【全程复习方略】（湖南专用）高中数学 5.5数列的综合应用课时提能训练 理 新人教A版.doc

【全程复习方略】（湖南专用）2014版高中数学 5.5数列的综合应用课时提能训练 理 新人教a版 (45分钟 100分)一、选择题（每小题6分，共36分）1.（2012聊城模拟）已知各项不为0的等差数列an满足,数列bn是等比数列，且b7=a7，则b6b8=( )（a）2（b）4（c）8（d）162.2011年11月1日5时58分10秒“神八”顺利升空，若运载“神八”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km，此后每秒钟通过的路程增加2 km，若从这一秒钟起通过240 km的高度，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )(a)10秒钟(b)13秒钟(c)15秒钟(d)20秒钟3.（易错题）已知等差数列an的前n项和为sn，且s2=10，s5=55，则过点p(n,an)和q(n+2,an+2)(nn*)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )（a）（2，4）（b）（）（c）（，-1）（d）（-1，-1）4.已知实数等比数列an中，sn是它的前n项和.若a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为，则s5等于( )（a）35（b）33（c）31（d）295.已知数列an、bn都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1b1，a1、b1n*(nn*)，则数列的前10项的和等于( )（a）65（b）75（c）85（d）956.（2012合肥模拟）已知数列an为等差数列，若-1，且它们的前n项和sn有最大值，则使得sn0的n的最小值为( )(a)11(b)19(c)20(d)21二、填空题（每小题6分，共18分）7.（2012温州模拟）设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列的前n项和sn等于_.8.设sn是数列an的前n项和,若(nn*)是非零常数，则称数列an为“和等比数列”.若数列是首项为2,公比为4的等比数列，则数列bn_（填“是”或“不是”）“和等比数列”.9.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出_万元资金进行奖励三、解答题（每小题15分，共30分）10.(2012岳阳模拟)已知数列an的前n项和为sn,且(a-1)sn=a(an-1)(a0,nn*).(1)求证数列an是等比数列，并求an;(2)已知集合ax|x2+a(a+1)x，问是否存在实数a,使得对于任意的n n*都有sna？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.11.(预测题)对于给定数列cn,如果存在实常数p、q，使得cn+1pcn+q对于任意nn*都成立，我们称数列cn是“m类数列”.(1)若an=2n,bn=32n,nn*,数列an、bn是否为“m类数列”？若是，指出它对应的实常数p,q，若不是，请说明理由；(2)若数列an满足a1=2,an+an+1=32n(nn*).求数列an前2 011项的和.已知数列an是“m类数列”，求an.【探究创新】（16分）已知数列an的前n项和为sn，对一切正整数n,点pn(n,sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上，且在点pn(n,sn)处的切线的斜率为kn.(1)求数列an的通项公式;(2)若,求数列bn的前n项和tn.答案解析1.【解析】选d.数列an是等差数列，a3+a11=2a7,由2a3- +2a11=0，得=0,又an0,a7=4,=16.2.【解析】选c.设从这一秒钟起，经过x秒钟，通过240 km的高度.由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有即x2+x-240=0.解得x=15或x=-16（舍去）.3.【解题指南】解决本题首先明确方向向量的概念，然后通过已知求得数列的首项和公差，再求得直线的一个方向向量与选项对比即可.【解析】选b.由s2=10，s5=55，得2a1+d=10,5a1+10d=55,解得a1=3,d=4,可知直线pq的一个方向向量是(1,4),只有与（1，4）平行,故选b.4.【解析】选c.由a2a3=a1a4=2a1得a4=2,又a4+2a7=,a7=,设等比数列an的公比为q，则a7=,q=,a1=16,.5.【解析】选c.应用等差数列的通项公式得an=a1+n-1,bn=b1+n-1,数列也是等差数列，且前10项和为.【方法技巧】构造等差数列求解在等差数列相关问题中，有些数列不能直接利用等差数列的性质和求和公式，但是通过对数列变形可以构造成等差数列.（1）由递推公式构造等差数列一般是从研究递推公式的特点入手，如递推公式an+1=2an+32n+1的特点是除以2n+1就可以得到下标和指数相同了，从而构造成等差数列.（2）由前n项和sn构造等差数列.（3）由并项、拆项构造等差数列.6.【解题指南】解答本题首先要搞清条件“”及“sn有最大值”如何使用，从而列出关于a1,d的不等式组，求出的取值范围，进而求出使得sn0的n的最小值.【解析】选c.方法一：由题意知d0,a100,a110,a10+a110,由得.由sn=0得n=0或sn0的解集为nn*|故使得sn0的n的最小值为20.方法二：由题意知d0,a100,a110,a10+a110,由a100知s190,由a110知s210,由a10+a110知s200,故选c.7.【解析】y=nxn-1-(n+1)xn,y|x=2=n2n-1-(n+1)2n=-n2n-1-2n,切线方程为y+2n=(-n2n-1-2n)(x-2),令x=0得y=(n+1)2n，即an=(n+1)2n,sn=2n+1-2.答案：2n+1-28.【解题指南】解决本题的关键是正确理解“和等比数列”的定义，然后求解.【解析】数列是首项为2,公比为4的等比数列，所以设数列bn的前n项和为tn,则tn=n2,t2n=4n2,所以=4,因此数列bn是“和等比数列”.答案：是9.【解析】设第10名到第1名得到的奖金数分别是a1,a2,a10,则则即an=2an-1,因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以答案：2 04610.【解析】(1)当n=1时，(a-1)s1=a(a1-1)，即(a-1)a1=a(a1-1),a1=a(a0);当n2时，(a-1)sn=a(an-1)(a0),(a-1)sn-1=a(an-1-1)(a0),(a-1)an=a(an-an-1),变形得：(n2),数列是以a1=a为首项，以a为公比的等比数列，即an=an.(2)当a=1时，a1，snn,只有n=1时，sna,a=1不合题意；当a1时，ax|1xa,s2=a+a2a,s2a,a1时不存在满足条件的实数a;当0a1时，ax|ax1,sn=a+a2+a3+an=,因此对任意的nn*,要使sna,需满足综上得实数a的取值范围是(0, .11. 【解析】(1)因为an2n,则有an+1=an+2,nn*.故数列an是“m类数列”，对应的实常数分别为1，2.因为bn=32n，则有bn+1=2bn，nn*.故数列bn是“m类数列”，对应的实常数分别为2，0.(2)因为an+an+1=32n(nn*),则有a2+a3=322，a4+a5=324，a2 008+a2 009=322 008.a2 010+a2 011=322 010.故数列an前2 011项的和s2 011=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a2 008+a2 009)+(a2 010+a2 011)=2+322+324+322 008+322 0102+(22 012-4)22 012-2.数列an是“m类数列”，存在实常数p、q,使得an+1=pan+q对于任意nn*都成立，且有an+2=pan+1+q对于任意nn*都成立，因此(an+1+an+2)=p(an+an+1)+2q对于任意nn*都成立，而an+an+1=32n(nn*),且an+1+an+2=32n+1(nn*),则有32n+1=3p2n+2q对于任意nn*都成立，即32n(2-p)=2q对于任意nn*都成立，因此p-2=0,q=0,此时，an+1=2an,又a1=2,an=2n(nn*).【探究创新】【解题指南】(1)将点pn代入函数f(x)后，利用sn与an的关系，求得an;(2)先求f(x)在点pn处的斜率kn，代入bn后利用错位相减法求出tn.【解析】(1)点pn(n,sn)在函数f(x)=x2+2x的图象上，sn=n2+2n(nn*)当n2时，an=sn-sn-1=2n+1,当n=1时，a1=s1=3满足上式，所以数列an的通项公式为an=2n+1.(2)由f(x)=x2+2x,求导得f(x)=2x+2.在点pn(n,sn)处的切线的斜率为kn,kn=2n+2,bn=tn=434+4542+4743+4(2n+1)4n,用错位相减法可求得【变式备选】已知等差数列an满足：an+1an(nn*),a1=1,该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列bn的前三项.(1)分别求数列an,bn的通项公式an,bn.(2)设(nn*),若c(cz)恒成立，求c的最小值.【解析】(1)设d、q分别为数列an、