湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 3.1.3导数的几何意义课件 新人教版选修11.ppt

3 2导数的几何意义 高二数学选修1 1 一 复习 1 导数的定义 其中 其几何意义是表示曲线上两点连线 就是曲线的割线 的斜率 其几何意义是 2 切线 能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线 直线与曲线有唯一公共点时 直线叫曲线过该点的切线 如果能 请说明理由 如果不能 请举出反例 不能 直线与圆相切时 只有一个交点p p q o x y y f x 割线 切线 t 1 曲线上一点的切线的定义 结论 当q点无限逼近p点时 此时直线pq就是p点处的切线pt 点p处的割线与切线存在什么关系 新授 设曲线c是函数y f x 的图象 在曲线c上取一点p x0 y0 及邻近一 点q x0 x y0 y 过p q两点作割 线 当点q沿着曲线无限接近于点p 点p处的切线 即 x 0时 如果割线pq有一个极 限位置pt 那么直线pt叫做曲线在 曲线在某一点处的切线的定义 t 此处切线定义与以前的定义有何不同 x y o p q m 为什么与抛物线对称轴平行的直线不是抛物线的切线 思考 p pn 割线 切线 t 当点pn沿着曲线无限接近点p即 x 0时 割线ppn趋近于确定的位置 这个确定位置的直线pt称为点p处的切线 圆的切线定义并不适用于一般的曲线 通过逼近的方法 将割线趋于的确定位置的直线定义为切线 交点可能不惟一 适用于各种曲线 所以 这种定义才真正反映了切线的直观本质 m x y 割线与切线的斜率有何关系呢 即 当 x 0时 割线pq的斜率的极限 就是曲线在点p处的切线的斜率 q2 q3 q4 t 继续观察图像的运动过程 还有什么发现 当点q沿着曲线无限接近点p即 x 0时 割线pq有一个极限位置pt 则我们把直线pt称为曲线在点p处的切线 设切线的倾斜角为 那么当 x 0时 割线pq的斜率 称为曲线在点p处的切线的斜率 即 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质 函数平均变化率的极限 要注意 曲线在某点处的切线 1 与该点的位置有关 2 要根据割线是否有极限来判断与求解 如有极限 则在此点有切线 且切线是唯一的 如不存在 则在此点处无切线 3 曲线的切线 并不一定与曲线只有一个交点 可以有多个 甚至可以无穷多个 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 即曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率是 故曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线方程是 题型三 导数的几何意义的应用 例1 1 求函数y 3x2在点 1 3 处的导数 2 求曲线y f x x2 1在点p 1 2 处的切线方程 题型三 导数的几何意义的应用 例2 如图 已知曲线 求 1 点p处的切线的斜率 2 点p处的切线方程 即点p处的切线的斜率等于4 2 在点p处的切线方程是y 8 3 4 x 2 即12x 3y 16 0 练 设f x 为可导函数 且满足条件 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率 故所求的斜率为 2 题型三 导数的几何意义的应用 h t o 3 判断曲线y 2x2在点p 1 2 处是否有切线 如果有 求出切线的方程 1 设函数y f x 当自变量由xo改变到xo x时 函数的改变量 y a f xo x b f xo f x c f xo xd f xo x f xo 2 已知曲线y x2 2上a b两点的横坐标是xo和xo x 则过a b两点的直线斜率是 模式练习 二 函数的导数 函数在点处的导数 导函数 导数之间的区别与联系 1 函数在一点处的导数 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限 它是一个常数 不是变数 2 函数的导数 是指某一区间内任意点x而言的 就是函数f x 的导函数3 函数在点处的导数就是导函数在处的函数值 这也是求函数在点处的导数的方法之一 课堂练习 如图 见课本p80 a6 已知函数的图像 试画出其导函数图像的大致形状 p80