高考数学一轮总复习 第六篇 第1讲 数列的概念与简单表示法课件 理 湘教版.ppt

第1讲数列的概念与简单表示法 2014年高考会这样考 1 考查已知数列的通项公式或递推关系 求数列的某项 2 考查由数列的递推关系求数列的通项公式 考点梳理 1 定义按照 排列的一列数称为数列 数列中的每一个数叫做这个数列的项 排在第一位的数称为这个数列的第1项 通常也叫做 2 数列与函数的关系数列可以看成以正整数集n 或它的有限子集 1 2 n 为定义域的函数an f n 当自变量按照从小到大依次取值时所对应的一列函数值 1 数列的概念 一定顺序 首项 反过来 对于函数y f x 如果f i i 1 2 3 有意义 那么我们可以得到一个数列f 1 f 2 f 3 f n 3 数列的通项公式如果数列 an 的第n项与 之间的关系可以用一个式子来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 如果数列 an 的任一项an 1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示 即 n 1 那么这个公式就叫作数列 an 的 a1称为数列 an 的 2 数列的递推公式 序号n 3 an与sn的关系 s1 an 1 f an 递推公式 初始条件 两类特殊问题 1 解决与数列周期性有关的题目 关键是找出数列的周期 助学 微博 a 13b 14c 15d 16解析a7 s7 s6 49 7 36 6 14 答案b 考点自测 1 2013 珠海模拟 设数列 an 的前n项和sn n2 n 则a7的值为 a 30b 31c 32d 33解析a5 2a4 1 2 2a3 1 1 22a3 2 1 23a2 22 2 1 24a1 23 22 2 1 31 答案b 2 在数列 an 中 a1 1 an 2an 1 1 则a5的值为 a 若d 0 则数列 sn 有最大项b 若数列 sn 有最大项 则d 0c 若数列 sn 是递增数列 则对任意n n 均有sn 0d 若对任意n n 均有sn 0 则数列 sn 是递增数列解析a b d均正确 对于c 若首项为 1 d 2时就不成立 答案c 3 2012 浙江 设sn是公差为d d 0 的无穷等差数列 an 的前n项和 则下列命题错误的是 4 下列关于星星的图案个数构成一个数列 则该数列的一个通项公式是 答案c 答案21 例1 根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 2 0 2 0 考向一已知数列的前几项求通项公式 4 7 77 777 7777 审题视点 通过分析各数列已知项的数字特征的共性 及常见的描述方法写出各数列的通项公式 根据数列的前几项求通项公式时 需仔细观察分析 抓住以下几方面的特征 1 分式中分子 分母的特征 2 相邻项的变化特征 3 拆项后的特征 把数列的项分成变化的部分和不变的部分 4 各项符号特征 若关系不明显时 应将部分项作适当的变形 统一成相同的形式 让规律凸现出来 训练1 根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 3 5 7 9 3 0 8 0 88 0 888 0 8888 例2 已知下面数列 an 的前n项和sn 求 an 的通项公式 1 sn 2n2 3n 2 sn 3n b 考向二由数列的前n项和求通项公式 审题视点 当n 1时 由a1 s1 求a1 当n 2时 由an sn sn 1消去sn 得an 1与an的关系 转化成由递推关系求通项 解 1 a1 s1 2 3 1 当n 2时 an sn sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 5 由于a1也适合此等式 an 4n 5 2 a1 s1 3 b 当n 2时 an sn sn 1 3n b 3n 1 b 2 3n 1 当b 1时 a1适合此等式 当b 1时 a1不适合此等式 当b 1时 an 2 3n 1 训练2 已知各项均为正数的数列 an 的前n项和满足sn 1 且6sn an 1 an 2 n n 求 an 的通项公式 例3 1 在数列 an 中 已知a1 1 当n 2时 有an an 1 2n 1 n 2 求数列的通项公式 2 在数列 an 中 已知a1 1 nan 1 n 1 an n 2 求数列 an 的通项公式 审题视点 观察递推式的特点可知利用累加法或累乘法求通项公式 考向三由递推公式求数列的通项公式 由数列的递推公式求通项公式时 若递推关系为an 1 an f n 或an 1 f n an 则可以分别通过累加 累乘法求得通项公式 另外 通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式 如第 2 题 注意 有的问题也可利用构造法 即通过对递推式的等价变形 转化为特殊数列求通项 命题研究 已知an与sn的关系式求通项公式是高考中的常见题型 既可以考选择 填空题 也可以考解答题 就考查形式来看 有些题目很容易看出an与sn的关系式 但有时可能需要我们去抽象出一个新数列的和与项之间的关系 比如a1 2a2 3a3 nan n2 此时我们可以把上式看成数列 nan 的前n项和为n2来求解 规范解答9 高考中对sn与an的关系的考查 真题探究 本小题满分14分 2012 广东 设数列 an 的前n项和为sn 数列 sn 的前n项和为tn 满足tn 2sn n2 n n 1 求a1的值 2 求数列 an 的通项公式 教你审题 第1步赋值n 1 可求a1 第2步当n 2时 由sn tn tn 1 an sn sn 1找出an 1与an的关系式 第3步变形 规范解答 解 1 令n 1时 t1 2s1 1 t1 s1 a1 a1 2a1 1 a1 1 2分 2 当n 2时 tn 1 2sn 1 n 1 2 则sn tn tn 1 2sn n2 2sn 1 n 1 2 2 sn sn 1 2n 1 2an 2n 1 因为当n 1时 a1 s1 1也满足上式 所以sn 2an 2n 1 n 1 8分 当n 2时 sn 1 2an 1 2 n 1 1两式相减得an 2an 2an 1 2 所以an 2an 1 2 n 2 所以an 2 2 an 1 2 因为a1 2 3 0 所以数列 an 2 是以3为首项 公比为2的等比数列 所以an 2 3 2n 1 an 3 2n 1 2 当n 1时也满足上式 所以an 3 2n 1 2 14分 阅卷老师手记 1 有的考生思维定势 只会使用an sn sn 1 n 2 未想到sn tn tn 1 n 2 致使出错 2 在使用an sn sn 1求an时 不少考生漏掉了n 2这一前提条件 有的对n 1的情况也没有验证 应引起注意 解决由sn与an的关系求an问题的步骤可归纳为 第一步 令n 1 由sn f an 求出a1 第二步 令n 2 构造an sn sn 1 用an代换sn sn 1 或用sn sn 1代换an