第七章 第一节 直线的斜角与斜率、直线的方程.ppt

1 理解直线的倾斜角和斜率的概念 2 掌握过两点的直线的斜率公式 3 掌握直线方程的点斜式 两点式 一般式 4 能根据条件熟练地求出直线方程 1 直线的倾斜角 1 定义在平面直角坐标系中 对于一条与x轴相交的直线 如果把x轴绕着交点按方向旋转到和直线重合时所转的记为 那么 就叫做直线的倾斜角 逆时针 最小正角 2 倾斜角的特殊情况 0 时 直线与x轴 90 时 直线与x轴 3 倾斜角的范围倾斜角 的范围是 平行或重合 垂直 0 180 2 直线的斜率 思考探究1 1 过两点P1 x1 y1 和P2 x2 y2 且x1 x2时直线的倾斜角和斜率怎样 提示 当x1 x2时 直线P1P2与x轴垂直 倾斜角 90 其斜率不存在 2 所有直线都存在斜率吗 都有倾斜角吗 提示 所有直线都有倾斜角 但不一定有斜率 当倾斜角等于90 时 直线的斜率不存在 3 直线的方向向量经过P1 x1 y1 P2 x2 y2 两点的直线的方向向量是 其坐标是 x2 x1 y2 y1 若直线的斜率为k 则直线的方向向量是 1 k 4 直线方程的几种形式 思考探究2 直线方程的点斜式 斜截式 两点式 截距式各有什么适用范围 提示 点斜式和斜截式适用于不垂直于x轴的直线 两点式和截距式适用于不垂直x y轴的直线 且截距式还不适用于过原点的直线 1 过点M 2 m N m 4 的直线的斜率等于1 则m的值为 A 1B 4C 1或3D 1或4 解析 由 1 得m 1 答案 A 2 直线l过点P 2 3 且与x轴 y轴分别交于A B两点 若点P恰为AB的中点 则直线l的方程为 A 3x 2y 12 0B 3x 2y 12 0C 3x 4y 20 0D 3x y 3 0 解析 设A x 0 B 0 y P恰为AB的中点 则 3 x 4 y 6 即A B两点的坐标分别为 4 0 0 6 由截距式得l的方程为 1 即3x 2y 12 0 答案 A 3 如果A C 0 且B C 0 那么直线Ax By C 0不通过 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 解析 A C0 即A B同号 斜率k 0 直线不通过第三象限 答案 C 答案 30 2 4 直线 x y 6 0的倾斜角是 在y轴上的截距是 解析 直线方程可化为y 其斜率k 在y轴上的截距为2 由k 可得其倾斜角 30 5 过点 2 1 且在坐标轴上截距相等的直线方程为 解析 当截距为0时 直线方程为x 2y 0 当截距不为0时 设直线方程为 1则 1 a 3 直线方程为x y 3 0 答案 x 2y 0或x y 3 0 倾斜角和斜率的关系1 斜率k是一个实数 每条直线存在惟一的倾斜角 但并不是每条直线都存在斜率 倾斜角为90 的直线无斜率 当倾斜角 90 时 k tan 2 在分析直线的倾斜角和斜率的关系时 要根据正切函数k tan 的单调性 当 由0增大到 时 k由0增大到 当 由 增大到 时 k由负无穷大趋近于0 解决此类问题时 也可采用数形结合思想 借助图形直观作出判断 2 求斜率的一般方法 1 已知直线上两点 根据斜率公式k x1 x2 求斜率 2 已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数根据k tan 来求斜率 已知两点A 1 2 B m 3 求 1 直线AB的斜率k与倾斜角 2 求直线AB的方程 3 已知实数m 1 1 求直线AB的倾斜角 的范围 思路点拨 课堂笔记 1 当m 1时 直线AB的斜率不存在 倾斜角 当m 1时 k 当m 1时 arctan当m 1时 arctan 2 当m 1时 AB的方程为x 1 当m 1时 AB的方程为y 2 x 1 3 m 1 1 m 1 kAB 即倾斜角 的范围是 在第 3 小问中 若 如何求m的取值范围 解 1 tan 即1 m 1 1 1 m 0 求直线方程时 首先分析具备什么样的条件 然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程 求直线方程的一般方法有 1 直接法 根据已知条件 选择适当的直线方程形式 直接写出直线的方程 2 待定系数法 先设出直线方程 再根据已知条件求出待定系数 最后代入求出直线方程 特别警示 求直线方程时 若不能断定直线是否具有斜率时 应对斜率存在与不存在加以讨论 在用截距式时 应先判断截距是否为0 若不确定 则需分类讨论 求过点P 2 1 在x轴和y轴上的截距分别为a b 且满足a 3b的直线方程 思路点拨 课堂笔记 1 若a 3b 0 则直线过原点 0 0 此时直线斜率k 直线方程为x 2y 0 2 若a 3b 0 设直线方程为 1 即 1 由于点P 2 1 在直线上 所以b 从而直线方程为 x 3y 1 即x 3y 1 0 综上所述 所求直线方程为x 2y 0或x 3y 1 0 若将本例中 a 3b 改为 a b 求直线方程 解 1 若截距相等且为0 则所求直线方程为x 2y 0 2 若截距不为0 设直线在x y轴上的截距分别为a b 所求直线方程为 1 根据题意知解得所以所求直线方程为x y 1或x y 3 综上所述 所求直线方程为x 2y 0或x y 1或x y 3 每种形式的直线方程均有其适用范围 当直线方程中含有参数时 不仅要考虑斜率存在的情况 也要考虑斜率不存在的情况 1 解决此类问题的关键是准确的转化条件 建立所求参数的关系式 再进行求解 2 结合直线的特征 利用数形结合往往使问题的解决思路更明朗 简捷 设直线l的方程为 a 1 x y 2 a 0 a R 1 若l在两坐标轴上截距相等 求l的方程 2 若l不经过第二象限 求实数a的取值范围 思路点拨 课堂笔记 1 当直线过原点时 该直线在x轴和y轴上的截距为零 相等 a 2 方程即为3x y 0 当直线不过原点时 由截距存在且均不为0 a 2 即a 1 1 a 0 方程即为x y 2 0 综上可知 l的方程为3x y 0或x y 2 0 2 法一 将l的方程化为y a 1 x a 2 综上可知a的取值范围是a 1 法二 将l的方程化为 x y 2 a x 1 0 a R 它表示过l1 x y 2 0与l2 x 1 0交点 1 3 的直线系 不包括x 1 由图象可知l的斜率 a 1 0 即a 1时 直线l不经过第二象限 利用直线方程解决问题 可灵活选用直线方程的形式 以便简化运算 1 一般地 已知一点通常选择点斜式 已知斜率选择斜截式或点斜式 已知截距或两点选择截距式或两点式 2 从所求的结论来看 若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长 常选用截距式或点斜式 特别警示 截距 并非 距离 可以是正的 也可以是负的 还可以是0 如图 过点P 2 1 作直线l 分别交x y轴正半轴于A B两点 1 当 AOB的面积最小时 求直线l的方程 2 当 PA PB 取最小值时 求直线l的方程 思路点拨 课堂笔记 1 法一 设所求的直线方程为 1 a 0 b 0 由已知得 1 于是当且仅当 即a 4 b 2时 取最大值 此时S AOB ab取最小值4 故所求的直线l的方程为 1 即x 2y 4 0 法二 设直线l的方程为y 1 k x 2 k 0 则A 2 0 B 0 1 2k 当且仅当 4k 即k 时取等号 k 0 k 故所求直线方程为y 1 x 2 即x 2y 4 0 S AOB 1 2k 2 4k 2 设直线l y 1 k x 2 k 0 分别令y 0 x 0得A 2 0 B 0 1 2k 由 PA PB 4 当且仅当k2 即k 1时 PA PB 取最小值 又k 0 k 1 这时l的方程是x y 3 0 以选择题或填空题的形式考查直线倾斜角和斜率的求法或其应用是高考对本节内容的常规考点 09年江西高考将直线系方程与圆 三角函数等问题结合考查 是一个新的考查方向 考题印证 2009 江西高考 设直线系M xcos y 2 sin 1 0 2 对于下列四个命题 A 存在一个圆与所有直线相交B 存在一个圆与所有直线不相交C 存在一个圆与所有直线相切D M中的直线所能围成的正三角形的面积都相等其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 解析 xcos ysin 2sin 1 0 则点 0 2 到其直线的距离为d 1 说明此直线是圆心为 0 2 半径为1的圆的切线 圆心为 0 2 半径大于等于1的圆与所有直线相交 A对 圆心为 0 2 半径小于1的圆与所有直线不相交 B对 圆心为 0 2 半径等于1的圆与所有直线都相切 C对 因为M中的直线与半径为1的圆相切 所以M中的直线所能围成的正三角形面积不都相等 如图 ABC与 ADE均为等边三角形而面积不等 答案 ABC 自主体验 设函数f x a sinx b cosx的图象的一条对称轴方程为x 则直线ax by c 0的倾斜角为 A B C D 解析 由f x 关于x 对称 得f x f x 令x 可得f 0 f 于是 b a 则直线ax by c 0的斜率k 1 于是倾斜角为 答案 B 1 已知m 0 则过点 1 1 的直线ax 3my 2a 0的斜率为 C 3D 3 解析 由于点 1 1 在直线上 所以a 3m 2a 0 m a 直线斜率为 答案 B 2 直线xcos y 2 0的倾斜角的范围是 A B C D 解析 由xcos y 2 0得直线斜率k cos 1 cos 1 设直线的倾斜角为 则结合正切函数在上的图象可知 0 答案 B 3 过两点 1 1 和 0 3 的直线在x轴上的截距为 C 3D 3 解析 直线方程为 即2x y 3 0 令y 0 得x 即为直线在x轴上的截距 答案 A A B 4 过点 2 1 且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为 解析 由题意知截距均不为零 设直线方程为 1 故所求直线方程为x y 3 0或x 2y 4 0 答案 x y 3 0或x 2y 4 0 5 一条直线经过点A 2 2 并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1 则此