高考数学总复习 第8章 第9节 曲线与方程课件 新人教A版 .ppt

第八章平面解析几何 第九节曲线与方程 理 一 曲线与方程一般地 在直角坐标系中 如果某曲线c 看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上点的坐标都是这个 2 以这个方程的解为坐标的点都是 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 方程的解 曲线上的点 1 若曲线与方程的对应关系中只满足第2条会怎样 提示 若只满足 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 则这个方程可能只是部分曲线的方程 而非整个曲线的方程 二 求曲线方程的一般步骤1 建立的坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点m的坐标 2 写出适合条件p的点m的集合p m p m 3 用坐标表示条件p m 列出方程 4 化方程f x y 0为最简形式 5 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在 适当 f x y 0 曲线上 三 求轨迹方程的常用方法1 直接法 直接利用条件建立x y之间的关系f x y 0 2 待定系数法 已知所求曲线的类型 先根据条件设出所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 3 定义法 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线 再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程 4 相关点法 动点p x y 依赖于另一动点q x0 y0 的变化而变化 并且q x0 y0 又在某已知曲线上 则可先用x y的代数式表示x0 y0 再将x0 y0代入已知曲线得要求的轨迹方程 2 动点的轨迹方程 与 动点的轨迹 是一回事吗 提示 求动点的轨迹方程 和 求动点的轨迹 是不同的 前者只须求出轨迹的方程 标出变量x y的范围 后者除求出方程外 还应指出方程的曲线的图形 并说明图形的形状 位置 大小等有关的数据 答案 b 5 已知两定点a 2 0 b 1 0 如果动点p满足 pa 2 pb 则点p的轨迹所包围的图形的面积等于 考向探寻 由所给条件直接求曲线的方程 典例剖析 用直接法求曲线方程的步骤 1 建立适当的坐标系 设出动点坐标 2 列出等量关系 3 用坐标条件化为方程f x y 0 4 化简方程 5 检验 6 结论 活学活用 1 设点f 2 0 动点p到y轴的距离为d 求满足条件 pf d 2的点p的轨迹方程 考向探寻 根据圆 椭圆 双曲线 抛物线的定义求轨迹方程 典例剖析 1 已知椭圆的焦点是f1 f2 p是椭圆的一个动点 如果m是线段f1p的中点 则动点m的轨迹是a 圆b 椭圆c 双曲线的一支d 抛物线 1 连接点p与原点 根据中位线的性质得到点p满足的条件即可 2 把三角关系转化为线段的关系 判断出动点的轨迹 然后利用待定系数法求方程 求曲线方程时 根据条件可从曲线的定义出发直接写出轨迹方程 或从曲线的定义出发建立关系式 从而求出轨迹方程 这种求曲线方程的方法是定义法 用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义 求出轨迹 轨迹方程 后 要判断曲线上的点是否都满足条件 对于不满足条件的点要去掉 活学活用 2 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切 同时过点 3 0 求动圆圆心m的轨迹方程 解 圆方程即为 x 3 2 y2 4 设圆心为a 则a点坐标为 3 0 3 0 为点b 动圆半径为r 则由此得 mb r ma r 2 考向探寻 利用代入法 相关点法 求轨迹方程 典例剖析 1 探求点m坐标与点p坐标的关系 利用代入法求解 2 设m x0 0 p 0 y0 n x y 由条件得到x0 y0的关系 再由条件求得x y与x0 y0的关系 代入求解即可 动点所满足的条件不易表述或求出 但形成轨迹的动点p x y 却随另一动点q x y 的运动而有规律的运动 且动点q的轨迹方程为给定或容易求得 则可先将x y 表示为x y的式子 再代入q的轨迹方程 然后整理得p的轨迹方程 代入法也称相关点法 求对称曲线 轴对称 中心对称等 的方程实质上也是用代入法 相关点法 解题 如图所示 过点p 0 2 的直线l交抛物线y2 4x于a b两点 求以oa ob为邻边的平行四边形oamb的顶点m的轨迹方程 本题的错误之处在于忽略了k的范围 直线l与抛物线交于不同两点时 直线的斜率k是有前提条件的 首先k 0 其次是消元后的一元二次方程的判别式大于0 忽视这些限制条件就扩大了所求轨迹的范围 得出所求的轨迹方程为 y 2 2 4 x 1 的错误结论 求动点的轨迹方程要注意两个方面 一是所求轨迹方程所表示的点都得符合题目要求 二