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一 选择题 1 设 f x 在 内可导 且对任意x1 x2 x1 x2时 都有f x1 f x2 则 a 对任意 x b 对任意 x c 函数 f x 单调增加 d 函数 f x 单调增加 解 a 反例 有 b 显然错误 因为 函数单减 c 反例 单调减少 排除 a b c 后 d 为答案 具 体证明如下 令 F x f x x1 x2 x1 f x2 F x2 2 设 f x 在 上连续 当 a 为何值时 的值 为极小值 a b c d 解 为a的二次式 所以当 a F a 有极小值 3 函数y f x 具有下列特征 f 0 1 当 x 0 时 则其图形 a b c d 1 1 1 1 解 b 为答案 4 设三次函数 若两个极值点及其对应的两个极值均 为相反数 则这个函数的图形是 a 关于 y 轴对称 b 关于原点对称 c 关于直线 y x 轴对称 d 以 上均错 解 假设两个极值点为 x t 及 x t t 0 于是 f t f t 所以 所以 b d 0 的根为 x t 所以 b 0 于是 d 0 所以 为奇函数 原点对称 b 为答案 5 曲线 与 x 轴所围图形面积可表示为 a b c d 解 0 1 2 由图知 c 为答案 二 填空题 1 函数 x 0 的单调减少区间 解 所以 0 x b 0 之间的图形的面积 解 二椭圆的第一象限交点的x坐标为 所以所求面积为 4 ab 4 x 2 y2 a2绕 x b b a 0 旋转所成旋转体体积 解 b a 由图知 5 求心脏线 4 1 cos 和直线 0 围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积 解 极坐标图形绕极旋转所成旋转体体积公式 所以 三 计算题 1 在直线x y 1 0 与抛物线 的交点上引抛物线的法线 试求由两 法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积 解 由联立方程 解得交点坐标 由 求得二条法线的斜率分别为 相应的法线为 解得法线的交点为 已知三点求面积公式为 所以 2 在抛物线y x 2上一点 P a a 2 作切线 问 a为何值时所作切线与抛物线y x 2 4x 1 所围图形面积最小 解 切线和抛物线的交点为 3 求通过点 1 1 的直线y f x 中 使得 为最小的直线方程 解 过点 1 1 的直线为 y kx 1 k 所以 F k k 2 所求直线方程为 y 2x 1 4 求函数 的最大值与最小值 解 解得 x 0 x 1 所以 最大值 最小
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