低阶群的结构.doc

近世代数基础团队学习小论文2015届论文题目：低阶群的结构组 长 朱陈胤 团队成员 朱家彬、章媛、赵慧院 系 数理信息学院 专业班级 数学与应用数学152 指导教师 尹幼齐完成日期2016.11.13低阶群的结构摘 要本文主要利用群的三个基本同构定理，Sylow定理和同余的关系对低阶群的结构进行分析。根据低阶群的基本性质可知，阶为素数的群一定是循环群。此外，低阶群可推出高阶群的结构，利用素数的幂方和倍数来讨论问题。由于群的概念太过宽泛，低阶群的定义较广，故本文只讨论到20阶群的性质，其它低阶群的性质可同理推出。关键词：群的基本同构定理；Sylow定理；同余；目录目录3引言12阶数不超过20的群的个数和种类23（p为素数）阶群的结构23.1 p阶群必为循环群，只有一种类型。23.2 阶群必为交换群，有两种类型：23.2.1 G433.2.2 G933.3 阶非交换群（分p=2和p2），有下列情形：33.3.1 G8 8阶群的结构共5种。44. 2p（p为素数）阶群的结构54.1G654.2 G1064.4 G1465. 阶为特殊值时群的结构75.1 1阶群的结构75.2 12阶群的结构75.3 15阶群的结构75.4 16阶群的结构75.5 18阶群的结构75.6 20阶群的结构85.7 21阶群的结构96 参考文献9引言群是近世代数的一个重要内容，而其中低阶群的结构就研究群的整体来说有极为重要的意义。许多抽象群或高阶群均可利用低阶群的结构推导出来。在社会不断进步的同时，群也在不断地发展、不断地完善。直至现在，还有很多人致力于矩阵的研究。本次课题的主要研究内容为归纳、总结群论在实际生活等领域的应用。通过本次课外团队学习的研究，使我们对群有了更深一步的了解，如知道了很多有关于群的发展史及其存在方式的多样性。研究群让我们的思维变得更加灵活，面对抽象的问题能更好的从容应对，它的神奇足以给我们以学好近世代数莫大的鼓励和支持。1 若干定义及定理的准备定义1.1 我们说一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说做成一个群满足一下条件：（a） G对于乘法来说是闭的（b） 结合律成立，即(ab)c=a(bc)对于G中的任意三个a b c（c） G里至少存在一个左单位元e，使得ea=a对于G的任意元都成立（d） 对于G的每一个元a在G里至少存在一个左逆元，能让定义1.2 若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群，并用G=(a)表示，a叫生成元。定义1.3 若在G和间对运算o和o来说存在一个同构映射，我们说对于代数运算o和o来说G和同构并用符号GG来表示.定理1.4 有限阶群中元的阶是群的阶的因数.定理1.5 群G中阶大于2的元素必成对出现.定理1.6 若群G的阶为s，则群G中阶等于2的元素个数t于s的奇偶性相反，偶数阶群中t0定理1.7 Sylow定理：设G是群且G=且p是素数，p不整除m，则称G的阶子群为G的一个Sylow p-子群，则有以下条件满足1） G有（）阶子群；2） G的每个（）阶子群必包含在G的某个阶子群内，且前者是后者的正规子群；3） G的所有Sylow p-子群恰是G的共轭子群类，且若其个数为K，则|K|G|,K1(modp)定理1.8 群的第一基本同构定理：设A和B是两个群的结构，f是A到B的态射，则A等价关系：ab当且仅当f(a)=f(b)是A上的一个同余类，并且A/同构于f的像（B的子代数）。定理1.9 群的第二基本同构定理：设B是A的子代数，是A上的同余类。令B是所有包含B种元素的同余类的集合，它是A/的一个子集；B是限制在 B x B上的部分。那么B是A/的子代数结构，B是B上的同余类，并且B同构于B/B。定理1.10 群的第三基本同构定理：设A是一个代数结构，和是A上的两个同余关系，包含于。则定义了A/上的一个同余类：ab当且仅当a与b关于 同余（a表示a所在的-等价类），并且A/同构于(A/)/。2阶数不超过20的群的个数和种类从1到20的阶的不同的群的个数（群的个数按同构意义来分）以下表给出：阶数1234567891011121314151617181920群数1112121522151211415153（p为素数）阶群的结构3.1 p阶群必为循环群，只有一种类型。3.1.1 G2G=0,13.1.2 G3G=0,1,23.1.3 G5G=0,1,2,3,43.1.4 G7G=0,1,2,3,4,5,63.1.5 G11G=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,103.1.6 G13即模13的剩余类加群3.1.7 G17即模17的剩余类加群3.1.8 G19即模19的剩余类加群3.2 阶群必为交换群，有两种类型：（1）G=,=e（循环群）；（2）G=,=e=a,b;，即，G由a和b生成。G=,(初等交换群)。3.2.1 G4G的元的阶只能是1，2或4.（1）G1=.若G有一个元d阶为4，则G=（d）是一个循环群，且G与G1同构。（2）S4的子群klein四元群G2=（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）若G没有阶为4的元，则除单位元e外，G的其它3个元的阶都是2，则有G=(e,a,b,c) 则abG，下证，ab=c.若ab=e，则ab=和b=a，这不可能。若ab=a，则b=e，也不可能。若ab=不，则a=e，也不可能。那么，可能的只有ab=c。同理可证ab=ba=c，bc=cb=a，ca=ac=b 比较G和G2的代数运算，易见G和G2同构。3.2.2 G9（1）同构于9阶循环群，即模9的剩余类加群。由a=1生产。（2）同构于置换群（1），（123），（132），（456），（465），（123）（456），（123）（465），（132）（456），（132）（465）证明同四阶群。3.3 阶非交换群（分p=2和p2），有下列情形：p=2时，有两种类型：（1） G=,(两面体群)；（2） G=,(四元数群)。p2时，有两种类型：（1） G=,；（2） G=,。3.3.1 G8 8阶群的结构共5种。 G中有8阶元素，则G和同构 G中没有8阶元素，则含有2阶和4阶元素。又因为在一个有限群中阶为2的元素必为奇数，所以二阶元的个数只能是1各或者3个。1） 二阶元的个数为1时，必存在1个四阶元。则设a=（1234），b=（56），此时为交换群，则有，分别带入计算则可得其值。2） 二阶元的个数为3时，有一个交换群和一个非交换群（1） 为交换群时，令a=（12），b=（34），c=（56），则有，带入计算即得值。（2） 为非交换群时，即四元数群, 同构与正方形所代表的二面体群。正方形ABCD的对称群即二面体群的元素为8个，从几何的角度可以表示为4个旋转，4个反射。若将顶点A,B,C,D依次编号为1,2,3,4则的8个元素的可以用置换表示。沿中心旋转2,;沿中心逆时针旋转90，沿中心逆时针旋转180，;沿中心逆时针旋转270，沿AD对称轴反射，；沿AC对称轴反射，沿AB对称轴反射，；沿BD对称轴反射，综上所述，八阶群的结构共以下五种。 （1）同构于8阶循环群即模8的剩余类加群； （2）同构于正方形所代表的二面体群；（3） 同构于四元数群：G=,a4=1,a2=b2,b-1ab=a3（4） 同构于置换群（1），（1234），（13）（24），（1432），（56），（1234）（56），（13）（24）（56），（1432）（56）；（5） 同构于置换群（1），（12），（34），（56），（12）（34），（12）（56），（34）（56），（12）（34）（56）。其中（1）、（4）、（5）为交换群，（2）、（3）为非交换群。4. 2p（p为素数）阶群的结构设群G的阶为2p，由sylow定理知，存在p阶元a和2阶元b，则G=,且G.设，则有（1）时，所以G=,(循环群)；（2）时，。当取p=3、5、7时就得到6、10、14阶群的结构。4.1G6（1） G为6阶循环群（2） c为2阶，a为3阶G为3次对称群S3，是最小的非交换群，起运算表如下：eaa2ccaca2eeaa2ccaca2aaa2eca2ccaa2a2eacaca2ccccaca2eaa2cacaca2ca2eaca2ca2ccaaa2e4.2 G10在10元群中有一种群是循环群，即G1=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9另外一种为与（25）（34），（12345）同构的群; G2=(1),(25)(34),(12345),(12)(35),(13)(45),(14)(23),(15)(24),(13524)(14253),(15432)G2有4个5阶元，5个2阶元和单位元构成，那么10元群除与这两种同构的群外，是否还有其他群存在呢？下面我们用群的性质来研究，10 元群的阶只能是1,2,5,10，可以证明当10元群中有一个10阶元时它必为循环群G,G2有4个5阶元，5个2阶元和单位元构成，从元上考虑，若还有10元群存在，则满足如下条件；a)有唯一的单位元b)阶为2的元的个数为奇数c)阶大于2的元的个数为偶数，从此考虑其他10元群存在有如下4种情况（1）G1=e,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9e=(ai)2(i=1,2,3,4,5,6,7,8,9)即G1是由单位元和9个2阶元。由2.5知2阶元是可以交换的，不妨令ab=ba=c(显然ab=e,ab=b,ab=a都不可能)由此可得ac=ca,bc=cb=a那么令G=e,a,b,c是4元群，它是G1一个子群，这与拉格朗日定理矛盾故G1不构成群。（2）G2=e,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9e=a12=aj5=e(j=2,3,4,5,6,7,8,9)即是G2由单位元，1个2阶元，8个5阶元构成；（3）G3=e,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9e=a12=a22=a32=aj5 (j=2,3,4,5,6,7,8,9)即G3是由单位元，3个2阶元，6个5阶元构成;（4) G4=e,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9e=aj2=a85=a95 (j=2,3,4,5,6,7)即G4是由单位元，7个2阶元，2个5阶元构成. 先证G2不构成群，a,bG2，且a5=b5=e,ab且则令H=(a),K=(b),由HK=HKHK=25HK可知HK=5即H=K同时a=a2=a3=a4=a5=55阶元只能有4个故G2不构成群，同理G3,G4也不构成群可见10元群只有如上两种类型，证毕。4.4 G14（1）同构于14阶循环群。（2）同构于7次对称群S7=e，c，c2，c3，c4，c5，c6，a，ca，c2a，c3a，c4a，c5a，c6a5. 阶为特殊值时群的结构5.1 1阶群的结构G=e，G上的二元运算为ee=e5.2 12阶群的结构（1）同构于12阶循环群，即模12的剩余类加群。（2）同构于六边形所代表的二面体群。（3）同构于4阶交错群。（4）同构于置换群（1），（123），（132），（45），（123）（45），（132）（45），（67），（123）（67），（132）（67），（45）（67）,(123)(45)(67),(132)(45)(67)。（5）同构于置换群（1），（123456），（789ABC），（135）（246）（79B）（8AC），（14）（25）（36）（7A）（8B）（9C），（153）（264）（7B9）（8CA），（165432）（7CBA98），（174A）（2C59）（3B68），（184B）（275A）（3C69），（194C）（285B）（376A），（1A47）（295C）（386B），（1B48）（2A57）（3C69），（1C49）（2B58）（3A67）其中A表示10，B表示11，C表示12.5.3 15阶群的结构设群G的阶为15，由sylow定理知，存在5阶元a和3阶元b，则G=,且G。设，所以，所以G=,。5.4 16阶群的结构16阶的群共有14个，其中有5个交换群和9个非交换群5.5 18阶群的结构G=18, G有五种不同类型的群 设A为18阶的Abel群，则。由Sylow定理可以确定A的Sylow子群阶数分别是：和。从而得到A的初等因子有（2,3,3）和（2,9）。所以18阶Abel群有两个：和。（2,3,3）化为不变因子是（3,6），所以。（2,9）化为不变因子是（18），所以。从而确定互不同构的18阶Abel群有两个：和。这两种群都是交换群; ；即(3) G=（123456789），（19）（28）（37）（46）(4) G=（123）（456），（12）（45） (5) G=（1），（123），（123），（1），（12），（1） 这三种群都是非交换群5.6 20阶群的结构G=20, G有五种不同类型的群 设B为20阶的Abel群，则，由Sylow定理可以确定B的Sylow子群阶数分别是：和。从而得到B的初等因子有（2,2,5）和（4,5），所以20阶Abel群有两个：和。（2,2,5）化为不变因子是（2,1