾害性事件等）进行预测，因此其缺陷在于仅适用于短期预测，对于中长期的预测结果与实际偏差较大。若要进行中长期的预测，可用新陈代谢模型，其基本思想在于越接近现在的数据对未来的影响越大，即随时间的推移能够不断地得到新的数据而老数据的信息意义随之降低，其优点体现在侧重于新数据的发展趋势，这一点与实际比较符合。2 问题二建立的多目标规划模型，在转换为单目标规划时，比较粗略地认为备用车闲置费用最小化与运营利润最大化的权重相当。可以通过询问相关部门的专家来重新确定其权重比例，另外，实地调研能挖掘出更多地其他约束条件，使得目标函数的解更准确、更接近实际。1 灰色预测模型可推广到其他领域，如自然灾害、气象及经济增长等的预测，尤其适用于数据量小的特殊情况下。2 简单的高峰负荷定价模型可推广到整个运输业，给出运输企业在需求高峰期和非高峰期的有效定价，并分析如何确定运输企业的最优生产设施能力3 排队论可应用于交通系统、港口泊位设计、机器维修、库存控制和其他服务系统当中。参考文献1 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型M.北京：高等教育出版社，2006.2 汪晓银，周保平.数学建模与数学实验M.北京：科学出版社，2009.3 张伟.关于春运问题解决方法的相关研究J.科技情报开发与经济.2010,20(1)：132134.4 陈磊.王鹏.董静宜.任超.基于排队论的火车站售票排队系统的分析与研究J.成都信息工程学院学报,2010,25(6):584-587.5 李季梅.杨俊锋.付佳.铁路车站售票窗口排队系统模拟优化J.铁道运输与经济，2007,29(12):67-70.6 肖华勇. 实用数学建模与软件应用M.西安:西安工业大学出版社，2008.7 季 令.交通运输政策M.北京:中国铁道出版社2003.8仝允桓.城市快速交通项目的最优票价与政府补偿J系统工程与实践，200l，(4)：88-919陈平.城市公共交通价格改革对策探讨J价格理论与实践，2002，(2)：3132附录附录1 矩阵的完整数据附录2 2.1 GM(1,1)模型代码function X,c,error1,error2=GM11(X0,k)% 其中X0为输入序列，k为预测长度，% X为预测输出序列，c为后验差检验数，error1为残差，error2为相对误差format long;n=length(X0);X1=;X1(1)=X0(1);for i=2:n X1(i)=X1(i-1)+X0(i); %计算累加生成序列endfor i=1:n-1B(i,1)=-0.5*(X1(i)+X1(i+1); %计算B，Yn B(i,2)=1; Y(i)=X0(i+1);endalpha=(B*B)(-1)*B*Y; %做最小二乘估计a=alpha(1,1);b=alpha(2,1);d=b/a; %计算时间响应函数参数c=X1(1)-d;X2(1)=X0(1);X(1)=X0(1);for i=1:n-1 X2(i+1)=c*exp(-a*i)+d; X(i+1)=X2(i+1)-X2(i); %计算预测序列endfor i=(n+1):(n+k) X2(i)=c*exp(-a*(i-1)+d; %计算预测序列 X(i)=X2(i)-X2(i-1);endfor i=1:n error(i)=X(i)-X0(i); error1(i)=abs(error(i); %计算残差 error2(i)=error1(i)/X0(i); %计算相对误差endc=std(error1)/std(X0); %计算后验差检验数2.2 2012年春运期间广州地区铁路总客运量预测X0=386.7432.0471.6589.2664.5584.2689.5871.2984.9;k=1;X,c,error1,error2=GM11(X0,k)plot(2003:2011,X0,g*-)hold on plot(2003:2012,X,r*-)xlabel(年份)ylabel(客流量（万人）)title(图1 20032011年春运期间广州地区铁路总客运量)grid on2.3 2012年春运期间广州站日最大铁路客运量预测X0=15.315.416.917.419.321.222.022.923.7;k=1;X,c,error1,error2=GM11(X0,k)plot(2003:2011,X0,g*-)hold on plot(2003:2012,X,r*-)xlabel(年份)ylabel(客流量（万人）)title(图2 20032011年广州站日最大铁路客运量)grid on附录3 备用车增设数量的最优化min =75.4810*x+111.9328*y+91.2186*x+392.2104*y-1862.49;x+y660;x63000;End附录4 边际成本定价法的Eview运行结果Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 10/09/11 Time: 17:50Sample: 2003 2012Included observations: 10VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C2.6672980.007461357.49710.0000X1.0293450.002675384.86680.0000R-squared0.999946 Mean dependent var5.519200Adjusted R-squared0.999939 S.D. dependent var0.353082S.E. of regression0.002752 Akaike info criterion-8.776003Sum squared resid6.06E-05 Schwarz criterion-8.715486Log likelihood45.88001 F-statistic148122.5Durbin-Watson stat2.294299 Prob(F-statistic)0.000000附录5盈亏平衡定价法的Eview运行结果Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 10/09/11 Time: 21:38Sample: 2003 2012Included observations: 10VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C2.1493740.005934362.22320.0000X-0.0611710.003159-19.365010.0000R-squared0.979112 Mean dependent var2.034500Adjusted R-squared0.976502 S.D. dependent var0.003028S.E. of regression0.000464 Akaike info criterion-12.33602Sum squared resid1.72E-06 Schwarz criterion-12.27551Log likelihood63.68012 F-statistic375.0037Durbin-Watson stat2.108031 Prob(F-statistic)0.000000附录6总效用最大定价模型的Lingo代码max =(0.0235+0.7/a+0.55)*8.576*(a(-0.041)+(0.05+0.7/b+0.74)*8.576*(b(-0.061)+(0.08+0.7/c+0.81)*8.576*(c(-0.071); ab;bc;a(-0.041)+b(-0.061)+c(-0.071)0.035;end附录7 成对比较阵、一致性检验结果7.1 层次分析法组合权重及一致性检验结果1 火车提价后的综合效益判断矩阵一致性比例：0.0025；对总目标的权重：1.0000；火车提价后的综合利益社会效益铁道部效益乘客利益社会效益1.00007.0003.00000.6817铁道部效益0.14291.0000.50000.1025乘客利益0.33332.0001.