初中数学教学中学生自主变式能力培养初探.pdf

0 上海中学数学 2 0 1 4 年第9 期 初中数学教学中学生自主变式能力培养初探 3 1 8 0 5 0浙江省台州市路桥区横街镇中学曾爱强 一 问题的提出 三 自主变式课堂的操作流程 义务教育数学课程标准 明确指出 数学教学 活动 特别是课堂教学应激发学生兴趣 调动学生积 极性 引发学生的数学思考 鼓励学生的创造性思 维 所谓创造性思维就是指学生遇到问题时 能多角 度 多侧面 多层次 多结构地去思考 去寻找答案 为培养学生创造性思维 不少教师尝试采用变式教 学来拓展学生的思维 这种方式在一定程度上提高 了学生参与课堂活动的积极性 让学生了解问题之 间的联系 能透过变化的现象发现不变的本质 然 而 这样的变式教学基本上是以教师对源问题进行 多角度的变化为主 学生仅仅停留在被动接受的层 面上 对于 问题是如何变化的 为什么要这样变 化 变化得是否有价值 在变化中哪些内容的本 质是不变的 等等 学生一无所知或所知甚少 于是 数学课堂上 总能看到这样的现象 教师的问题一个 个地变化 学生一个个地去解决 但教师不说怎么 变 学生也光做不问 这样的变式教学从根本上讲 仍然是以 教为中心 那么在变式教学中 如何体现 以 学为中心 笔者对此进行了两年多的实践与研 究 尝试在课堂教学中把 变 的主动权交给学生 让 学生在知道为什么要变 如何变化的前提下 逐步学 会变式 培养学生自主变式的能力 二 自主变式的界定 所谓自主变式 就是教师有意展示源问题变式 的过程与方法 学生借此知道教师是如何逐步设计 变式的 清楚变化的目的 途径和常用方法 明晰每 个变式之间的联系和发展 在此基础上 学生能在解 决一个源问题后 主动从不同角度 不同层次和不同 方式变换事物的非本质属性 改变问题中的条件或 结论 转换问题的形式或内容等 对问题作进一步的 探索 以生成更有价值的新问题 寻求更好的解决方 法 能从 变 的现象中发现 不变 的本质 从 不变 的本质中探究 变 的规律 使学生养成深刻理解知 识的本质 克服静止地 孤立地看问题的习惯 增强 应变能力 这样的自主变式才能真正让学生张扬个 性 激发潜能 促进多元化发展 学生的自主变式离不开教师的精心指导 一方 面 教师在课堂教学中应设计有价值的问题 以便进 行变式探究 要对学生提出明确的要求一 引导学生观 察 思考问题变化的过程 让学生不要仅仅关注各个 题目 还要关注题目之间的联系 关注蕴含于题目之 间的共同特征或数学本质等 另一方面 教师可以安 排专门的变式课 设计一个源问题 要求学生在解决 源问题的基础上 尝试自主变式 并在小组内进行交 流 说明变式的方法和依据 通过合作学习和教师指 导 评价 感受变式的成功 归纳变式的常用方法和 技巧 如问题的等价转化 特殊化 一般化 逆向思 考 改变条件 结论延伸 更换背景 类比迁移等 这 样 才能使自主变式达到预期的教学效果 培养学生 自主变式能力也不会成为纸上谈兵 笔者在实践研 究中 通过不断总结 反思 完善 逐步形成了以学生 为主体 教师为主导的自主变式课堂的操作流程 其 示意图如文末图1 从操作流程图中可以看出 自主变式课堂教学 活动是师生积极参与 交往互动 共同发展的过程 它一般包含 创设情境一提出源问题 讨论展示一 点拨释疑一自主变式一生成颞问题一总结提炼 这 七个环节 其中 创设情境 点拨释疑 以教师活动 为主 讨论展示 生成新问题 以学生活动为主 其他环节由师生共同参与 学生自主变式后生成新 问题 经过学生相互讨论 展示 解决 再继续变式 生成 循环往复 周而复始 直至学生掌握变式规律 提炼出内在不变之本质 这样既能达到理解数学的目 的 又可以培养学生的思维能力 发展学生的智力 案例l 探究 中点四边形 的操作流程 教师创设情境 如图2 是一块不规则四边形的草 坪 在每边的中点处各有一棵银杏树 现因草坪重新 规划施工 要求在不移动银杏树的情况下把这块草坪 的面积减小一半 请你设计一个可行的施工方案 图2 A 图3 万方数据 上海中学数学 2 0 1 4 年第9 期 师生共同提出源问题 如图3 顺次连接A B C D 各边的中点E F G H 所组成的四边形 即中点四 边形E F G H 的面积是四边形A B C D 的面积的一半 吗 教师引导学生自主探索 合作交流 展示解法 此时 教师通过恰当点拨 促使学生积极思考 加深 对知识的认识和理解 学生自主变式1 原四边形是一般四边形时 探 究中点四边形的形状 生成新问题1 一般四边形A B C D 的中点四边 形E F G H 是特殊的四边形吗 在教师的组织下 学生独立思考后 展示自己的 思考 得到中点四边形E F G H 是平行四边形 学生自主变式2 原四边形是特殊四边形时 探 究中点四边形的形状 生成新问题2 平行四边形A B C D 的中点四边 形E F G H 是什么形状 生成新问题3 矩形A B C D 的中点四边形E F G H 是什么形状 生成新问题4 菱形A B C D 的中点四边形E F G H 是什么形状 生成新问题5 正方形A B C D 的中点四边形 E F G H 是什么形状 学生自主变式3 探究决定中点四边形的形状 的内在因素 生成新问题6 中点四边形E F G H 的形状是由 什么决定的 师生通过一系列探究后 发现中点四边形的形 状只和原四边形的对角线有关 与原四边形的形状 无关 总结归纳 原四边形两对角线的数量关系决定了 中点四边形的边 位置关系决定了中点四边形的角 在整个自主变式课堂的教学过程中 学生通过 观察 操作 猜想 交流 验证 推理 变式 归纳等数 学活动 采用动手实践 自主探索 合作交流等学习 方式 既解决了 创设情境 中的草坪面积问题 又探 索了中点四边形的形状 让学生充分掌握四边形这 一章节的所有核心知识 有效地沟通了各部分知识 之间的内在联系 为学生进行自主变式创造了良好 的条件 同时也培养了学生勇于探索和创造的精神 四 自主变式的实施策略 自主变式过程实际上是对源问题的推演过程 它对学生的思维能力要求较高 但并不是不可行的 因为初中阶段是形象思维向抽象逻辑思维转化的时 期 根据皮亚杰的儿童智力发展理论 学生已经具备 一定的数学问题的演变能力和反省能力 但要培养 学生自主变式能力 养成自主变式的习惯 并不是一 蹴而就的 需要教师循序渐进 明确要求 耐心指导 长期渗透 那么根据学生现有的思维水平 如何引导 学生在解决源问题后 运用已掌握的知识 通过正确 的思维变化方式 生成有价值的新问题呢 笔者以 为 让学生学会自主变式 是有法可依 有章可循的 1 对源问题进行否定 提高生成能力 从源问题出发 生成新问题的一种有效策略就 是对源问题的条件或结论进行否定 假设 即改变源 问题的条件或结论 在学生解决源问题后 教师可引 导学生围绕源问题内容 适当改变条件或相关结论 让学生在不断否定 假设中 打开新思路 生成新问 题 当然 否定 假设源问题的条件或结论并不是毫 无依据地乱做一通 而是需要学生仔细洞察 挖掘各 种假设的可能性 大胆猜想 从而提高自己提出新问 题的能力 案例2 分式有意义 的自主变式 新人教版数学八上第十五章第一课时 从分数 到分式 教材是在学生对分数已有认识的基础上 通过分式与分数的类比 从具体到抽象 从特殊到一 般地认识分式 了解分式的概念 明确分式有意义的 条件是分母不为0 为使学生对分式有更清晰的认 识 笔者在课堂教学中引导学生进行自主变式 源问题当z 在什么范围内时 分式二 有意 上上 义 变式l 改变分式 当t z 在什么范围内时 分 式亡有意义 上 变式2 否定结论 当z 取何值时 分式 刍 上1 无意义 变式3 否定结论 当z 取何值时 分式j 三 正1 的值为0 变式4 改变分式 分子分母能因式分解 当z 2 1 取何值时 分式是 南的值为o Z1 变式5 否定结论 当z 在什么范围内时 分 式二三的值为正 或为负 工上 虽然这里的变式比较简单 但是通过让学生自 主变式 学生加深 对分式概念的理解 掌握其内涵 与外延 提高了多向变通的思维能力 在这里 学生 反客为主 以主人翁的姿态用心去发现 思考 创造 在这里 学生感受到学习的快乐 变式的美妙和成功 的喜悦 在这里 学生张扬个性 展示才能 从这个意 义上讲 自主变式课堂充满了变化的生机与生命的 活力 万方数据 f 2 上海中学数学 2 0 1 4 年第9 期 2 对源问题进行类比 促进理解能力 初中数学具有一定的抽象性 许多数学概念概 括性较强 学生难以理解 类比作为一种常用的推理 方法 可以通过对几类数学对象在性质或关系方面 的类似性研究 刻画突出源问题的特征 更浅显形象 地加深对源问题的理解 通过类比 可调动学生大脑 中贮存的知识信息 进行知识组块 启迪思维 使学 生在探索过程中出现顿悟 而顿悟的出现又使问题 的解决有了明朗的方向 教材中 有很多知识可以进 行类比研究 如有理数的运算 整式的运算 分式的 运算 二次根式的运算 一元一次方程与一元一次不 等式 二元一次方程组与三元一次方程组 正比例函 数与反比例函数 二次函数 一元二次方程 三角形 与平行四边形 全等三角形与相似三角形 线段的垂 直平分线与角的平分线 三角形的外接圆 三角形的 内切圆 四边形的外接圆 四边形的内切圆甚至于多 边形的外接圆等等 倘若学生能在学习的过程中切 实理解这些数学知识 那么这些知识之间的联系不 仅成为学生进行自主变式的依据 也能促使学生发 现变式的内在本质 使学生有机会从各个方面巩固 加深对知识的理解 对知识点间的纵横联系能了然 于胸 使学生站在较高的角度看待数学知识的实质 3 对源问题进行联想 增强迁移能力 对源问题进行联想是由此及彼的一种思考方 法 联想要以一定的数学知识 解题经验及技能为基 础 对某些数学问题 若能联想一些形式相同的 思 考方法相似的 结构类似的熟悉问题或常规问题 通 过迁移将探索到解决问题的途径 也就是说 对一道 数学题进行联想 可以得到一系列新的题目 甚至得 到更一般的结论 即便有些问题不能及时解决 通过 联想进行一题多变 也有助于学生应变能力的养成 培养学生发散思维的形成 增强学生面对新问题敢 于联想分析予以解决的意识 案例3 一道课本习题的七种变式 源问题 新人教版教材习题 如图4 在 A B C 中 D 是B C 的中点 D E 上A B D F j A C 垂 足分别是E F B E C F 求证 A D 是 A B C 的角 平分线 变式1 条件不变 结论改变 如图4 在 A B C 中 D 是B C 的中点 D E 上A B D F 上A C 垂 足分别是E F B E C F 求证 1 A B A C 2 D E D F 变式2 改变条件 如图4 在 A B C 中 A B A C D 为B C 的中点 D E 上A B D F L A C 求证 D E D F 变式3 联想到一腰上的高 如图5 在 A B C 中 A B A C D 为B C 的中点 D E L A B D F 上A C 那么D E D F 与三角形一腰上的高C H 之间存在怎 样的数量关系呢 变式4 从特殊到一般 如图6 在 A B C 中 A B A C 若D 为线段B C 上的任一点 D E 上A B D F 上A C 那么D E D F 与三角形一腰上的高C H 之间存在怎样的数量关系呢 天 图4图5 图6 变式5 从线段联想到直线 在变式4 中 若 D 为直线B C 上的任一点 其他条件不变 那么D E D F 与C H 之间又存在怎样的数量关系呢 变式6 纳入到平面直角坐标系中 如图7 在 A B C 中 A B A C D 为B C 的中点 若以D 点为 坐标原点 B C 所在的直线为 z 轴 A D 所在的直线 为y 轴建立平面直角坐标系 E 是线段A B 上的一 点 请在y 轴上寻找一点P 使得P E P B 的值 最小 A y E l 一 疗nr 图7图8 变式7 改变结论 如图8 在 A B C 中 A B A C D 为B C 的中点 若以D 点为坐标原点 B C 所在的直线为z 轴 A D 所在的直线为y 轴建立平 面直角坐标系 除了点C 外 在数轴上是否存在另 外一些点Q 使得A B Q 三点构成等腰三角形 如 果存在 这样的点还有几个 请一一找出 在课堂教学时 笔者把课本中的典型习题作为 源问题 引导学生进行自主变式 学生在互相合作 探究 补充交流 评价完善中得到了各种类型的变 式 有改变条件或结论的 有从特殊到一般去思考问 题的 有把图形纳入到平面直角坐标系中去研究的 等等 种种变化 都是学生思维上的发展和创新 此 时 教师作为课堂的调控者 组织者 应适时激励评 价学生的成果 更应去伪存真 让学生在多角度 多 层次去构思 延伸源问题时 把握方向 明确方法 这 不仅有助于学生更加深刻地理解各个题目之间 变 与 不变 的关系 也有助于提高课堂效率 万方数据 上海中学数学 2 0 1 4 年第9 期 基于 过程教育 的 实数 若干问题问答 3 1 5 8 0 0 浙江省宁波市北仑区长江中学胡淑红 义务教育数学课程标准 2 0 1 1 倡导旨在培养 学生智慧的 过程教育 但调研发现大多数教师的 课堂教学不符合过程教育要求 怎样操作基于过程 教育的浙教版课标教材七年级上册3 2 实数 的教 学 笔者以问答的形式呈现这节课的几个节点问题 及参考答案 问 数学结果是课程内容的主要组成部分 这节 课涉及哪些数学结果 其研究背景 地位与作用分 别是什么 答 根据数学结果的含义 从实数的概念体系中 析出的这节课涉及的数学结果及其逻辑关系可用图 l 表示 见文末 实数是在学习有理数的基础上提出的 现实生 活中的许多数量需要用实数来表示 实数是新的概 念 学生无先前经验 实数是数系中的重要成员 是 有理数的和谐扩展 有理数中的有关概念 运算法则 和运算律等在实数范围内同样适用 实数表示与运 算是后继学习的理论基础 也是后继学习所需要的 基本技能 具体到抽象和特殊到一般的研究方法对 认识数学有指导作用 问 数学结果的形成 应用的过程和蕴含的数学 思想方法也是课程内容的有机组成部分 这节课的 教无定法 重在方法 合理之法 学为中心 在初 中数学教学中培养学生自主变式能力是笔者对教学 本质的一种研究 亦是 尊重学生 相信学生 依靠学 生 理念的体现 是在遵循