2012 卓越联盟自主招生(数学).doc

卓越人才培养合作高校2012年自主选拔学业能力测试数学本卷共100分，考试用时90分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码2.黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上。答在卷上的无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（1）若以椭圆短轴的两个端点和长轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则椭圆的离心率为 _ 。（2）函数的值域为 。（3）设，则，的大小关系为 _。（4）已知中，点是线段的中点，若与的夹角为，则= 。（5）设是等差数列，是等比数列，记，的前项和分别为，。若，且，则 。（6）设函数，其中，若在常数，使对任意有，则可取到的最小值为 。二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（7）（本小题满分10分）试，是从集合中随机选取的数（）求直线与圆有公共点的概率（）设为直线与圆的公共点的个数，求随机变量的分布列及数学期望。（8）（本小题满分10分）如图，是的直径，弦垂直于点，是延长线上一点，是的切线，是切点，与相交于点，（）求线段的长；（）连线，判断是否平行于，并证明你的结论。（注：根据解题需要，须将图形自行画在大题卡上。）（9）（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧面底面，。（）证明平面平面；（）若，求二面角的正切值。（注：根据解题需要，须将图形自行画在答题卡上）（10）（本小题满分10分）设抛物线的焦点是，是抛物线上互异的两点，直线与轴不垂直，线段的垂直平分线交轴于点，记。（）证明是与的等差中项（）设，直线平行轴，且被以为直径的动圆截得的弦长恒为定值，求直线方程。（11）（本小题满分15分）已知函数，其中是非零实数，。（）求的单调区间（）若，设，且，。证明：；（）若有极小值，且，证明。（12）（本小题满分15分）设数列的前项和为，其中，是正整数，且，。（）证明为等比数列；（）设，两项均为正整数，其中。（）若，证明整除；（）若存在正整数，使得，证明。卓越人才培养合作高校2012年自主选拔学业能力测试数学本卷共100分，考试用时90分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码2.黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上。答在卷上的无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（1）若以椭圆短轴的两个端点和长轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则椭圆的离心率为 _ 。（2）函数的值域为 。（3）设，则，的大小关系为 _。（4）已知中，点是线段的中点，若与的夹角为，则= 。（5）设是等差数列，是等比数列，记，的前项和分别为，。若，且，则 。（6）设函数，其中，若在常数，使对任意有，则可取到的最小值为 。二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（7）（本小题满分10分）试，是从集合中随机选取的数（）求直线与圆有公共点的概率（）设为直线与圆的公共点的个数，求随机变量的分布列及数学期望。（8）（本小题满分10分）如图，是的直径，弦垂直于点，是延长线上一点，是的切线，是切点，与相交于点，（）求线段的长；（）连线，判断是否平行于，并证明你的结论。（注：根据解题需要，须将图形自行画在大题卡上。）（9）（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧面底面，。（）证明平面平面；（）若，求二面角的正切值。（注：根据解题需要，须将图形自行画在答题卡上）（10）（本小题满分10分）设抛物线的焦点是，是抛物线上互异的两点，直线与轴不垂直，线段的垂直平分线交轴于点，记。（）证明是与的等差中项（）设，直线平行轴，且被以为直径的动圆截得的弦长恒为定值，求直线方程。（11）（本小题满分15分）已知函数，其中是非零实数，。（）求的单调区间（）若，设，且，。证明：；（）若有极小值，且，