数理方程ppt2.ppt

1 Email yc517922 数理方程与特殊函数 任课教师 杨春 应用数学学院 2 波动方程及其定解条件 一 物理规律与波动方程的建立 第二章定解问题与偏微分方程理论 本次课主要内容 二 定解条件 3 一 波动方程及其定解条件 一 物理规律与波动方程 第二章定解问题与偏微分方程理论 1 什么叫物理规律 某物理量在空间和时间中的变化规律 它反映同一类物理现象的共同规律 若物理量仅随时间变化 其数学表达式为常微分方程 若与时空均有关 则为偏微分方程 4 常用物理规律 一 1 牛顿第二定律 2 虎克定律 5 对虎克定律的说明 公式中P称为协强或应力 它表示弹性物体单位截面所受作用力 P F S 公式中ux表示伸长率 称为协变 Y表示杨氏弹性模量 等于协强比协变 杨氏弹性模量由材料决定 6 常用物理规律 一 3 克希荷夫定律 1 节点电流定律 2 回路电压定律 7 2 波动方程 如何建立偏微分方程 1 明确物理过程与研究对象 待研究物理量 2 进行微元分析 分析微元和相邻部分的相互作用 根据物理定律用算式表达这种作用 3 化简 整理算式 8 例1 均匀细弦微小横振动问题 一根均匀柔软的细弦线 一端固定在坐标原点 另一端沿x轴拉紧固定在x轴上的L处 受到扰动 开始沿x轴 平衡位置 上下作微小横振动 细弦线上各点运动方向垂直于x轴 试建立细弦线上任意点位移函数u x t 所满足的规律 9 分析 1 研究对象 u x t 2 微元分析 在时刻t 取弦微元ds 其对应区间为 x x dx 分析微元和相邻部分的相互作用 根据物理定律用算式表达这种作用 10 设细弦线各点线密度为 细弦线质点之间相互作用力为张力T x t 水平合力为零 T2cos 2 T1cos 1 0T2 T1 T 铅直合力 F maT sin 1 sin 2 dsutt T tan 1 tan 2 dsutt 11 utt a2uxx 其中 一维齐次波动方程 utt a2uxx 考虑有恒外力密度F x t 作用时 可以得到一维波动方程的非齐次形式utt a2uxx f x t T ux x dx t ux x t dsutt Tuxx x vdx t dsutt f x t F x t g 12 例2 细杆的纵向振动问题 设均匀细杆长为L 线密度为 杨氏模量为Y 杆的一端固定在坐标原点 细杆受到沿杆长方向的扰动 沿x轴方向的振动 试建立杆上质点位移函数u x t 的纵向振动方程 13 由牛顿第二定律SY ux x dx t ux x t Sdxutt 令a2 Y 化简 得utt a2uxx 14 例3长为l密度为 的均匀柔软细绳在x 0端固定 在重力作用下 垂直悬挂 横向拉它一下作微小横振动 写出振动方程 15 取微元 x x dx 竖直方向 水平方向 对于 1 1与 2很小 于是得 16 即 在x 0处张力等于 gl 于是得 对于 2 1与 2很小 于是得 由有限增量公式得 17 例4 高频传输方程 考虑双线传输线 把单位传输线所具有的导线电阻 线间电压 电容以及电感分别记作R g c和L 建立电压u x t 和电流强度i x t 所满足的微分方程 分析 传输线上电阻 电感 线间电容 电导考虑为均匀分布 于是可画出微元等效电路图 18 由克希荷夫定律得 由有限增量公式得 19 20 二 具体物理过程描述 定解条件 首先指出 具体物理系统所处物理状况除受一般物理规律支配外 还受系统所处的 环境 和系统的 历史状况 的影响 系统所处的 环境 状况 边界条件 系统的 历史 状况 初值条件 求解一个具体物理问题 都要考虑定解条件 21 II 第二类边界条件 III 第三类边界条件 I 第一类边界条件 1 三类边界条件 22 例5细杆在x 0处固定 在x L端受外力F t 的作用 作微小纵振动 写出其边界条件 分析 环境影响通过的边界为 x 0与x L 显然 u 0 t 0 用微元法分析边界X L的状况 23 如何写出三类边界条件 1 明确环境影响通过的所有边界 2 分析边界所处的物理状况 3 利用物理规律写出表达边界状况的表达式 24 例6长为L的均匀杆两端受到拉力F的作用而振动 写出边界条件 分析 环境影响通过的边界是x 0与x L 杆的两端所受的拉力F等于两端面所受的杨氏弹性力 25 26 注意 在例5 6中 如果端面自由 则 例7长为L的均匀杆 一端固定在车壁上 另一端自由 车子以速度v行驶突然停止 写出边界条件 27 2 初始条件 初始条件是系统在t 0时的状态 初始条件的个数等于微分方程的阶数 例1 一根长为L 两端固定的弦 用手 把它的中点横向拉开距离h 然后松手让 其自由振动 写出其初始条件 28 例8 一根长为L 线密度为 两端固定 的弦 在中点受到冲量I的作用开始振动 写出其初始条件