课堂作业讨论题分析.ppt

作业 以下两题任选一题1 一个普通单摆 摆长为 小球质量为m 不考虑摆杆质量和阻尼 分析单摆受扰动偏离垂直位置一个小角度 0后的受扰运动和平衡状态特征 2 试分析下面非线性系统的平衡状态邻域的受扰运动和平衡状态特征 若将上述系统稍作改动 如下式 试分析平衡状态邻域的受扰运动和平衡状态特征 解题1 令 并设 则 结合实际情况可知xe 0 x 在xe附近对B 1式线性化得到 从而解出 右图描绘出了x t 的运动轨迹 由于B 2式只在很小时成立 解B 3和图中状态轨迹只是平衡状态邻域局部正确 i s L稳定 不论给定正数多么小 只要取 并令 就可保证 解题2 1 显然是平衡状态 为方便将上式改写成极坐标形式 令 C 2式解为 其中 待定常数k和由初始条件和决定 例如取 分析 1 若x 0 受扰动位于单位圆上 k 0 状态轨迹以 1的频率在单位圆上反时针旋转 2 若x 0 受扰动位于单位圆外 k 0 则状态轨迹以 1的频率由x 0 开始反时针旋转式逼近单位圆 3 若x 0 受扰动位于单位圆内 k 0 则状态轨迹以 1的频率由x 0 开始反时针旋转式逼近单位圆 与2 不同的是从单位圆内部可知 极限环 单位圆是稳定的 但平衡状态Xe 0并不符合李氏稳定定义 解题2 2 解为 仍假定初态 情况分析 分析 1 若x 0 受扰动位于单位圆上 k 0 状态轨迹仍以 1的频率在单位圆上反时针旋转 2 若x 0 受扰动位于单位圆外 k 0 由于是指数增长函数在实数域内无解 3 若x 0 受扰动位于单位圆内 k 0 则状态轨迹以 1的频率由x 0 开始反时针螺旋式逼近平衡状态xe 可知 平衡状态Xe 0不仅符合李氏稳定定义 且只要受扰后初态位于单位圆内 受扰运动将随时间增长逐渐逼近平衡状态 因而还是渐进稳定的 而极限环 单位圆则是不稳定的 即一旦有扰动使原来处于极限环上的状态x t 在某时刻脱离极限环 此后的状态将永远离开极限环 通过求解微分方程 根据解的性质判断 上例也可不求解微分方程 通过李亚普诺夫第二法直接判断 邻域R为单位圆 V x 在单位圆内正定 则为负定 所以状态空间原点是渐进稳定平衡状态 渐进稳定区域以0 x为圆心的单位圆 1 给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统为 试判断 1 系统是否为渐进稳定 2 是否为BIBO稳定 并解释 2 对下列连续时间非线性时不变系统 判断原点平衡状态是否为大范围渐近稳定 上述两题求解参见 线性系统理论习题集 5 1 5 3郑大钟清华 提示 题2中 若取 则只能得到半负定的 此时 可使用定理8 21 中沿状态方程非零解不恒为0条件判断 例 考虑系统 讨论其BIBS BIBO稳定及BIBS BIBO全稳定 解 系统是不可控但可观测的 可控模态是 1 根据定理8 6 全体可控模态收敛 系统BIBS稳定 但非全稳定 须全体不可控模态不发散 又系统可控 可观的模态是 1 收敛 故系统BIBO稳定 但不可控 可观的模态是1 发散 故系统也非BIBO全稳定 题1的求解可类似讲义第二部中定理8 7应用 第七章讨论题参考 解 本题属于按配置期望特征值综合状态反馈矩阵和降维状态观测器的基本题 首先导出给定受控系统传递函数的一个状态空间描述 1 按配置期望特征值确定状态反馈阵k 系统可控 因而可配置期望闭环特征值系统特征多项式 期望特征多项式 考虑到 A B 为能控规范形 可定出状态反馈阵 2 按配置特征值均为 5确定降维观测器 系统可观 因而可构造特征值均为 5的m n rankC 3 1 2维降维观测器 考虑到 A B C 已为设计降维观测器所要求的标准形 即变换阵P I 由7 72式和7 74式可定出降维状态观测器及系统状态x的重构状态 3 基于上述结果 可画出对应的闭环控制系统结构图 4 观测器的引入不改变状态反馈系统传函 解 本题属于对全维状态观测器属性的证明题 训练演绎推证能力比较 和可以看出 对给定全维状态观测器 有 再结合全维状态观测器要求 A LC 特征值具有负实部 可验证满足 证得 陈4 1试求下列齐次方程的基本矩阵和状态转移矩阵p124 郑3 1分别定出下列常量阵A的矩阵指数函数 郑4 1 4 3判断下列连续时间线性时不变系统是否完全能控 能观测 例 利用秩判据判断系统的可控性 书上P141例7 如设x1 0 10 x2 0 1 需要施加什么样的力使平台在1秒内静止 2 讨论 随堂4 郑 题6 2给定单输入连续时间线性时不变系统 是否可用状态反馈任意配置全部特征值 若能 求出使闭环特征值配置为的状态反馈阵k 郑 题6 6给定单输入连续时间线性