高考数学大一轮复习 第六章 数列 专题探究课三学案 理.ppt

热点一可转为等差数列 等比数列的数列问题 例1 数列 an bn cn 满足bn an 2an 1 cn an 1 2an 2 2 n n 1 若数列 an 是等差数列 求证 数列 bn 是等差数列 2 若数列 bn cn 都是等差数列 求证 数列 an 从第二项起为等差数列 3 一题多解 若数列 bn 是等差数列 试判断当b1 a3 0时 数列 an 是否成等差数列 证明你的结论 证明 1 设数列 an 的公差为d 因为bn an 2an 1 所以bn 1 bn an 1 2an 2 an 2an 1 an 1 an 2 an 2 an 1 d 2d d 所以数列 bn 是公差为 d的等差数列 2 当n 2时 cn 1 an 2an 1 2 所以数列 an 从第二项起为等差数列 3 数列 an 成等差数列 法一设数列 bn 的公差为d 因为bn an 2an 1 所以2nbn 2nan 2n 1an 1 所以2n 1bn 1 2n 1an 1 2nan 2b1 2a1 22a2 所以2nbn 2n 1bn 1 2b1 2a1 2n 1an 1 设tn 2b1 22b2 2n 1bn 1 2nbn 所以2tn 22b1 2nbn 1 2n 1bn 两式相减得 tn 2b1 22 2n 1 2n d 2n 1bn 即tn 2b1 4 2n 1 1 d 2n 1bn 所以 2b1 4 2n 1 1 d 2n 1bn 2a1 2n 1an 1 所以2n 1an 1 2a1 2b1 4 2n 1 1 d 2n 1bn 2a1 2b1 4d 2n 1 bn d 所以an 1 bn d 所以an 2 an 1 bn 1 d bn d d 所以数列 an n 2 是公差为 d 的等差数列 因为bn an 2an 1 令n 1 a1 2a2 a3 即a1 2a2 a3 0 所以数列 an 是公差为 d 的等差数列 法二因为bn an 2an 1 b1 a3 0 令n 1 a1 2a2 a3 即a1 2a2 a3 0 所以bn 1 an 1 2an 2 bn 2 an 2 2an 3 所以2bn 1 bn bn 2 2an 1 an an 2 2 2an 2 an 1 an 3 因为数列 bn 是等差数列 所以2bn 1 bn bn 2 0 所以2an 1 an an 2 2 2an 2 an 1 an 3 因为a1 2a2 a3 0 所以2an 1 an an 2 0 所以数列 an 是等差数列 探究提高解决等差 等比数列的综合问题时 重点在于读懂题意 灵活利用等差 等比数列的定义 通项公式及前n项和公式解决问题 求解这类问题要重视方程思想的应用 热点二数列与恒成立问题 例2 2018 南通一调 已知数列 an 是等比数列 且an 0 1 若a2 a1 8 a3 m 当m 48时 求数列 an 的通项公式 若数列 an 是唯一的 求m的值 2 若a2k a2k 1 ak 1 ak ak 1 a1 8 k n 求a2k 1 a2k 2 a3k的最小值 解设数列 an 的公比为q 则由题意得q 0 所以方程8q2 mq m 0有唯一解 则 m2 32m 0 解得m 32或m 0 因为a3 m 0 所以m 32 此时q 2 经检验 当m 32时 数列 an 唯一 其通项公式为an 2n 2 2 由a2k a2k 1 ak 1 ak ak 1 a1 8 得a1 qk 1 qk 1 qk 2 1 8 表示成a1和q即可 且q 1 热点三数列与方程 例3 2015 江苏卷 设a1 a2 a3 a4是各项为正数且公差为d d 0 的等差数列 2 解不存在 理由如下 令a1 d a 则a1 a2 a3 a4分别为a d a a d a 2d a d a 2d d 0 则a4 a d a d 3 且 a d 6 a2 a 2d 4 化简得t3 2t2 2 0 且t2 t 1 将t2 t 1代入 式 则 1 2t n 2k 1 t 2 n k 且 1 t n k 1 3t n 3k 1 2t 2 n 2k 将上述两个等式两边取对数 得 n 2k ln 1 2t 2 n k ln 1 t 且 n k ln 1 t n 3k ln 1 3t 2 n 2k ln 1 2t 化简得2k ln 1 2t ln 1 t n 2ln 1 t ln 1 2t 且3k ln 1 3t ln 1 t n 3ln 1 t ln 1 3t 再将这两式相除 化简得ln 1 3t ln 1 2t 3ln 1 2t ln 1 t 4ln 1 3t ln 1 t 令g t 4ln 1 3t ln 1 t ln 1 3t ln 1 2t 3ln 1 2t ln 1 t 则g t 2 1 3t 2ln 1 3t 3 1 2t 2ln 1 2t 3 1 t 2ln 1 t 1 t 1 2t 1 3t 令 t 1 3t 2ln 1 3t 3 1 2t 2ln 1 2t 3 1 t 2ln 1 t 则 t 6 1 3t ln 1 3t 2 1 2t ln 1 2t 1 t ln 1 t 令 1 t t 则 1 t 6 3ln 1 3t 4ln 1 2t ln 1 t 训练 2018 常州监测 已知等差数列 an 的公差d为整数 且ak k2 2 a2k k 2 2 其中k为常数且k n 因为d z k n 所以k 1或k 2 当k 1时 d 6 代入 得a1 3 所以an 6n 3 当k 2时 d 5 代入 得a1 1 所以an 5n 4 2 由题意可得bn qn 1 因为a1 1 所以an 6n 3 sn 3n2 当m 2时 q 0或q 1 均舍去 热点四数列与新定义 探索性问题的综合 例4 2017 江苏卷 对于给定的正整数k 若数列 an 满足an k an k 1 an 1 an 1 an k 1 an k 2kan对任意正整数n n k 总成立 则称数列 an 是 p k 数列 1 证明 等差数列 an 是 p 3 数列 2 若数列 an 既是 p 2 数列 又是 p 3 数列 证明 an 是等差数列 证明 1 因为 an 是等差数列 设其公差为d 则an a1 n 1 d 从而 当n 4时 an k an k a1 n k 1 d a1 n k 1 d 2a1 2 n 1 d 2an k 1 2 3 所以an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an 因此等差数列 an 是 p 3 数列 2 数列 an 既是 p 2 数列 又是 p 3 数列 因此 当n 3时 an 2 an 1 an 1 an 2 4an 当n 4时 an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an 由 知 an 3 an 2 4an 1 an an 1 an 2 an 3 4an 1 an 1 an