第十三章：二叉树PPT课件.pptx

第十三章 二叉树 2020 2 5 1 第十三章二叉树模型 引言 对期权定价时 一种实用并且很流行的方法是构造二叉树 binomialtree 模型 二叉树是指代表在期权期限内可能会出现的股票价格变动路径的图形 假设了股票价格服从随机游动 randomwalk 在树形上的每一步 股票价格以某种概率会向上移动一定的比率 同时以某种概率会向下移动一定的比率 本章解释了用于期权定价的无套利假设的特征 介绍了经常用于对美式期权及其他衍生品定价所采用的二叉树值方法 引入了非常重要的风险中性定价原理 2020 2 5 2 第十三章二叉树模型 目录一 一步二叉树模型与无套利方法二 风险中性定价三 两步二叉树四 看跌期权例子五 美式期权六 Delta七 与波动率吻合的u和d八 二叉树公式九 增加二叉树的步数十 运用DeribaGem软件十一 其他基础资产的期权 2020 2 5 3 第十三章二叉树模型 一 一步二叉树模型与无套利方法假设一只股票的当前价格为20美元 并且己知在3个月后股票的价格将会变为22美元或18美元 希望对期限为3个月 执行价格21美元的欧式看涨期权进行定价 图1 1 本部分例子中股票价格的变化 股票价格 20美元 股票价格 22美元期权价格 1美元 股票价格 18美元期权价格 0 2020 2 5 4 第十三章二叉树模型 构造无风险证券组合 单位的股票的长头寸 1份看涨期权短头寸 则22 1 18 即 0 25股票价格上涨为22美元 组合价值为22 0 25 1 4 5美元股票价格下跌到18美元 组合价值为18 0 25 4 5美元 2020 2 5 5 第十三章二叉树模型 当市场不存在套利机会时 无风险的投资组合收益率等于无风险利率 假设这时的无风险利率每年为12 该投资组合在今天的价值必须为4 5美元的贴现值 也就是 美元 股票在今天的价格已知为20美元 如果将看涨期权的当前价格记为 那么投资组合在今天的价值是20 0 25 4 367 0 633 美元 如果期权的当前价格高于0 633美元 那么构造投资组合的费用就会低于4 367美元 投资组合的收益率就会高于无风险利率 如果期权的当前价格低于0 633美元 卖空该投资组合将会获得一个低于无风险利率的融资机会 一般来讲 对于卖出每份看涨期权 都要通过买入 股股票来构成无风险投资组合 因此在对冲期权风险时 参数 非常重要 2020 2 5 6 S0 股票的价格f0 股票期权T 期权的期限S0u 在期权有效期内上涨后的股票价格 u 1 S0d 在期权有效期内下跌后的股票价格 d 1 fu 股票价格变到S0u 相应的期权价格fd 股票价格变到S0d 相应的期权价格 推广 第十三章二叉树模型 2020 2 5 7 第十三章二叉树模型 假设市场上无套利机会 如图1 2所示 图1 2在一步二叉树中的股票价格及期权价格 如果股票价格上涨 期权到期时组合的价格为S0u u如果股票价格下跌 期权到期时组合的价格为S0d d 2020 2 5 8 第十三章二叉树模型 考虑到一个由 单位股票的多头与一份看涨期权空头所组成的投资组合 需要找到一个是投资组合没有任何风险的 如果价格上涨 在期权合约到期时投资组合的价为 如果价格下跌 在期权合约到期时投资组合的价为 在无套利的假设前提下 这两个值应当相等 即 得出式子 13 1 表明 是在T时刻期权价格变化与股票价格变化的比率 S0uD u S0dD d S0uD u S0dD d 13 1 2020 2 5 9 第十三章二叉树模型 既然投资组合是无风险的 那么投资组合的收益率必须等于无风险利率 如果将无风险利率记为r 投资组合的现值为 S0uD u e rT构造投资组合的初始成本是S0D f令 S0D f将式子 13 1 中的 带入上式并化简 得到欧式看涨期权的定价公式 p u 1 p d e rT其中当股票价格的变动过程由一步二叉树给出时 式子 13 2 和式子 13 3 可以用来对期权进行定价 S0uD u e rT 13 2 13 3 2020 2 5 10 第十三章二叉树模型 图13 1的例子中 u 1 1 d 0 9 r 12 T 0 25 u 1及fd 0 由式子 13 3 得出由式子 13 2 得出 2020 2 5 11 第十三章二叉树模型 2 股票期望收益的无关性期权定价公式 13 2 中没有涉及股票价格上涨或下跌的概率例如 按此公式 13 2 计算 当股票价格上涨概率为0 5时 所得的欧式期权价格与股票价格上涨概率为0 9时所得的欧式期权价格一样 我们会很自然地认为当股票价格上涨的概率增大时 该股票的看涨期权价格也会增大 股票的看跌期权价值会下降 但事实并非如此 关键原因 不是在一个绝对的条件下对期权进行定价的 而是根据股票价格来计算期权价格的 未来股票价格上涨与下跌的概率已经反映在它的价格之中 根据股票对期权定价时 无须再考虑股票上涨与下跌的概率 2020 2 5 12 第十三章二叉树模型 二 风险中性定价风险中性世界的两个特点可以简化对衍生产品的定价1 股票 或任何投资 的收益率期望等于无风险利率 2 用于对期权 或其他债券 的收益期望值贴现的利率等于无风险利率 期权在到期日的收益在风险中性世界里的期望值 pfu 1 p fdp 风险中性世界里股票价格上涨的概率1 p 风险中性世界里股票价格下跌的概率 2020 2 5 13 第十三章二叉树模型 证明 p 风险中性世界里股票价格上涨的概率 将p带入公式 得出 说明股票价格上涨概率为p时 其按无风险利率平均速度增长 股票价格的变化正如当p为价格上涨概率时在风险中性世界所期望的那样 2020 2 5 14 第十三章二叉树模型 例 股票的当前价格为20美元 3个月后的股票价格变成22美元或者18美元 这里考虑的期权为欧式期权 执行价格为21美元 期限为3个月 无风险利率为12 2020 2 5 15 第十三章二叉树模型 分析 3个月后股票的期望满足 因此p 0 6523 在第3个月后 看涨期权的期望值为 0 6523 1 0 3477 0 0 6523因此 期权今天的价格为 美元 2020 2 5 16 第十三章二叉树模型 三 两步二叉树例 股票初始价格为20美元 在树中的任意一步 股票价格或者上涨10 或下跌10 假定树中每一步的步长均为3个月 无风险利率为12 期权的期限为6个月 执行价格为21美元 计算在起始点的期权价格 P 0 6523 图1 3两步二叉树中的股票价格 2020 2 5 17 第十三章二叉树模型 节点B上的期权价值为 节点A上的期权价值为 20A1 2823 22B2 0257 18C0 D24 23 2 E19 80 F16 20 图1 4两步二叉树的股票价格及期权价格 2020 2 5 18 第十三章二叉树模型 推广 我们假定无风险利率为r 二叉树的步长为 t年 S0f S0ufu S0u2fuu S0udfud S0dfd S0d2fdd 图1 5一般两步二叉树中的股票价格及期权价格 2020 2 5 19 第十三章二叉树模型 因为步长为 t 式 13 2 及式 13 3 变为 e r t p u 1 p d 13 5 13 6 重复 13 5 我们得出 13 7 13 8 13 9 2020 2 5 20 第十三章二叉树模型 将式 13 7 和式 13 8 带入式 13 9 我们得出 13 10 2020 2 5 21 第十三章二叉树模型 四 看跌期权例子 例 考虑一个两年期执行价格为52美元的欧式看跌期权 股票的当前价格为50美元 我们假定股票价格服从步长为1年的两步二叉树 在二叉树的每一步上 股票价格过上涨20 或者下跌20 我们假定无风险利率为5 二叉树如图1 6 图1 6利用两步二叉树来对欧式看跌期权定价 2020 2 5 22 2020 2 5 23 第十三章二叉树模型 如图所示 这里u 1 2 d 0 8 t 1及r 0 05 我们可以算出风险中性概率p为 最终的股票价格可能为72美元 48美元或32美元 这时fuu 0 fud 4 fdd 20 根据式 13 10 我们有f e 2 0 05 1 0 62822 0 2 0 6282 0 3718 4 0 37182 20 4 1923看跌期权的价值为4 1923美元 2020 2 5 24 第十三章二叉树模型 五 美式期权 定价的过程是从树的末尾出发以倒推的形式推算到树的起点 在树的每一个节点上 我们都需要检验提前行使期权是否为最优 在树的最后节点上 期权的价格等于欧式期权的价格 之前任何一个节点上期权的价格等于以下两个数的最大值 1 由式 13 5 所计算的值 2 提前行使期权的收益 2020 2 5 25 第十三章二叉树模型 美式期权 图1 7利用两步二叉树来对美式看跌期权定价 2020 2 5 26 第十三章二叉树模型 六 Delta 一个股票期权的Delta为期权价格变化同股票价格变化之间的比率 它是当我们卖出一份期权时 为了构造无风险组合而需要持有的标的的股票数量 构造无风险组合优势也被称为Delta对冲 deltahedging 看涨期权的Delta为正 看跌期权的Delta为负 2020 2 5 27 由图1 1 我们可以计算出所考虑的看涨期权Delta为 在图1 4中 对应于股票价格在第一步变化的Delta为 如果在第一步后股票价格上涨 第二步的Delta为 2020 2 5 28 如果在第一步后股票价格下跌 在第二步的Delta为 由图1 6得出 在第一步后的Delta为 在第二步后Delta等于 或 2020 2 5 29 两步二叉树的例子说明 Delta的值随着时间变化而变化 因此 采用期权和股票进行无风险对冲时我们需要不断调整所持股票的数量 结论 2020 2 5 30 七 选取u和d使二叉树与波动率吻合 为了构造一个步长期限为 t的二叉树模型 需要确定3个参数 u d和p 一旦u和d确定之后 在选取p时要确保预期回报率等于无风险利率r 之前我们已经证明 13 11 参数u和d的选取要确保二叉树模型得到的收益率标准差与现实的收益波动率一致 假定 是现实世界中的股票波动率 这里股票 或任何资产 波动率 的定义是使得 为股票价格在一个长度为 t的时间区间内收益的标准差 与此等价的是 收益的方差为 2 2020 2 5 31 假定变量X表示股票的收益率 收益率的方差用公式表示为 2 2 其中E代表期望值 在每一个步长为 t的区间内 股票收益率等于u 1的概率为p 收益率等于d 1的概率为1 p 在每一个步长内 股票收益率的期望值E X p u 1 1 p d 1 在每一个步长内 股票收益率平方的期望值E X2 p u 1 2 1 p d 1 2根据方差的计算公式 在每一个步长内 股票收益率的方差等于 2 2 12 1 12 1 1 1 2 2020 2 5 32 二叉树模型的收益波动率与现实的股票波动率保持一致 得出 12 1 12 1 1 1 2 2 13 12将13 11的概率表达式代入以上方程并简化 得出 2 2 13 13忽略 2和 的更高次幂以后 方程的解为 和 2020 2 5 33 如果选择在真实世界中 二叉树模型得到的收益率标准差与现实的收益波动率一直 u和d会变化吗 我们可以证明 u和d是不变的 假定在现实世界里股价上涨的概率为p 在风险中性世界中股价上涨的概率为p S0 S0u S0d 现实世界 S0 S0u S0d 风险中性世界 p p 1 p 1 p 2020 2 5 34 定义 为现实世界中收益率的期望值 因此 1 13 14假定 依然是现实世界的股票波动率 二叉树模型得到的收益率标准差与现实收益波动率一致就会得到与式子13 12相同的方程式 12 1 12 1 1 1 2 2 将式子13 14代入以上方程 得出 2 2 得出方程的解与方程式13 13的解相同 即 和 2020 2 5 35 八 二叉树公式 根据以上分析表明 当二叉树上的步长为 t时 为了与波动率相吻合 我们取 p 以上的几个式子就定义了整个二叉树模型 2020 2 5 36 例 考虑一个美式看跌期权 其中股票价格为50美元 执行价格为52美元 无风险利率为5 期权期限为2年 二叉树包含两步 这时 t 1 假定波动率为30 根据公式 我们可以得到 0 3 1 1 3499 11 3499 0 7408 0 05 1 1 0513 1 0513 0 74081 3499 0 7408 2020 2 5 37 因为 代入数据得出fd 12 4238 14 96故此时提前行权 该期权价值为14 96 2020 2 5 38 九 增加二叉树的步数 在实际中应用二叉树时 期权的期限通常会被分割为30或更多的步数 在每一个时间步里 股票价格的变动由一个单步二叉树来表达 在30个时间步中 总共有31个最终股票价格 并且有230 即大约10亿种可能的股票价格路径 不管步数是多少 树形的结构都由我们之前计算的u d p a定义 例如 假定上一节中的二叉树为5步而不是两步 则相应的参数为 t 2 5 0 4 r 0 05 0 3 利用公式 我们可以得出 0 3 0 4 1 2089 11 2089 0 8272 0 05 0 4 1 0202 1 0