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第四章稳定性与李雅普诺夫方法 2020年2月5日 4 稳定性与李雅普诺夫方法 4 1李雅普诺夫关于稳定性的定义4 2李雅普诺夫第一法4 3李雅普诺夫第二法4 4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4 5李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用 稳定性的几个问题 什么是系统的稳定性 为什么要研究稳定性 经典控制理论中稳定性的判别方法 对于状态空间表达式如何判断稳定性 4 1李雅普诺夫关于稳定性的定义 系统的平衡状态所研究系统的齐次状态方程为x为n维状态矢量 f为与x同维的矢量函数 并且是x与时间t的函数 一般为时变的非线性函数 如果不显函t 则为定常非线性系统 若存在状态矢量xe 对所有时间t都能使f xe t 0 称xe为系统的平衡状态 线性定常系统的平衡状态平衡状态需要满足Axe 0当A为非奇异矩阵时 系统存在唯一的平衡状态xe 0 当A为奇异矩阵时 系统将存在无穷多个平衡状态 非线性系统的平衡状态可以有一个或者多个 平衡状态 稳定性的基本概念 稳定性是系统本身固有的 与输入无关 稳定性的几个定义 李雅普诺夫意义下的稳定渐进稳定大范围渐进稳定不稳定 李雅普诺夫意义下的稳定性 说明 S 定义一个以平衡状态为中心半径为 的邻域 系统的运动状态保持在该邻域内 S 定义一个以平衡状态为中心半径为 的邻域 为了满足系统的运动状态保持在S 内 系统的初始状态应该在S 内 渐进稳定 大范围渐进稳定 不稳定 稳定渐进稳定不稳定 分析下列系统的稳定性 表面有摩擦 李雅普诺夫稳定性判别方法 第一法 间接法 先求解系统的微分方程 然后根据解的性质来判断系统的稳定性 第二法 直接法 构造李雅普诺夫函数 根据这个函数的性质判断系统的稳定性 适用与任何复杂系统 4 2李雅普诺夫第一法 间接法 线性定常系统 提问 有没有可能出现状态不稳定而输出稳定的情况 有没有可能出现输出不稳定而状态稳定的情况 非线性系统 xe为平衡状态 f x t 为与x同维的矢量函数 且对x具有连续的偏导数 将非线性矢量函数f x t 在xe邻域内展开为泰勒级数 其中R x 为级数展开式中的髙阶导数项 若令则可以得到系统的线性化方程 在线性近似的基础上 用线性系统稳定性的判别定理 举例 用李雅普诺夫第一法判断下列系统的稳定性 第一步 令 求得系统的平衡状态 第二步 将系统在平衡状态x1e附近线性化 求近似线性系统的特征根 1 1 所以系统在平衡状态x1e不稳定 第三步 将系统在平衡状态x2e附近线性化 求近似线性系统的特征根 j j 实部为0 所以系统在平衡状态x2e的稳定性用线性化方程无法判断 课堂练习 用李雅普诺夫第一法判断下列系统的稳定性 第一步 令 求得系统唯一的平衡状态 第二步 将系统在平衡状态附近线性化 第三步 求近似线性系统的特征根 1 2所以系统在平衡点渐进稳定 4 3李雅普诺夫第二法 直接法 基本思路 一个系统被激励后 其储存的能量随着时间的推移逐渐衰减 当能量最小时 达到平衡状态 那么这个平衡状态是渐进稳定的 反之 如果系统不断从外界吸收能量 存储能量的能量越来越大 那么这个平衡状态就是不稳定的 李雅普诺夫函数 一个正定的标量函数V x 虚拟的广义能量函数根据dV x dt的符号 能量的变换规律 判断系统的稳定性 4 3 1预备知识1 标量函数的符号性质 设V x 为n维矢量x所定义的标量函数 且在x 0处 恒有V x 0 对于所有在域中的任何非零矢量x 如果 1 V x 0 则称V x 为正定 例如V x x12 x22 2 V x 0 则称V x 为半正定 或非负定 例如V x x1 x2 2 3 V x 0 则称V x 为负定 例如V x x12 2x22 4 V x 0 则称V x 为半负定 或非正定 例如V x x1 x2 2 5 V x 0或者V x 0 则称V x 为不定的 例如V x x1 x2 2 二次型标量函数 设x1 x2 xn为n个变量 定义二次型标量函数为 如果pij pji 则称P为实对称阵 对于二次型函数 若P为实对称阵 则必存在正交矩阵T 通过变换 使之化成 上式 为二次型函数的标准型 它只包含变量的平方项 其中为对称阵P的互异特征值 且均为实数 二次型函数的标准型 二次型函数的标准形正定的充要条件式对称阵P的所有特征值 均大于零 矩阵P的符号性质 设P为n n的实对称阵 V x xTPx为由P所决定的二次型函数 1 若V x 正定 则P正定 记做P 0 2 若V x 负定 则P负定 记做P 0 3 若V x 半正定 非负定 则P半正定 非负定 记做P 0 4 若V x 半负定 非正定 则P半负定 非正定 记做P 0 矩阵P的符号性质与它所定义的二次型函数V x 的符号性质完全一致 因此判断V x 的符号只要判断P的符号即可 希尔维斯特判据 Sylvester 3 希尔维斯特判据 4 3 2稳定性判据 李雅普诺夫第二法根据判断系统的稳定性 4 3 3对李雅普诺夫函数的讨论 4 4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4 4 1线性定常连续系统渐进稳定判据 证明 必要性证明 设对称矩阵令显然 李氏第一法 如何判断 P 61矩阵指数函数的性质五 微分 根据 则 因此 充分性证明 因为A的特征根有可能是复数 不妨在复数域上讨论 在Cn中定义新的内积 为A的对应 的特征向量 即 则 又存在 由于 所以 即 证毕 线性定常连续系统稳定性判据 线性定常连续系统在平衡状态xe 0全局渐进稳定的充要条件 对于任意给定的正定实对称矩阵Q 若存在正定的实对称矩阵P 满足李雅普诺夫方程 则可取为 为系统的李雅普诺夫函数 欲使系统在原点渐进稳定 则要求必须为负定 则 要求 为正定的 判据应用注意事项 1 判别过程 判据应用注意事项 2 Q的选取 尽量简单 常取Q I 3 若沿任一轨迹不恒等于零 那么Q可取半正定 4 上述判据所确定的条件与矩阵A的特征值具有负实部的条件等价 因而判据是充要条件 李雅普诺夫方法判别线性系统稳定性示例 1 已知系统状态方程如下 试分析系统平衡点的稳定性 解 设 Q I 带入李雅普诺夫方程 将上式展开 对应元素相等 解得 根据希尔维斯特判据 P是正定的 因而系统的平衡点是大范围渐进稳定 李雅普诺夫方法判别线性系统稳定性示例 2 已知系统状态方程如下 试确定系统增益K的稳定范围 解因detA 0 故原点是系统唯一的平衡状态 为了说明Q选取的正确 需要证明沿任意轨迹应不恒等于零 显然的条件是 此时 这表明只有在平衡状态 才能保证 而沿任一轨线不会恒等于零 取半正定的实对称矩阵Q为 求解李雅普诺夫方程 解得 为使P为正定矩阵的充要条件是 12 2K 0和K 0即0 K 6 综合上述 当0 K 6系统在平衡状态原点大范围渐进稳定 4 5李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用 4 5 1雅可比 Jacobian 矩阵法 克拉索夫斯基 Krasovski 法 设非线性系统的状态方程为式中 x为n维状态矢量 f为与x同维的非线性矢量函数 假设原点xe 0是平衡状态 f x 对可微 系统的雅可比矩阵为 第一法如何判断非线性系统的稳定性 则系统在原点渐进稳定的充要条件是 对于任意正定实对称阵P 使下列矩阵 为正定的 并且 是系统的一个李雅普诺夫函数 如果当时 还有 则系统在xe 0是大范围渐进稳定 证明 选取二次型函数 为李雅普诺夫函数 其中P为对称正定矩阵 因而正定 考虑到是x的显函数 不是时间t的显函数 因而有下列关系 将沿状态轨迹对t求全导 可得 上式表明 要使系统渐进稳定 必须是负定的 因此必须是正定的 若时 则系统在原点是大范围渐进稳定的 推论对于线性定常系统 若矩阵A非奇异 且矩阵 AT A 为负定 则系统的平衡状态xe 0是大范围渐进稳定的 李雅普诺夫方法判别非线性系统稳定性示例 设系统的状态方程如下 用克拉索夫斯基法分析xe 0出的稳定性 解 计算雅可比矩阵 取P I 得根据希尔维斯特判据 有表明对于x 0 Q x 是正定的 平衡状态是稳定的 此外 当时 因此 系统的平衡状态xe 0为大范围渐进稳定 1 取Q I 2 令对称矩阵 3 将Q P带入李雅普诺夫方程 4 解得 P的特征值为1 12 10 55 75 33P正定 课堂练习 第二法判断线性系统的稳定性 1 1 取Q I 2 令对称矩阵 3 将Q P带入李雅普诺夫方程 4 解得a 1 5b 1c 0 5 5 判断P是否正定 课堂练习 第二法判断线性系统的稳定性 2 a 特征值b 各阶顺序主子式 特征方程 1 取Q I 2 令对称矩阵 3 将Q P带入李雅普诺夫方程 4 解得a