2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)同角三角函数的基本关系与诱导公式(含解析).doc

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式知识能否忆起1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21(R)(2)商数关系：tan .2六组诱导公式角函数2k(kZ)正弦sin_sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_对于角“”(kZ)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号”小题能否全取1sin 585的值为()AB.C D.解析：选Asin 585sin(360225)sin 225sin(18045)sin 45.2(教材习题改编)已知sin()cos(2)，|，则等于()A BC. D.解析：选Dsin()cos(2)，sin cos ，tan .|，.3已知tan 2，则()A2 B2C0 D.解析：选B原式2.4(教材习题改编)如果sin(A)，那么cos的值是_解析：sin(A)，sin A.cossin A.答案：5已知是第二象限角，tan ，则cos _.解析：由题意知cos 0，又sin2cos21，tan .cos .答案：应用诱导公式时应注意的问题 (1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号脱周期化锐角特别注意函数名称和符号的确定 (2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号 (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化同角三角函数的基本关系式典题导入例1(1)(2012江西高考)若tan 4，则sin 2()A.B.C. D.(2)已知sin(3)2sin，则_.自主解答(1)tan 4，4，4，即4，sin 2.(2)法一：由sin(3)2sin得tan 2.原式.法二：由已知得sin 2cos .原式.答案(1)D(2)在(2)的条件下，sin2sin 2_.解析：原式sin22sin cos .答案：由题悟法1利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化2应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二(参阅本节题型技法点拨)3注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.以题试法1(1)(2012长沙模拟)若角的终边落在第三象限，则的值为()A3 B3C1 D1(2)已知sin 2sin ，tan 3tan ，则cos _.解析：(1)由角的终边落在第三象限得sin 0，cos 0，故原式123.(2)sin 2sin ，tan 3tan ，sin24sin2，tan29tan2，由得：9cos24cos2，得：sin29cos24，cos2sin21，cos2，即cos .答案：(1)B(2)三角函数的诱导公式典题导入例2(1)_.(2)已知A(kZ)，则A的值构成的集合是()A1，1,2，2B1,1C2，2 D1，1,0,2，2自主解答(1)原式 1.(2)当k为偶数时，A2；k为奇数时，A2.答案(1)1(2)C由题悟法利用诱导公式化简求值时的原则(1)“负化正”，运用的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数(2)“大化小”，利用k360(kZ)的诱导公式将大于360的角的三角函数化为0到360的三角函数(3)“小化锐”，将大于90的角化为0到90的角的三角函数(4)“锐求值”，得到0到90的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得以题试法2(1)(2012滨州模拟)sin 600tan 240的值等于()AB.C. D.(2)已知f(x)asin(x)bcos(x)，其中，a，b均为非零实数，若f(2 012)1，则f(2 013)等于_解析：(1)sin 600tan 240sin(720120)tan(18060)sin 120tan 60.(2)由诱导公式知f(2 012)asin bcos 1，f(2 013)asin()bcos()(asin bcos )1.答案：(1)B(2)1诱导公式在三角形中的应用典题导入例3在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos (B)，求ABC的三个内角自主解答由已知得sin Asin B，cos Acos B两式平方相加得2cos2A1，即cos A或cos A.(1)当cos A时，cos B，又角A、B是三角形的内角，A，B，C(AB).(2)当cos A时，cos B，又角A、B是三角形的内角，A，B，不合题意综上知，A，B，C.由题悟法1诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：ABC,2A2B22C，等，于是可得sin(AB)sin C，cossin 等；2求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小以题试法3在三角形ABC中，(1)求证：cos2cos21；(2)若cossintan (C)0，求证：三角形ABC为钝角三角形证明：(1)在ABC中，ABC，则，所以coscossin，故cos2cos21.(2)若cossintan (C)0，则(sin A)(cos B)tan C0，即sin Acos Btan C0，在ABC中，0A，0B，0C0，或B为钝角或C为钝角，故ABC为钝角三角形1已知sin()0，则下列不等关系中必定成立的是()Asin 0Bsin 0，cos 0，cos 0 Dsin 0，cos 0解析：选Bsin()0，sin 0.cos()0，cos 0.cos 0，所以sin cos .5已知cos，且|，则tan ()A B.C D.解析：选Dcossin ，又|，则cos ，所以tan .6已知2tan sin 3，0，则sin ()A. BC. D解析：选B由2tan sin 3得，3，即2cos23cos 20，又0，解得cos (cos 2舍去)，故sin .7cossin的值是_解析：原式cossin cossin.答案： 8若2，则sin(5)sin_.解析：由2，得sin cos 2(sin cos )，两边平方得：12sin cos 4(12sin cos )，故sin cos ，sin(5)sinsin cos .答案：9(2013中山模拟)已知cos，则sin_.解析：sinsinsincos.答案：10求值：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)tan 945.解：原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020(sin 1 050)tan 945sin 120cos 210cos 300(sin 330)tan 225(sin 60)(cos 30)cos 60sin 30tan 4512.11已知cos()，且是第四象限角，计算：(1)sin(2)；(2)(nZ)解：cos()，cos ，cos .又是第四象限角，sin .(1)sin(2)sin 2()sin()sin ；(2)4.12(2012信阳模拟)已知角的终边经过点P.(1)求sin 的值；(2)求的值解：(1)|OP|1，点P在单位圆上由正弦函数的定义得sin .(2)原式，由余弦函数的定义得cos .故所求式子的值为.1已知，那么的值是()A. BC2 D2解析：选A由于1，故.2若角的终边上有一点P(4，a)，且sin cos ，则a的值为()A4 B4C4或 D.解析：选C依题意可知角的终边在第三象限，点P(4，a)在其终边上且sin cos 易得tan 或，则a4或.3已知A、B、C是三角形的内角，sin A，cos A是方程x2x2a0的两根(1)求角A；(2)若3，求tan B.解：(1)由已知可得，sin Acos A1.又sin2Acos2A1，所以sin2A(sin A1)21，即4sin2A2sin A0，得sin A0(舍去)或sin A，则A或，将A或代入知A时不成立，故A.(2)由3，得sin2Bsin Bcos B2cos2B0，cos B0，tan2Btan B20，tan B2或tan B1.tan B1使cos2Bsin2B0，舍去，故tan B2.1已知sinm，则cos等于()Am BmC. D解析：选Asinm，cossinm.2求证：sin (1tan )cos .证明：左边sin cos sin cos 右边3