高考数学一轮复习 第十五章 第5讲 不等式基本性质、含有绝对值的不等式配套课件 理 新人教A版 .pptVIP

第5讲不等式基本性质 含有绝对值的不等式 考点梳理 1 两个实数大小关系a b a b 0 a b a b 0 ab 那么b a 如果b a 那么a b 即a b b a 2 传递性 如果a b b c 那么a c 即a b b c a c 3 可加性 如果a b 那么a c b c 4 可乘性 如果a b c 0 那么ac bc 如果a b cb 0 那么an bn n n n 1 3 绝对值三角不等式 1 性质1 a b a b 2 性质2 a b a b 3 性质3 a b a b a b 利用以上性质可证明不等式或求不等式的最值 4 绝对值不等式的解法 1 含绝对值的不等式 x a的解集 a a a a 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b ax b c ax b 或ax b 3 x a x b c和 x a x b c型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的思想 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论的思想 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了函数与方程的思想 c c c c 考查角度解读重点考查含绝对值不等式的解法 利用含绝对值的重要不等式证明不等式问题 解含有绝对值不等式时 脱去绝对值符号的方法主要有 公式法 分段讨论法 平方法 几何法等 助学 微博 考点自测 1 2011 江苏卷 解不等式x 2x 1 3 2 求不等式 2x 1 x 2 0的解集 解法一原不等式即为 2x 1 x 2 4x2 4x 1 x2 4x 4 3x2 3 1 x 1 所求解集为 x 1 x 1 3 若不等式 x 1 x 2 a无实数解 求a的取值范围 解由绝对值的几何意义知 x 1 x 2 的最小值为3 而 x 1 x 2 a无解 知a 3 例1 2011 新课标全国 设函数f x x a 3x 其中a 0 1 当a 1时 求不等式f x 3x 2的解集 2 若不等式f x 0的解集为 x x 1 求a的值 考向一含绝对值不等式的解法 解 1 当a 1时 f x 3x 2可化为 x 1 2 由此可得x 3或x 1故不等式f x 3x 2的解集为 x x 3或x 1 方法总结 形如 x a x b c 或 c 型的不等式主要有三种解法 1 分段讨论法 利用绝对值号内式子对应方程的根 将数轴分为 a a b b 此处设ac c 0 的几何意义 数轴上到点x1 a和x2 b的距离之和大于c的全体 x a x b x a x b a b 3 图象法 作出函数y1 x a x b 和y2 c的图象 结合图象求解 考向二绝对值三角不等式的放缩功能 方法总结 含绝对值不等式的证明 可考虑去掉绝对值符号 也可利用重要不等式 a b a b 及推广形式 a1 a2 an a1 a2 an 进行放缩 应用绝对值不等式性质求函数的最值时 一定要注意等号成立的条件 训练2 1 2011 江西 对于实数x y 若 x 1 1 y 2 1 求 x 2y 1 的最大值 2 2013 宝鸡统考 不等式log3 x 4 x 5 a对于一切x r恒成立 求实数a的取值范围 解 1 x 1 1 1 x 1 1 0 x 2 又 y 2 1 1 y 2 1 1 y 3 从而 6 2y 2 由同向不等式的可加性可得 6 x 2y 0 5 x 2y 1 1 x 2y 1 的最大值为5 2 由绝对值的几何意义知 x 4 x 5 9 则log3 x 4 x 5 2 所以要使不等式log3 x 4 x 5 a对于一切x r恒成立 则需a 2 例3 设函数f x x 1 x a 1 若a 1 解不等式f x 3 2 如果对于 x r f x 2 求实数a的取值范围 解 1 当a 1时 f x x 1 x 1 由f x 3得 x 1 x 1 3 考向三含参绝对值不等式的最值问题 方法总结 不等式的解集为r是指不等式的恒成立问题 而不等式的解集 的对立面 如f x m的解集是空集 则f x m恒成立 也是不等式的恒成立问题 此两类问题都可转化为最值问题 即f x f x max f x a恒成立 a f x min 训练3 已知函数f x x a 1 若不等式f x 3的解集为 x 1 x 5 求实数a的值 2 在 1 的条件下 若f x f x 5 m对一切实数x恒成立 求实数m的取值范围 重点考查含绝对值不等式的解法 可能含参 或以函数为背景证明不等式 热点突破38含绝对值不等式的恒成立问题 审题与转化 第一步 1 f x 是一个多项式的绝对值 所以可以考虑利用绝对值三角不等式的性质进行放缩 然后再用配方法求解 2 从f x 的最大值为入手分析 a 0时 f x 在对称轴上取得最值 反思与回顾 第三步 含绝对值不等式的证明题主要分为两类 一类是比较简单的不等式 往往可通过公式法 平方法 换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题 或利用绝对值三角不等式性质定理 a b a b a b 通过适当的添 拆项证明 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式 往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想 或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明 1 2009 海南 宁夏卷 如图 o为数轴的原点 a b m为数轴上三点 c为线段om上的动点 设x表示c与原点的距离 y表示c到a距离的4倍与c到b距离的6倍的和 1 将y表示为x的函数 2 要使y的值不超过70 x应该在什么范围内取值 高考经典题组训练 2 2012 课标全国卷 已知函数f x x a x 2 1 当a 3时 求不等式f x 3的解集 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范围 2 f x x 4 x 4 x 2 x a 当x 1 2 时 x 4 x 2 x a 4 x 2 x x a 2 a x 2 a 由条件得 2 a 1且2 a 2 即 3 a 0 故满足条件的a的取值范围为 3 0 3 2012 福建卷 已知函数f x m x 2 m r 且f x 2 0的解集为 1 1 1 求m的