立体几何题型总结.doc

立体几何题型总结一、 高考考查的公理、性质、判定等： 立几中的向量公式：1.二、 题目归类与练习：（一） 三视图1. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是ABCD【答案】A2. 右图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图其中真命题的个数是A3 B2 C1 D0【答案】A3. 如图13，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A B C D【答案】B（二） 点、线、面的位置判断：1. 命题空间直线a，b，c，若ab，bc则ac 非零向量，若，则 平面、若，则 空间直线a、b、c若有ab，bc，则ac直线a、b与平面，若a，c，则ac 其中所有真命题的序号是（ C ）A B C D2. 下列命题中错误的是A如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面，平面，那么D如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案】D3. 已知，是三个相互平行的平面平面，之间的距离为，平面，之间的距离为直线与，分别相交于，那么“=”是“”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C4. 如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是（A）ACSB（B）AB平面SCD（C）SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角（D）AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【答案】D5. 不共面的三条定直线l1,l2,l3互相平行，点A在l1上，点B在l2上，C、D两点在l3上，若CD=a(定值），则三棱锥ABCD的体积 （ ）A.由A点的变化而变化 B.由B点的变化而变化C.有最大值，无最小值 D.为定值讲解：D。如图，把BCD当作三棱锥的底面，AO面BCD于O，l2l3,无论B点在l2上什么位置，BCD的面积总不变.又l2l3,l2、l3确定一个平面,l1l2,且A不在l2、l3确定的平面上，l1平行于l2、l3确定的平面,从而不论A在l1的什么位置，高AO的长总不变.又V=高底面积，故无论A、B在什么位置时，其体积不变.（三） 基本计算：1. P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是，则P到A点的距离是（A）（）（）（）（）2. 将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为_ ().3. 已知直二面角 ，点A，AC，C为垂足，B，BD，D为垂足若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于A B C D1 【答案】C（四） 球的内切与外接问题：1. 已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( B )A.4B.3C.2D.52. 棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1被以A为球心，AB为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ A ） A B C D3. 已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为A7 B9 C11 D13【答案】D4. 已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，则棱锥SABC的体积为（A） （B）（C）（D）1【答案】C（五） 立体几何中的轨迹问题：1. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为ABCDA1B1D1C1xyMP1，点M在A上，且AM=AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是 . 2. 如图，直角坐标系所在的平面为，直角坐标系（其中轴一与轴重合）所在的平面为，。（）已知平面内有一点，则点在平面内的射影的坐标为 （2，2） ；（）已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影的方程是 。【答案】3. 在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点 所在的曲线的形状为( B ) A1B1BAP(A)A1B1BAP(B)A1B1BAP(C)A1B1BAP(D)4. 已知平面平面,直线l,点Pl,平面、间的距离为8，则在内到点P的距离为10且到直线l的距离为9的点的轨迹是 （ ）A.一个圆 B.两条直线 C.四个点 D.两个点讲解：C。（六） 立体几何中的排列组合：1. 1定点P不在ABC所在平面内，过P作平面，使ABC的三个顶点到的距离相等，这样的平面共有（D）（）个（）个（）个（）个2. 以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为 （ A）A B C D3. 某刺猬有2006根刺，当它蜷缩成球时滚到平面上，任意相邻的三根刺都可支撑住身体，且任意四根刺的刺尖不共面，问该刺猬蜷缩成球时，共有（ B ）种不同的支撑身体的方式。 A2006 B4008 C4012 D2008（七） 发散思维（创新题）：1. 直角三角形ABC的斜边AB在平面内，直角顶点C在平面外，C在平面内的射影为C1，且C1AB，则C1AB为( C )（ ）（）锐角三角形（）直角三角形（）钝角三角形（）以上都不对2. P为所在平面外一点，PA、PB、PC与平面ABC所的角均相等，又PA与BC垂直，那么的形状可以是 。正三角形等腰三角形非等腰三角形等腰直角三角形 (选（1）（2）（4）)3. 有六根细木棒，其中较长的两根分别为a、a,其余四根均为a,用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为 （ B ）A.0 B. C.0或 D.以上皆不对4. 一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积mn是 （ ）A.6 B.3 C.54 D.24讲解：A。三、 解答部分：（一） 直接建系(题中给出从某个顶点出发的三线互相垂直)运算：1. 如图，是正四棱锥,是正方体，其中（）求证：；（）求平面与平面所成的锐二面角的正切值；（）求到平面的距离解：() 连结AC , 交BD于点O , 连结PO , 则PO面ABCD , 又 , , , （） AOBD , AOPO , AO面PBD , 过点O作OMPD于点M，连结AM , 则AMPD , AMO 就是二面角A-PD-O的平面角, 又, AO=,PO= , ,即二面角的正切值为 ()用体积法求解：解得，即到平面PAD的距离为2. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点 （1）求证：平面PAD； （2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时， 直线平面PCD？证：（1）取CD中点G，连结EG、FGE、F分别是AB、PC的中点，EG/AD，FG/PD，平面EFG/平面PAD， EF/平面PAD （2）当平面PCD与平面ABCD成45角时，直线EF平面PCD.证明：G为CD中点，则EGCD，PA底面ABCDAD是PD在平面ABCD内的射影。 CD平面ABCD，且CDAD，故CDPD 又FGPDFGCD，故EGF为平面PCD 与平面ABCD所成二面角的平面角，即EGF=45，从而得ADP=45， AD=AP.由RtDPAERtDCBE，得PE=CE.又F是PC的中点，EFPC.由CDEG，CDFG，得CD平面EFG，CDEF，即EFCD，故EF平面PCD 3. 已知多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a，F为CD的中点. （）求证：AF平面CDE； （）求异面直线AC，BE所成角余弦值； （）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.解：（）DE平面ACD，AF平面ACDDEAF。又AC=AD=C，F为CD中点AFCD，AF面CDEAF平面CDE 。 （）取DE中点M，连结AM、CM，则四边形AMEB为平行四边形AM/BE，则CAM为AC与BE所成的角。在ACM中，AC=2a由余弦定理得：异面直线AC、AE所成的角的余弦值为。 （）延长DA。EB交于点G，连结CG。 因为AB/DE，AB=DE，所以A为GD中点。又因为F为CD中点，所以CG/AF。因为AF平面CDE，所以CG平面CDE。故DCE为面ACD和面BCE所成二面角的平面角易求DCE=45。4. 如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1. （I）求证：A1C/平面AB1D； （II）求二面角BAB1D的大小； （III）求点c到平面AB1D的距离.解法一（I）证明：连接A1B，设A1BAB1 = E，连接DE.ABCA1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，四边形A1ABB1是正方形，E是A1B的中点，又D是BC的中点，DEA1C. DE平面AB1D，A1C平面AB1D，A1C平面AB1D. （II）解：在面ABC内作DFAB于点F，在面A1ABB1内作FGAB1于点G，连接DG.平面A1ABB1平面ABC， DF平面A1ABB1，FG是DG在平面A1ABB1上的射影， FGAB1， DGAB1FGD是二面角BAB1D的平面角 设A1A = AB = 1，在正ABC中，DF=在ABE中，在RtDFG中，所以，二面角BAB1D的大小为 （III）解：平面B1BCC1平面ABC，且ADBC，AD平面B1BCC1，又AD平面AB1D，平面B1BCC1平面AB1D.在平面B1BCC1内作CHB1D交B1D的延长线于点H，则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离. 由CDHB1DB，得即点C到平面AB1D的距离是 解法二：建立空间直角坐标系Dxyz，如图， （I）证明：连接A1B，设A1BAB1 = E，连接DE.设A1A = AB = 1，则 ， （II）解：， ，设是平面AB1D的法向量，则，故；同理，可求得平面AB1B的法向量是 设二面角BAB1D的大小为，二面角BAB1D的大小为 （III）解由（II）得平面AB1D的法向量为，取其单位法向量点C到平面AB1D的距离（二） 间接建系（题中没有给出明显的互相垂直的三线）：1. 如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.()求与底面所成角的大小；()求证：平面；()求二面角的余弦值. 答案：(I)取DC的中点O，由PDC是正三角形，有PODC又平面PDC底面ABCD，PO平面ABCD于O连结OA，则OA是PA在底面上的射影PAO就是PA与底面所成角ADC=60，由已知PCD和ACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=PAO=45PA与底面ABCD可成角的大小为45 6分(II)由底面ABCD为菱形且ADC=60，DC=2，DO=1，有OADC 建立空间直角坐标系如图，则, 由M为PB中点，PADM，PADC PA平面DMC4分(III)令平面BMC的法向量，则，从而x+z=0； , ，从而 由、，取x=1，则 可取由(II)知平面CDM的法向量可取， 所求二面角的余弦值为6分法二：（）方法同上 （）取的中点，连接，由（）知，在菱形中，由于，则，又，则，即，又在中，中位线，则，则四边形为，所以，在中，则，故而，则（）由（）知，则为二面角的平面角，在中，易得，故，所求二面角的余弦值为2. 已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，又知。（I）求证：平面；（II）求到平面的距离；（III）求二面角的余弦值。2,4,6解：（I）因为平面，所以平面平面，又，所以平面，得，又所以平面；（II）因为，所以四边形为 菱形，故，又为中点，知。取中点，则平面，从而面面， 过作于，则面，在中，故，即到平面的距离为。（III）过作于，连，则，从而为二面角的平面角，在中，所以，在中，故二面角的余弦值为。解法2：（I）如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，由，知，又，从而平面；（II）由，得。设平面的法向量为，所以，设，则所以点到平面的距离。（III）再设平面的法向量为，所以，设，则，故，根据法向量的方向，可知二面角的余弦值为3. 如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点. 依题意得 （I）解：易得， 于是 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 （II）解：易知 设平面AA1C1的法向量， 则即 不妨令可得， 同样地，设平面A1B1C1的法向量， 则即不妨令，可得于是从而所以二面角AA1C1B的正弦值为 （III）解：由N为棱B1C1的中点，得设M（a，b，0），则由平面A1B1C1，得即解得故因此，所以线段BM的长为方法二：（I）解：由于AC/A1C1，故是异面直线AC与A1B1所成的角.因为平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，可得因此所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以，过点A作于点R，连接B1R，于是，故为二面角AA1C1B1的平面角.在中，连接AB1，在中，从而所以二面角AA1C1B1的正弦值为（III）解：因为平面A1B1C1，所以取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，所以ND/C1H且.又平面AA1B1B，所以平面AA1B1B，故又所以平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，则由得，延长EM交AB于点F，可得连接NE.在中，所以可得 连接BM，在中，（三） 已知二面角，求值：1. 如图，在长方体中，点在线段上.（）求异面直线与所成的角；（）若二面角的大小为，求点到平面的距离.答案：解法一：（）连结。由已知，是正方形，有。平面，是在平面内的射影。根据三垂线定理，得，则异面直线与所成的角为。作，垂足为，连结，则所以为二面角的平面角，.于是易得，所以，又，所以。设点到平面的距离为.即，即，.故点到平面的距离为。解法二：分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.（）由，得设，又，则。则异面直线与所成的角为。（）为面的法向量，设为面的法向量，则. 由，得，则，即 由、，可取又，所以点到平面的距离。2. 已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点。（1）设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为。求证：；（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高。解：设正四棱柱的高为。 连，底面于， 与底面所成的角为，即 ，为中点，又， 是二面角的平面角，即 ，。 建立如图空间直角坐标系，有设平面的一个法向量为， ，取得 点到平面的距离为，则。1. 如题（19）图，在四面体中，平面平面，（）若，求四面体的体积； （）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值（I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DFAC.故由平面ABC平面ACD，知DF平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30=1，AF=ADcos30=.在RtABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，由勾股定理易知故四面体ABCD的体积 （II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG/AD，GH/BC，从而FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角. 设E为边AB的中点，则EF/BC，由ABBC，知EFAB.又由（I）有DF平面ABC， 故由三垂线定理知DEAB.所以DEF为二面角CABD的平面角，由题设知DEF=60设在从而因RtADERtBDE，故BD=AD=a，从而，在RtBDF中，又从而在FGH中，因FG=FH，由余弦定理得因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为解法二：如答（19）图2，过F作FMAC，交AB于M，已知AD=CD，平面ABC平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Fxyz.不妨设AD=2，由CD=AD，CAD=30，易知点A，C，D的坐标分别为显然向量是平面ABC的法向量.已知二面角CABD为60，故可取平面ABD的单位法向量，使得设点B的坐标为，有易知与坐标系的建立方式不合，舍去.因此点B的坐标为所以从而故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（四） 探索类（即在线上或在面上找一个定点）1. 如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。答案：（1）是的中点，取PD的中点，则，又四边形为平行四边形，（4分） （2）以为原点，以、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，在平面内设， 由 由 是的中点，此时（8分） （3）设直线与平面所成的角为，设为 故直线与平面所成角的正弦为（12分）解法二： （1）是的中点，取PD的中点，则，又四边形为平行四边形，（4分） （2）由（1）知为平行四边形，又 同理， 为矩形 ，又 作故交于，在矩形内， 为的中点当点为的中点时，（8分） （3）由（2）知为点到平面的距离，为直线与平面所成的角，设为，直线与平面所成的角的正弦值为2. 如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED/AF且DAF=90。 （1）求BD和面BEF所成的角的余弦； （2）线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不存在，说明理由。1,3,5答案：（1）因为AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系，则B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F（2，2，0），则设平面BEF的法向量，则可取，向量所成角的余弦为。即BD和面BEF所成的角的余弦。 （2）假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，不妨设EP与PF的比值为m，则P点坐标为则向量，向量所以。A3. 如图，在三棱锥中，是的中点，且，（I）求证：平面平面；（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为解析：本例可利用综合法证明求解，也可用向量法求解.答案:解法1：（），是等腰三角形，又是的中点，又底面于是平面又平面，平面平面（） 过点在平面内作于，则由（）知平面连接，于是就是直线与平面所成的角依题意，所以在中，；在中，故当时，直线与平面所成的角为解法2：（）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，从而，即ADBCVxyz同理，即又，平面又平面平面平面（）设平面的一个法向量为，则由得可取，又，于是，即，故交时，直线与平面所成的角为解法3：（）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，从而，即同理，即又， 平面又平面， 平面平面（）设平面的一个法向量为，ADBCVxy则由，得可取，又，于是，即 故角时，即直线与平面所成角为4. 如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为a，P为A1B上的点。 （1）试确定的值，使得PCAB； （2）若，求二面角PACB的大小； （3）在（2）条件下，求C1到平面PAC的距离。解法一：（1）当时，PCAB取AB的中点D，连结CD、PDABC为正三角形， CDAB。当P为A1B的中点时，PD/A1A， A1A底面ABC， PD底面ABC，PCAB （2）当时，过P作PDAB于D，如图所示，则PD底在ABC过D作DEAC于E，连结PE，则PEACDEP为二面角PACB的平面角。又PD/A1A， ， 又 PED=60即二面角PACB的大小为60 （3）设C1到面PAC的距离为d，则PD/A1A PD/平面A1C DE即为P点到平面A1C的距离。又PE=解得 即C1到平面PAC的距离为 解法二：以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，则B（a，0，0），A1（0，0，a），C，设（1）由即， P为A1B的中点。即 时，PCAB。 （2）当即 设平面PAC的一个法向量n=则 即取 又平面ABC的一个法向量为n0=（0，0，1）二面角PACB的大小为180120=60 （3）设C1到平面PAC的距离为d，则即C1到平面PAC的距离为 5. 如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，（I）求证：平面PAB平面PAD；（II）设AB=AP（i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。解法一：（I）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又所以平面PAD。又平面PAB，所以平面平面PAD。（II）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz（如图）在平面ABCD内，作CE/AB交AD于点E，则在中，DE=，设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，（i）设平面PCD的法向量为，由，得取，得平面PCD的一个法向量，又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得解得（舍去，因为AD），所以（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，设G（0，m，0）（其中）则，由得，（2）由（1）、（2）消去t，化简得（3）由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D的距离都相等。从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。解法二：（I）同解法一。（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz（如图）在平面ABCD内，作CE/AB交AD于E，则。在平面ABCD内，作CE/AB交AD于点E，则在中，DE=，设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，设平面PCD的法向量为，由，得取，得平面PCD的一个法向量，又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得解得（舍去，因为AD），所以（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，由GC=CD，得，从而，即设，在中，这与GB=GD矛盾。所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点B，C，D的距离都相等，从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等6. 如图，在三棱锥中，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明：APBC；（）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。方法一： （I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz则，由此可得，所以，即（II）解：设设平面BMC的法向量，平面APC的法向量由得即由即得由解得，故AM=3。综上所述，存在点M符合题意，AM=3。方法二：（I）证明：由AB=AC，D是BC的中点，得又平面ABC，得因为，所以平面PAD，故（II）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM，由（I）中知，得平面BMC，又平面APC，所以平面BMC平面APC。在在，在所以在又从而PM，所以AM=PA-PM=3。综上所述，存在点M符合题意，AM=3。7. 如图，平面，四边形是正方形， ，点、分别为线段、和的中点. （1）求异面直线与所成角的大小；（2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离恰为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.解：（1）以点为坐标原点，射线分别为的正半轴建立空间直角坐标系如图示，点、，则，.设异面直线与所成角为第21题图xyz,所