高考数学总复习 10.1两个计数原理课件 人教版.ppt

第一讲两个计数原理 分类计数原理与分步计数原理1 分类计数原理完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 m1 m2 mn 2 分步计数原理完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 m1 m2 mn 注意 1 如果完成一件事情有n类办法 这n类办法彼此之间是相互独立的 无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事情 求完成这件事情的方法种数 就用分类计数原理 如果完成一件事情要分成n个步骤 各个步骤都是不可或缺的 即需要依次完成所有的步骤 才能完成这件事情 而完成每一个步骤各有若干种不同的方法 求完成这件事情的方法种数 就用分步计数原理 从思想方法的角度看 分类计数原理是将一个问题进行 分类 思考 分步计数原理是将问题进行 分步 思考 这两种思想方法贯穿解决本章应用问题的始终 2 在处理具体的应用问题时 首先必须弄清楚是 分类 还是 分步 其次要搞清楚 分类 或 分步 的具体标准是什么 选择合理简洁的标准处理事件 可以避免计数的重复和遗漏 3 用分步计数原理的问题 我们可以恰当地画出示意图或列出表格 使问题的分析更直观 清晰 1 2012邢台模拟 甲 乙 丙 丁4人排成一排 要求甲与乙相邻 甲与丙不相邻 则不同的排法种数为 a 6b 8c 10d 12 解析 考虑分类 甲 乙在一 二或二 一位置 共有3种 甲 乙在二 三或三 二位置 共有2种 甲 乙在三 四或四 三位置 共有3种 综上共有3 2 3 8种 答案 b 2 从6个人中选4个人分别到巴黎 伦敦 悉尼 莫斯科四个城市游览 要求每个城市至少有一人游览 每人只浏览一个城市 且这6个人中 甲 乙两人不去巴黎游览 则不同的选择方案共有 a 300种b 240种c 144种d 96种解析 能去巴黎的有4个人 能去剩下三个城市的依次有5个 4个 3个人 所以不同的选择方案有4 5 4 3 240 种 答案 b 3 某台小型晚会由6个节目组成 演出顺序有如下要求 节目甲必须排在前两位 节目乙不能排在第一位 节目丙必须排在最后一位 该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 a 36种b 42种c 48种d 54种解析 若甲排在第一位 有4 3 2 1种排法 若甲排在第二位有3 3 2 1种排法 所以共有4 3 2 1 3 3 2 1 24 18 42种不同的排法 故选b 答案 b 4 五名学生报名参加四项体育比赛 每人限报一项 报名方法的种数为 又他们争夺这四项比赛的冠军 则获得冠军的可能性有 种 解析 五名学生中任一名均可报其中的任一项 因此每个学生都有四种报名方法 五名学生都报了项目才算完成这一件事 故报名方法种数为4 4 4 4 4 45 每个项目只有一个冠军 每一名学生都有可能获得其中的一项冠军 因此每个项目的冠军的可能性有五种 故获得冠军的可能性有n 5 5 5 5 54种 答案 4554 5 已知ax by 1 0中的a b是取自集合 3 2 1 0 1 2 中的2个不同的元素 并且直线的倾斜角大于60 那么符合这些条件的直线共有 条 3 当斜率不存在时 即 90 b 0 a 0 符合条件的直线有5条 综上可得符合条件的直线共有8 3 5 16 条 答案 16 在1到20这20个整数中 任取两个相加使其和大于20 共有几种取法 自主解答 当较小加数是1时 另一个加数只能是20 1种取法 当较小加数是2时 另一个加数可以是19 20 2种取法 当较小加数是3时 另一个加数可以是18 19 20 3种取法 当较小加数是10时 另一个加数可以是11 12 20 10种取法 当较小加数是11时 另一个加数可以是12 13 20 9种取法 当较小加数是19时 另一个加数是20 1种取法 由分类加法计数原理可得 共有1 2 3 10 9 8 1 100种取法 题后总结 分类讨论时要充分考虑各种可能 切勿遗漏解 一定要跳出利用排列数 组合数公式的误区 真正体现数学思想 数学方法的灵活运用 1 用0 1 2 8这9个数字组成四位数 共有多少个不同的四位数 2 用0 1 2 8这9个数字组成四位密码 共有多少个不同的四位密码 自主解答 1 未强调四位数的各位数字不重复 只需首位不为0 依次确定千 百 十 个位 各有8 9 9 9种方法 共组成8 93 5832个不同的四位数 2 每一位上的数字都有9种方法 共能组成94 6561个不同的四位密码 题后总结 运用分步计数原理时 需要确定分步的标准 分步必须满足 完成一件事必须且只需连续完成这几步 即各个步骤是相互依存的 各个步骤都完成了 这件事才算完成 但要注意 步 与 步 的连续性 活学活用 1 从1 2 3 4 5这五个数字中选三个组成没有重复数字的三位数 其中偶数共有 a 24个b 30个c 40个d 60个 解析 组成没有重复数字的三位数且是偶数要求个位数是偶数 完成这件事分三步 第一步先从2 4中取一个作为个位数 有2种选法 第二步 从余下4个数中选一个作为十位数 有4种方法 第三步 从余下三个数中选一个作为百位数 有3种方法 依据分步计数原理共有2 4 3 24 个 故选a 答案 a 12分 中央电视台 开心辞典 节目的现场观众来自四个不同的单位 分别在图中的a b c d四个区域落座 现有四种不同颜色的服装 每个单位的观众必须穿同色服装 且相邻区域不能同色 则不同的着装方法共有多少种 规范解答 当a b c d四个区域的观众服装颜色全不相同时 有4 3 2 1 24种不同的方法 3分当a区与c区同色 b区和d区不同色且不与a区 c区同色时 或b区 d区同色 a区 c区不同色且不与b区 d区同色时 有2 4 3 2 48种不同的方法 6分当a区与c区同色 b区与d区也同色且不与a区 c区同色时 有4 3 12种不同的方法 9分由分类计数原理知共有24 48 12 84种不同的着装方法 12分 题后总结 运用两个原理解答时是先分类后分步 还是先分步后分类应视具体问题而定 另外为了问题的简化和表达的方便 数学中经常将具体问题符号化 数字化 活学活用 2 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端点异色 如果只有5种颜色可供使用 求不同的染色方法总数 解 如图所示 由题设 四棱锥s abcd的顶点s a b所染颜色互不相同 它们共有5 4 3 60种染色方法 当s a b已染好时 不妨设其颜色分别为1 2 3 若c染颜色2 则d可染颜色3 4或5 若c染颜色4 则d可染颜色3或5 有两种染法 若c染颜色5 则d可染颜色3或4 也有2种染法 可见 当s a b已染好时 c与d还有7种染法 由分步计数原理 染色方法总数 60 7 420 易错点 两个基本原理不清致误 1 把3封信投到4个信箱 所有可能的投法共有a 24种b 4种c 43种d 34种 2 某人从甲地到乙地 可以乘火车 也可以坐轮船 在这一天的不同时间里 火车有4趟 轮船有3次 问此人的走法可有几种选择 错因分析 解决计数问题的基本策略是合理分类和分步 然后应用加法原理和乘法原理来计算 解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误 如 1 选择的标准出现错误 误认为每个信箱有三种选择 所以可能的投法有34种 没有注意到一封信只能投在一个信箱中 二是混淆 类 与 步 解决 2 问时 误认为到达乙地先坐火车后坐轮船 使用乘法原理计算 规范解答 1 第1封信投到信箱中有4种投法 第2封信投到信箱也有4种投法 第3封信投到信箱也有4种投法 只要把这3封信投完 就做完了这件事情 由分步计数原理可得共有43种方法 故选c 2 因为某人从甲地到乙地 乘火车的走法有4种 坐轮船的走法有3种 每一种方法都能从甲地到乙地 根据分类计数原理可得此人的走法可有4 3 7种 状元笔记 两个基本原理如果完成一件事有n类不同的方案 在各个方案中又各有m1 m2 m3 mn种不同的方法 那么完成这件事共有m m1 m2 m3 mn种不同的方法 分步计数原理 如果完成一件事情需要n个步骤 在各个步骤中又各有m