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第六章布莱克 舒尔斯期权定价模型 1 第一节证券价格的变化过程 一 有效市场假说与马尔可夫过程1965年 法玛 Fama 提出了著名的有效市场假说 Efficientmarketshypothesis 如果在一个证券市场中 价格完全反映了所有可获得的信息 那么就称这样的市场为有效市场 衡量证券市场是否具有外在效率有两个标志 价格是否能自由地根据有关信息而变动 证券的有关信息能否充分地披露和均匀地分布 使每个投资者在同一时间内得到等量等质的信息 根据这一理论 股票的技术分析是无效的 2 弱式有效市场假说 WeakFormMarketEfficienty 该假说认为在弱式有效的情况下 市场价格已充分反映出所有过去历史的证券价格信息 包括股票的成交价 成交量 卖空金额 融资金额等 推论1 如果弱式有效市场假说成立 则股票价格的技术分析失去作用 基本分析还可能帮助投资者获得超额利润 3 半强式有效市场假说 Semi StrongFormMarketEfficienty 该假说认为价格已充分所映出所有已公开的有关公司营运前景的信息 这些信息有成交价 成交量 盈利资料 盈利预测值 公司管理状况及其它公开披露的财务信息等 假如投资者能迅速获得这些信息 股价应迅速作出反应 推论2 如果半强式有效假说成立 则在市场中利用技术分析和基本分析都失去作用 内幕消息可能获得超额利润 4 强式有效市场假说 Strong FormMarketEfficioncy 强式有效市场假说认为价格已充分地反映了所有关于公司营运的信息 这些信息包括已公开的或内部未公开的信息 推论3 在强式有效市场中 没有任何方法能帮助投资者获得超额利润 即使基金和有内幕消息者也一样 5 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 MarkovStochasticProcess 来表述 随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程 可分为离散型的和连续型的 马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程 变量的当前值与未来的预测有关 变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关 如果证券价格遵循马尔可夫过程 则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格 6 二 布朗运动 一 标准布朗运动 维纳过程 设代表一个小的时间间隔长度 代表变量z在时间内的变化 遵循标准布朗运动的具有两种特征 特征1 和的关系满足 1 其中 代表从标准正态分布 即均值为0 标准差为1 0的正态分布 中取的一个随机值 7 标准布朗运动 2 特征2 对于任何两个不同时间间隔 和的值相互独立 考察变量z在一段较长时间T中的变化情形 可得 2 当 0时 可以得到极限的标准布朗运动 3 8 维纳过程的性质 Z T Z t 也服从正态分布均值等于0方差等于T t方差可加性 9 为何使用布朗运动 正态分布 经验事实证明 股票价格的连续复利收益率近似地服从正态分布 数学上可以证明 具备特征1和特征2的维纳过程是一个马尔可夫随机过程 从而与弱式EMH相符 维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次变分 QuadraticVariation 不为零的性质 与股票收益率在时间上存在转折尖点等性质也是相符的 10 二 普通布朗运动 变量x的普通布朗运动 4 或者x t x0 at bz t adt为确定项 漂移率a意味着每单位时间内x漂移a bdz是随机项 代表着对x的时间趋势过程所添加的噪音 使变量x围绕着确定趋势上下随机波动 且这种噪音是由维纳过程的b倍给出的 b2称为方差率 b称为波动率 11 三 伊藤过程与伊藤引理 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数 若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数 可以从公式 4 得到伊藤过程 ItoProcess 5 其中 dz是一个标准布朗运动 a b是变量x和t的函数 变量x的漂移率为a 方差率为b2 12 若变量x遵循伊藤过程 则变量x和t的函数也是伊藤过程 6 伊藤引理 三 伊藤过程与伊藤引理 13 四 证券价格的变化过程 几何布朗运动 证券价格的变化过程可以用漂移率为 S 方差率为的伊藤过程来表示 7 几何布朗运动两边同除以S得 8 14 从 8 可知 在短时间后 证券价格比率的变化值为 9 也具有正态分布特征 15 7 根据伊藤引理 6 衍生证券的价格G应遵循如下过程 10 16 例 证券价格自然对数变化过程 令 由于代入式 10 11 证券价格对数G遵循普通布朗运动 且符合正态分布 17 第二节B S期权定价模型 布莱克 舒尔斯微分方程的假设 股票价格遵循几何布朗运动 允许卖空股票 没有交易费用和税收 所有证券都可分 在衍生证券有效期内标的股票无现金收益 不存在无风险套利机会 证券交易是连续的 证券价格变化也是连续的 在衍生证券有效期内 无风险连续复利利率为常数 18 2020 2 5 19 一 布莱克 舒尔斯微分方程的推导假设证券价格S遵循几何布朗运动 则 12 20 假设f是依赖于S的衍生证券的价格 则 13 14 为了消除 构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合 令代表该投资组合的价值 则 15 21 在时间后 16 将式 12 和 14 代入式 16 可得 17 在没有套利机会的条件下 把式 15 和 17 代入上式得 22 布莱克 舒尔斯微分分程 化简为 18 这就是著名的布莱克 舒尔斯微分分程 它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价 23 二 布莱克 舒尔斯期权定价公式 在风险中性的条件下 欧式看涨期权到期时 T时刻 的期望值 标的资产无收益 为 其现值为 19 对数股票价格的分布为 20 24 对式 19 求解 21 其中 N 为标准正态分布变量的累积概率分布函数 其性质 N x 1 N x 25 可以从三个角度来理解这个公式 首先 N d2 是在ST大于X的概率 或者说是期权被执行的概率 e r T t XN d2 是X的风险中性期望值的现值 SN d1 e r T t STN d1 是ST的风险中性期望值的现值 26 其次 是复制交易策略中股票的数量 SN d1 就是股票的市值 e r T t XN d2 则是复制交易策略中负债的价值 27 最后 从金融工程的角度来看 欧式看涨期权可以分拆成或有资产看涨期权 Asset or notingcalloption 多头和或有现金看涨期权 cash or nothingoption 空头 SN d1 是或有资产看涨期权的价值 e r T t XN d2 是X份或有现金看涨期权空头的价值 28 例 假设某不支付红利的股票的市价为50元 无风险利率为12 该股票的年波动率为10 求该股票的协议价格为50元 期限1年的欧式看涨期权和看跌期权的价格 29 30 C 50 0 8944 50 0 8749e 0 12 5 92 P 50 1 0 8749 50 1 0 8744 e 0 12 0 27 31 习题 1 假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动 其预期年收益率16 年波动率30 该股票当天收盘价为50元 求 第二天收盘时的预期价格 第二天收盘时股价的标准差 在置信度为95 情况下 该股票第二天收盘时的价格范围 32 因为股票价格遵循几何布朗运动具有正态分布特征由题意第二天股价的预期为50 022 标准差为0 785 33 在95 的置信水平下 第二天的股价会落在50 022 1 96 0 785