选2-31.2.2组合(一).ppt

1 2 2组合 一 问题一 从甲 乙 丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动 其中1名同学参加上午的活动 1名同学参加下午的活动 有多少种不同的选法 问题二 从甲 乙 丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动 有多少种不同的选法 甲 乙 甲 丙 乙 丙 3 情境创设 有顺序 无顺序 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 排列与组合的概念有什么共同点与不同点 概念讲解 组合定义 组合定义 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 排列定义 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 共同点 都要 从n个不同元素中任取m个元素 不同点 排列与元素的顺序有关 而组合则与元素的顺序无关 概念讲解 思考一 ab与ba是相同的排列还是相同的组合 为什么 思考二 两个相同的排列有什么特点 两个相同的组合呢 概念理解 构造排列分成两步完成 先取后排 而构造组合就是其中一个步骤 思考三 组合与排列有联系吗 判断下列问题是组合问题还是排列问题 1 设集合A a b c d e 则集合A的含有3个元素的子集有多少个 2 某铁路线上有5个车站 则这条铁路线上共需准备多少种车票 有多少种不同的火车票价 组合问题 排列问题 3 10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组 共有多少种分法 组合问题 4 10人聚会 见面后每两人之间要握手相互问候 共需握手多少次 组合问题 5 从4个风景点中选出2个游览 有多少种不同的方法 组合问题 6 从4个风景点中选出2个 并确定这2个风景点的游览顺序 有多少种不同的方法 排列问题 组合问题 组合是选择的结果 排列是选择后再排序的结果 1 从a b c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是 ab ac bc 2 已知4个元素a b c d 写出每次取出两个元素的所有组合 ab ac ad bc bd cd 3个 6个 概念理解 1 写出从a b c d四个元素中任取三个元素的所有组合 abc abd acd bcd 练一练 组合 排列 abcbaccabacbbcacba abdbaddabadbbdadba acdcaddacadccdadca bcdcbddbcbdccdbdcb 不写出所有组合 怎样才能知道组合的种数 你发现了什么 组合数公式 排列与组合是有区别的 但它们又有联系 根据分步计数原理 得到 因此 一般地 求从n个不同元素中取出m个元素的排列数 可以分为以下2步 第1步 先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数 第2步 求每一个组合中个元素的全排列数 这里 且 这个公式叫做组合数公式 概念讲解 组合数公式 从n个不同元中取出m个元素的排列数 概念讲解 2 列出所有冠亚军的可能情况 2 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁乙甲 丙甲 丁甲 丙乙 丁乙 丁丙 1 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 解 例题分析 选 4 求 例3 例4 1 平面内有10个点 以其中每2个点为端点的线段共有多少条 2 平面内有10个点 以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条 例题分析 排列 课堂小结 复习巩固 3 组合数公式 例1 一位教练的足球队共有17名初级学员 他们中以前没有一人参加过比赛 按照足球比赛规则 比赛时一个足球队的上场队员是11人 问 1 这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案 2 如果在选出11名上场队员时 还要确定其中的守门员 那么教练员有多少种方式做这件事情 例4 在100件产品中有98件合格品 2件次品 产品检验时 从100件产品中任意抽出3件 1 一共有多少种不同的抽法 2 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种 3 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种 4 抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种 说明 至少 至多 的问题 通常用分类法或间接法求解 变式练习 按下列条件 从12人中选出5人 有多少种不同选法 1 甲 乙 丙三人必须当选 2 甲 乙 丙三人不能当选 3 甲必须当选 乙 丙不能当选 4 甲 乙 丙三人只有一人当选 5 甲 乙 丙三人至多2人当选 6 甲 乙 丙三人至少1人当选 课堂练习 2 从6位同学中选出4位参加一个座谈会 要求张 王两人中至多有一个人参加 则有不同的选法种数为 3 要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队 如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生 则不同的选法种数为 4 从7人中选出3人分别担任学习委员 宣传委员 体育委员 则甲 乙两人不都入选的不同选法种数共有 1 把6个学生分到一个工厂的三个车间实习 每个车间2人 若甲必须分到一车间 乙和丙不能分到二车间 则不同的分法有种 9 9 C D 复习巩固 3 组合数公式 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 从口袋内取出3个球 共有多少种取法 从口袋内取出3个球 使其中含有1个黑球 有多少种取法 从口袋内取出3个球 使其中不含黑球 有多少种取法 解 1 性质2 我们可以这样解释 从口袋内的8个球中所取出的3个球 可以分为两类 一类含有1个黑球 一类不含有黑球 因此根据分类计数原理 上述等式成立 我们发现 为什么呢 性质2 注 1 公式特征 下标相同而上标差1的两个组合数之和 等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数 2 此性质的作用 恒等变形 简化运算 在今后学习 二项式定理 时 我们会看到它的主要应用 例2求证 一 等分组与不等分组问题 例3 6本不同的书 按下列条件 各有多少种不同的分法 1 分给甲 乙 丙三人 每人两本 2 分成三份 每份两本 3 分成三份 一份1本 一份2本 一份3本 4 分给甲 乙 丙3人 一人1本 一人2本 一人3本 5 分给甲 乙 丙3人 每人至少一本 6 分给5个人 每人至少一本 7 6本相同的书 分给甲乙丙三人 每人至少一本 练习 1 今有10件不同奖品 从中选6件分成三份 二份各1件 另一份4件 有多少种分法 2 今有10件不同奖品 从中选6件分给甲乙丙三人 每人二件有多少种分法 解 1 2 例4 某城新建的一条道路上有12只路灯 为了节省用电而不影响正常的照明 可以熄灭其中三盏灯 但两端的灯不能熄灭 也不能熄灭相邻的两盏灯 可以熄灭的方法共有 A 种 B 种 C 种 D 种 二 不相邻问题插空法 三 混合问题 先 组 后 排 例5对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品 一一进行测试 至区分出所有次品为止 若所有次品恰好在第5次测试时全部发现 则这样的测试方法有种可能 解 由题意知前5次测试恰有4次测到次品 且第5次测试是次品 故有 种可能 练习 1 某学习小组有5个男生3个女生 从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动 每项活动至少有1人参加 则有不同参赛方法 种 解 采用先组后排方法 2 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检 每校分配1名医生和2名护士 不同的分配方法共有多少种 解法