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蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿蒃蚂肂莈蒂袄袅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆葿螈腿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆薇蚃羀膂薆螅膅肈薅羇羈蒇薄蚇螁莃薃蝿肆艿薃袂衿膅薂薁肅肁薁蚃袈荿蚀螆肃芅虿袈袆膁蚈薈肁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂蚆羅羂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀莁衿膆荿莀蕿罿芅荿蚁膄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅莆蚅肆莁莅螈袈芇莅袀肄膃蒄蕿袇聿 复习一 向量代数与空间解析几何 1会求两点确定的向量, 会求向量的模、向量的方向余弦、向量在轴上的投影, 会单位化向量, 会求两个向量的数量积和向量积. 例1已知两点和M2(4, 0, 2) , , 则(1)|a|=_; (2)与a同向的单位向量ea=_; (3)a的方向余弦为_; (4)若a与轴u的夹角是60, 则a在轴u上的投影Prj ua=_. 解: 因为a=(4-2, 0-1, 2-0)=(2, -1, 2), 故 (1). (2). (3)a的方向余弦为, , . (4). 例2非零向量a和b满足|a-b|=|a+b|, 则ab=_. 解: 由|a-b|=|a+b|知|a-b|2=|a+b|2, 即 a2-2ab+b2=a2+2ab+b2, 故ab=0. 例3设向量a=1, -1, 0, b=0, -2, 1, 则 (1)|a+b|=_; (2)ab=_, (3)ab=_; (4)以a及b为边的三角形的面积S=_. 解: a+b=(1+0, -1-2, 0+1)=(1, -3, 1). (1). (2)ab=10+(-1)(-2)+01=2. (3). (4). 2会求旋转曲面、投影柱面和投影曲线. 例1曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面的方程为 . 解: 将方程2x2+3y2=1中的x换成, 得2x2+3y2+2z2=1, 这就是所求旋转曲面的方程. 例2曲面关于yOz面的投影柱面为 , 在yOz面上的投影方程为_. 解: 为消去x, 两方程相减, 得2y2-2z2=2, 即y2-z2=1, 这就是曲面关于yOz面的投影柱面的方程. 曲面在yOz面上的投影方程为. 说明: 上述第一个问题的另一提法是以曲线为准线, 母线平行于x轴的柱面方程是 . 3会求直线与平面方程, 能通过直线与直线、平面与平面、直线与平面之间的关系确定直线的方向向量和平面的法线向量. (1)确定直线方程的关键是确定直线的方向向量和直线所通过的定点. (2)确定平面方程的关键是确定平面的法线向量和平面所通过的定点. (3)两直线平行它们的方向向量平行. (4)两直线垂直它们的方向向量垂直, 即数量积为0. (5)两平面平行它们有相同或平行的法线向量. (6)两平面垂直它们的法线向量垂直, 即数量积为0. (7)直线与平面平行直线的方向向量与平面的法线向量垂直, 即数量积为0. (8)直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法线向量平行. 例1过点O(0, 0, 0)且与直线垂直的平面方程是_. 解: 平面方程法向量为n=(-1, 3, 1), 平面方程为 -1(x-0)+3(y-0)+1(z-0)=0, 即-x+3y+z=0. 例2过点(1, -2, 1)且垂直于平面x+3y-2z=1的直线方程为 . 解: 直线的方向向量就是平面的法线方向, 即s=(1, 3, -1), 故所求直线的方程为. 例3过点(1, 1, -1)且垂直于平面2x-y+3z-1=0的直线方程是 . 解: 直线的方向向量为平面的法线向量, 即s=(2, -1, 3), 故直线的方程为. 例4过原点及点(6, -3, 2), 且与平面4x-y+2z=8垂直的平面方程为_. 解: 从原点到点(6, -3, 2)的向量为n1=(6, -3, 2), 已知平面的法线向量为n2=(4, -1, 2). 按题意, 所求平面的法线向量为 . 所求平面的方程为2x+2y-3z=0. 例5直线L:与平面p: 4x-2y-2z=3的关系为( ). (A)平行, 但直线不在平面上; (B)直线在平面上; (C)垂直相交; (D)相交但不垂直. 解: 选A. 直线的方向向量为s=(-2, -7, 3), 平面的法线向量为n=(4, -2, -2). 因为sn=0, 所以直线与平面平行. 又因为直线上的点(-3, -4, 0)不在平面上, 所以直线不在平面上. 例6求通过点(1, 2, -1)且与直线垂直的平面方程. 解: 直线的方向向量s可作为所求平面的法线向量. 因为 , 所以所求平面的方程为 5(x-1)+7(y-2)+11(z+1)=0, 即5x+7y+11z-8=0. 练习一 1. 平面Ax+By+Cz+D=0垂直于坐标面xoy , 则必有( ). (A)A=0; (B)B=0; (C)C=0; (D)A=B=0 . 2. 过点M(1, 1, 3)且与直线x=t-1, y=2t-3, z=-t+2垂直的平面方程_. 3. 通过点M(1, 0, 2), 方向角为,的直线的方程为_. 4. 已知直线与平面2x-3y+2z-5=0平行, 则l= . 5. 两平面2x-y+z-7=0与x+4y+2z+1=0的位置关系是( ). (A)平行; (B)重合; (C)相交但不垂直; (D)垂直. 6. 直线与平面3x+4y-z=2的位置关系是( ). (A)平行; (B)垂直; (C)直线在平面内; (D)相交但不垂直. 7. 平面2x-y+z-7=0与平面x+y+2z-11=0的交角为_. 8. 在曲线x=t, y=-t2, z=t3的所有切线中, 与平面平行的切线有( ). (A)0条; (B)1条; (C)2条; (D)3条. 9. 曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面的方程为 . 10. zOx平面上的直线z=ax绕z轴旋转所形成的旋转曲面方程为 . 11. 曲线绕着y轴旋转所得到的旋转曲面的方程为 . 12. 球面x2+y2+z2=2z与锥面y2+z2=x2的交线在yoz面上的投影曲线方程为_. 13. 以曲线为准线, 母线平行于z轴的柱面方程是_. 14. 曲面x2+y2+3z2=1与x2+3y2+z2=3的交线关于yOz面的投影柱面为 . 15. 求通过点(1, 1, 1)且与直线垂直的平面方程. 16. 求过点(1, 1, 1)且平行于两平面x+y+3z-2=0和2x-2y+z-5=0的直线方程. 17. 求与直线及直线都平行且经过点(1, 1, 1)的平面方程. 复习二 多元函数的微分法及其应用 1了解连续、偏导数存在、可微三者之间的关系, 会求简单函数(具体函数)的偏导数与全微分, 会求二阶偏导数. 例1若f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内(), 则f(x, y)在(x0, y0)处可微. (A)连续; (B)有界; (C)存在两个偏导数; (D)存在连续的一阶偏导数. 解: 选D. 提示: 偏导数存在与连续之间无因果关系. 偏导数都存在且连续可微. 可微偏导数都存在. 可微连续. 例2设, 求, , , . 解: , , , . 例3z=yx ln(x+y), 求dz. 解: , , . 2会求复合函数、抽象函数、参数方程确定的函数的偏导数. 例1已知z=u2ln v, 而u=x2+y2 , v=3x-2y, 求, . 解: , . 例2设z=f(x2-y2, e-xy), 其中f具有连续偏导数, 求, . 解: 设u=x2-y2, v=e-xy, 则 , . 例3设z=z(x, y)由方程所定义, 求及. 解: 令, 则 , , , 所以 , . 3会求曲面的切平面和法线方程, 会求曲线的切线和法平面方程, 会求方向导数与梯度, 会求多元函数的极值. 例1求曲线 在点(2, 4, 8)处的切线方程和法平面方程. 解: 曲线在点(2, 4, 8)处对应t=2, 切向量为(1, 2t, 3t2)|t=2=(1, 4, 12), 故切线方程为 , 法平面方程为 (x-2)+4(y-4)+12(z-8)=0或x+4y+12z=114. 例2求曲面z=x2+y2平行于平面x+y-2z=0的切平面方程. 解: 曲面z=x2+y2上点(x, y, z)处的法向量为n=(2x, 2y, -1). 令(2x, 2y, -1)=l(1, 1, -2), 得. 当时, , , . 所以曲面z=x2+y2在点处的切平面与已知平面平行. 所求切平面的方程为 , 即. 例3求通过直线且切于球面x2+y2+z2=4的平面方程. 解 由直线方程, 当x=0时, y=0, z=2. 因此(0, 0, 2)为直线上的点, 而该点也恰好在球面上, 所以所求平面与球面的切点也是(0, 0, 2), 从而所求平面的方程为z=2. 例4求曲线在点(1, 1, 1)处的切线和法平面的方程. 解: 曲线的参数方程为x=t2, y=t, z=t-3. 曲线在点(1, 1, 1)处的切向量为 T=(2t, 1, -3t-4)|t=1=(2, 1, -3).所求切线的方程为 .所求法平面的方程为 2(x-1)+(y-1)-3(z-1)=0, 即2x+y-3=0. 例5设f(x, y, z)=x2+y2+z2, 求梯度grad f(1, -1, 2)及函数f(x, y, z)在点(1, -1, 2)沿方向l=(1, 1, 1)的方向导数. 解: grad f(1, -1, 2)=(fx, fy, fz)|(1, -1, 2)=(2x, 2y, 2z)|(1, -1, 2)=(2, -2, 4). 因为 , 所以 . 例6求函数f(x, y)=e 2x(x+y2+2y)的极值. 令, 得驻点, fxx(x, y)=4e2x(x+y2+2y+1), fxy(x, y)=4e2x(y+1), fyy(x, y)=2e2x. 在处, 因为fxxfyy-(fxy)2=2e2e-0=4e20, fxx=2e0, 所以是函数的极小值. 例7在椭圆x2+4y2=4上求一点, 使其到直线2x+3y-6=0的距离最短. 解: 点(x, y)到直线2x+3y-6=0的距离为 . 要求d在条件x2+4y2=4下的最小值点, 只需求函数f(x, y)=(2x+3y-6)2在条件x2+4y2=4下的最小值点. 设F(x, y, l)=(2x+3y-6)2+l( x2+4y2-4). 解方程组 , 得可能的极值点为,. 因为在点处, 在处, 所以为所求点. 练习二 1. 设函数z=z(x, y)由方程xyz=x+y+z确定, 则zx=_, zxy =_, dz|(1, -1)= _. 2. 设, 则dz=_. 3. 函数z=z(x, y)由方程x+y+z=ez所确定, 则dz=_. 4. 曲线x=acos t, y=asin t, z=bt在处的切线方程为_. 5. 设f(x, y, z)=x2+y2+z2+1, 则梯度grad f(1, 1, 1)=_. 6. 函数f(x, y, z)=x3y2z在点(1, 1, 1)处沿方向a=2, -1, 2的方向导数为_; 7. 设f(1, 1)=-1为f(x, y)=ax3+by3+cxy的极值, 则(a, b, c)=( _ ). 8. 函数z=x2+(y-1)2的驻点为_, 它是该函数的_(极大, 极小)值点. 9. 设z=xsin(2x+3y), 求, . . 10. 设w=f(u, v), u=x2tany+lnx, v=cosex , 求, . 11. 设函数u=f(x+y, xy), 求, . 12. 设z=f(x2y2, exy), 求, . 13. 设, 求, . 14. 设函数z=z(x, y)由方程ez-xyz=0确定, 求dz. 15. 求函数在A(1, 0, 1)处沿A指向B(3, -2, 2)的方向导数. 16. 求曲面z=x2+y2+1平行于平面x+y-2z+2=0的切平面方程. 17. 求螺旋线x=acos t, y=asin t, z=bt在对应于t=0处的切线及法平面方程. 18. 求函数z=xy在附加条件x+y=1下的极值. 19. 在平面3x+4y-z=26上求一点, 使它与坐标原点的距离最短. 复习三 重积分 1了解二重的几何意义, 会交换二次积分的次序. 例1设D为闭圆域x2+y2R2, 则= . 解: 此积分表示以半径为R的半球体的体积, 即. 例2改变二次积分的积分次序得( ). (A); (B); (C); (D). 解: 积分区域为D=(x, y)|0x1, 0yx2, 积分区域又可表示为 , 所以 . 2会利用直角坐标和极坐标计算二重积分, 会利用直角坐标、柱面坐标和球面坐标计算三重积分. 例1计算, 其中D由x=0, y=1, y=x围成. 解: 因为D=(x, y)|0x1, xy1, 所以 , 计算无法进行. 因为D=(x, y)|0y1, 0xy, 所以 . 例2计算, 其中D由曲线、直线y=x围成. 解: 积分区域可表示为D=(x, y)|0y1, y2xy, 于是 =1-sin1. 例3将化成极坐标形式的二次积分 . 解: 积分区域为 , 在极坐标下, 所以 . 例4计算二重积分,其中D为x2+y2=1所围成的闭区域. 解: . 例5计算三重积分, 其中W为平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所围成的四面体. 解: 积分区域可表示为 W=(x, y, z)| 0z1-x-y, 0y1-x, 0x1, 于是 . 例6计算三重积分其中W为x2+y2=2z 及z=2所围成的闭区域. 解: 在柱面坐标下积分区域可表示为 W: 0q2p, 0r2, , 于是 . 例7计算三重积分, 其中W是由球面x2+y2+z2=1所围成的闭区域. 解: 在球面坐标下积分区域W可表示为 0q2p, 0jp, 0r1, 于是 . 3会计算立体的体积, 会计算曲面的面积, 会计算质心或形心. 例1求由抛物柱面z=2-x2及椭圆抛物面z=x2+2y2所围成的立体的体积. 解: . 例2求锥面被柱面z2=2x所割下的部分的曲面面积. 解: 曲面与z2=2x的交线在xOy面上的投影为 . 所求曲面在xOy在上的投影区域为D=(x, y)|x2+y22x. . 例3求由曲线ay=x2, x+y=2a(a0)所围成闭区域的形心. 解: 闭区域可表示为. 因为 , , . 所以 , . 练习三 1. 设区域D为x2+y2a2, 且, a=_. 2. 设D由y2=x及y=x-2所围成, 则=( ). (A); (B); (C); (D). 3. 交换下列二次积分的顺序, 并画出积分区域草图. (1); (2); (3). 4. 设D: |x|1, 0y1, 则=_. 5. 曲面x2+y2+z2=R2(z0)和所围成的立体的体积可表为二重积分_. 6. 计算二次积分. 7. 利用极坐标计算积分. 8. 计算二重积分, 其中D: x2+y22x . 9. 计算二重积分, D是以点(0, 0),(0, p), (p, p) 为顶点的三角形区域. 10. 计算二重积分, 其中D为直线y=x和抛物线y=x2所围成的平面区域. 11. 计算二重积分, 其中D是圆环形闭区域(x, y)| a2x2+y2b2. 12. 计算二重积分, 其中D为圆域: x2+y2R2 . 13. 求, 其中W是由曲线绕z轴旋转一周的曲面与平面z=4所围立体. 14. 计算, 其中W是由曲面与围成. 15. 求旋转椭球面所围成的旋转体的体积. 16. 求半圆域x2+y2a2, x0的形心. 17. 求圆锥面含于圆柱面x2+y2=2x内部的曲面面积. 复习四 曲线积分与曲面积分 1能识别对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分, 计算曲线积分, 会利用格林公式, 会利用积分与路径无关(闭曲线积分为零)的条件. 例1= , 其中L为线段AB, A(1, 0), B(0, 1). 解: 由截距式方程得L的方程为, 即x+y=1. 因此 . 例2计算曲线积分, 其中L为抛物线x2=4y从点(0, 0)到点(2, 1)的一段弧. 解: . 例3设L为A(1, 1), B(-1, 1)和C(1, -1)为顶点的三角形的周边, 逆时针方向为正, 计算下列曲线积分. 解: 设L所围成的闭区域为D, 根据格林公式, 有 . 例4L是从A(1, 6)沿xy=6至点B(3, 2)的曲线段, 则 . 解: P=yexy, Q