主题互动1--10.doc

主题互动之一 -关于回顾与思考主题互动之二 -关于课题学习主题互动之三 -关于概率主题互动之四 -关于问题情境主题互动之五 -关于大数主题互动之六 -关于数及其运算主题互动之七 -关于符号感主题互动之八 -关于方程学习的重点主题互动之九 -关于统计与概率的教学目标主题互动之十 -关于证明的要求和思考主题互动之一-关于回顾与思考 1设立“回顾与思考”的意图何在？ 帮助学生梳理本章所学知识,建立一定的知识体系；整理本章重要的思想方法，揭示一些需要注意的问题，提高学生的问题解决能力；了解学生的学习状况，以适时地调整教学。 2回顾与思考的教学应采用何种形式？ 回顾与思考的教学形式是多样的，教学中可以根据学生的特点和内容特征灵活选用，不宜千篇一律地使用同一种教学形式。如，可以像教科书设计的那样，以问题的形式帮助学生梳理知识体系。教学时可以首先鼓励学生独立思考，自己回顾所学的内容，并尝试回答教科书中提出的问题；然后开展小组交流和全班交流，使学生在反思与交流的过程中逐渐建立知识体系。课后，教师可以要求学生独立完成一份小结，用自己的语言梳理本章内容，并回顾自己在本章学习中的收获、困难和需要改进的地方。当然，一般而言，知识梳理离不开具体的例习题的巩固。因此，可以边梳理知识体系边进行有关的练习、讲评等活动，达到及时巩固之效；也可以先梳理后进行有关练习、讲评活动；还可以先提供一些层次渐进的练习，在练习的讲评活动中梳理知识体系。 3如何让小组合作走进复习课堂？ 新课程关注学生学习方式的转变，倡导“自主探究 合作交流”的学习方式，那么如何有效地将小组合作引入复习课呢？这是一个值得我们探索、研究的问题，下面这篇文章也许可以给我们一些启示。让学生在探究、合作与交流中进行数学复习 一节二元一次方程组复习课 “自主探究、合作交流”是新课程所倡导的学习方式。那么，数学复习课怎样运用这一学习方式，其效果如何呢？我带着这个问题，于2005年进行了一次复习课的教学研究活动（授课教师：），取得了很好的 教学效果。下面是该节课的实录和点评，供大家共同研究。 师：同学们，今天一起复习研究二元一次方程组及其解法这一章的内容。昨天我已经请大家把二元一次方程组这部分知识进行了归类、整理。现在请一位同学展示一下自己的知识归类整理的情况，哪一位先来？ 评：这里教师是要求学生展示自己的成果，而不是要求学生回答教师提出的问题，把学生真正作为学习的主体来对待，充分发挥了学生的主体作用。 生1（白凤友）：我是按教材的编写顺序整理的（展示台展示）（略）。 生2（邹巧）：我是从二元一次方程的整体结构进行整理的，我分为四部分： （3）二元一次方程组与一次函数之间的关系:一个二元一次方程的图象是一条直线。因此，二元一次方程组解的情况就可由平面上方程组对应的两条直线的位置关系确定。两条直线平行时方程组无解；两条直线相交时方程组有一个解；两条直线重合时，方程组有无穷多组解。反过来也成立。 （4）二元一次方程组的应用：求待定字母的值（例：略）；解应用问题（例：略）等。 师：两位同学从不同的角度对本章知识进行了归类整理，都很不错。但比较而言，你们更喜欢哪位同学的？ 生众：邹巧同学（生2）！ 师：第一位同学是按教材的顺序进行整理，这对于初学整理的同学也是一种常用的方法，但是第二位同学的整理把握住了这章知识的整体结构，她对每一种情况还举例给予了说明，理解得更加深刻。两位同学都不错!大家以后再进行整理总结时要向她们学习。这里，我也对这一章的知识进行了归纳整理，现在大家可以看一看（多媒体展示，结果与同学的比较，还不如第二位同学的好）。同学们可以看出，老师整理的还不如你们整理的好，同学们比老师还聪明。其实只要大家勤于思考，多动脑、动手，一定会有重要的发现和收获的。 评：先由学生自己对该部分知识进行归纳总结，在课堂上展示后再通过师生的共同评价修正，从而帮助学生建立整体性的认知框架，完善认知结构；同时，学生的主动性和积极性得到了充分的发挥，比只由教师讲解学得主动、理解深刻。 心理的安全和自由是学生创造性思维的必要条件。教师以一个参与者的身份积极参与交流与评价，并勇于承认自己的不足，使学生感到教师对他们敞开了心怀，可亲可敬，从而使学生获得了一种心理的安全和自由，为学生大胆地探索、积极交流，营造了宽松的心理环境和民主、平等、和谐的课堂环境。 师：现在我们来看下面的一个例子： 大家先尽量用多种解法自己求解，然后在学习小组内交流，比较哪种解法好，最后各组推出最好的解法在全班交流。 评：利用小组学习的形式，给每个学生提供更多合作交流的机会，使面向全体得到了真正的落实。 （学生解题，小组内交流、讨论，教师巡视、指导） 师：我看大家都已得出了该题的解答，有些组的解法老师都没想到，现在请各组展示你们的优秀成果。在展示时要求要与别人的解法不相同。 生3（一组）：我们是先用去分母把方程组化简整理后用加减消元法求得解答的。 生4（三组）：我们在化简整理后用的是代入消元法求得解答的。 生5（四组）：我们用的是换元法。令x+y=m, x-y=n,然后求解。 师：太棒了！还有没有其他解法？ （学生都积极进入思考） 生7（三组）：把原方程组化简后用图象法解。 生8（四组）：换元后用图象法解。 评：生8的发言显然是受到了生7的启发。在相互交流、讨论过程中，学生的思想在碰撞，思维的灵感、创新的火花不断显现。 师：同学的发言很好，把老师想要讲的都说了。现在大家对四个组得出的四种不同解法进行一个评价，看哪个组的解法最好。 评：把评价纳入学生的学习过程之中，用评价来激发学生的学习兴趣，从而使评价成为促进学生主动学习的一部分。同时通过对几种不同解法优劣的比较和鉴别，可培养学生思维的批判性和养成解题后反思的良好习惯。 生9（五组）：我认为，一组和三组的解法很好，因为，这是解二元一次方程组的常用方法。我们组也都是用的这两种解法。 生10（六组）：我认为，四组的解法更好。虽然一组和三组的解法是常用的解法，但计算较繁。四组的解法通过换元，使形式更简单了，便于计算，且不易出错。 生11（一组）：虽然换元后形式要简单一些，但要解两次方程组，增加了解方程组的次数，并不一定就简单！ 生6：我认为，我们组的解法最简单、最好。我们在解该题时，根据该题的特点，利用了换元的想法但没有换元，而是把看成一个整体进行求解，整个解的过程基本上没有动笔就得出了答案，并且不易出错。 生5：我也认为二组的解法比我们组的好。 生11:我赞同生6的意见。我还想说一点。本题除了最好的解法以外，我认为，本题用图象法解是最不好的解法。因为，当你画好图象时，我已经解出答案了。用图象法解，不但费时，而且由于画的图象不准确，得出的解还只是一个近似解而不是准确值。 评：教师原先的设计只是想通过比较评出最优秀的解法，而学生不但评出了最优解法，而且对每种解法的优劣还进行了相互比较评价，完全超出了教师的设想。实际上学生的评价才是全面、公正和最有价值的。在许多时候，学生的智慧往往要超过教师！ 师：同学们分析得很好。通过比较、分析，大家是否都认为第二组的解法最好？ 生众：第二组的解法最好！ 师：我赞同大家的意见。其实，各组的解法有各自的特点，他们分别是从不同的角度进行的。第二组同学的解法是在认真审题、仔细观察题目特征的基础上，运用了两种数学思想方法从而快速、准确地得出了问题的解答。这两种数学思想方法是“换元的思想”和“整体的思想”。第二组同学的解答给我们一个很好的启示：在解题时，一定要认真审题，仔细观察题目的特征，灵活选用解题的方法，并恰当地运用数学思想方法来指导解题，可提高我们的解题效率。若长期这样进行下去，可形成良好的数学思维策略，提高解题能力。 评：数学思想方法是数学的精髓和灵魂，是数学知识在更高层次上的抽象和概括。利用数学思想方法来指导数学学习和解题，往往能提高学生的数学学习效率，达到事半功倍的效果。但数学思想方法不是游离于数学知识之外的，而是渗透在数学知识的发生、发展和运用的过程之中的。这就要求教师要有目的地及时总结提炼，将数学思想方法的学习有机地融入学生的数学学习过程之中。这里，教师把自己置于一个参与者的身份，参与学生的讨论，并将学生讨论中出现的数学思想方法及时地进行总结提炼，使学生认识到数学思想方法在数学学习中的重要价值和作用，从而将数学思想方法的学习有机地渗透其中，使整个讨论和学生的认识上升到一个新的高度。师：刚才方程组的解为。现在我们反过来思考：解为的方程组，除例1外还有哪些？你们能否自己编一道用到例1的方程组来解的数学问题？看谁编的问题新颖、独特，形式多样。 评：教师是学生学习活动的组织者和引导者，此处教师从反面提出问题，引导学生再次投入到新的探索活动中去。 （学生积极地思考、探究；教师在班级巡回指导，时而作为顾问回答学生提出的问题，时而给予学生必要的指导，时而参与学生的讨论、交流。） 生12：何老师，我认为解为 的方程组除例1外还有: 师：是否只有这两个方程组？ 生12：不是，还有很多个？ 生13：已知 . 师：她是利用非负数的性质以填空题的形式编制的习题，很好！（把题写在黑板上）还有其它形式的吗？ 生14：有！我编了一道求值题： 已知： 师：好！这位同学是把同类项的概念与解方程组融为一体编制的，很有新意（把题写在黑板上）。 生15：我编制了一道选择题：下列方程组中，解为 的方程组是（ ） 的解都为 。如果有，请求出的m、n值，如果没有请说明理由。师：他出的是一道探索性问题，很有创意。（掌声）这种题型是近几年中考试题中经常遇到的，它对考察同学们的探究能力十分有利，因此，大家要注意这种题型的解法和作用。（把题写在黑板上） 以上大家都是着眼于解为 而编制的习题，有谁编制的习题需要用例1的方程组来求解的？请上黑板板书、讲解。 生6：有！我编了一道文字题。（上黑板板书习题） 有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字和的一半加上十位上的数字与个位上的数字差的 1/3 等于7；它十位上的数字与个位上的数字和的一半减去十位上的数字与个位上的数字差的 1/2 等于3。求这个两位数。 如果分别设十位上的数字为x，个位上的数字为y，得到的方程组就是例1的方程组。所以，这个两位数是82。 生17：我编了一道应用题（上黑板板书习题）: 一个笼子里有一些鸡和鸭。已知鸡的总数和鸭的总数的和的 与鸡的总数和鸭的总数的差的 相差3只；鸡的总数和鸭的总数的和的 与鸡的总数和鸭的总数的差的 一共刚好7只，问：这个笼子里的鸡和鸭各有多少只？ 生18：我所编的题不是利用例1的方程组来解，但仍然是用二元一次方程组来解的。（上黑板板书习题）: 有一个运输队承包了一家公司运送货物的业务。第一次运送18吨，派了一辆大卡车和5辆小卡车；第二次运送30吨，派了一辆大卡车和11辆小卡车，并且两次所派的车都刚好装满。问：两种车型的载重量各是多少？ 师：这位同学没有局限于我们提出的问题，而是作了进一步的拓展。思路开阔，并且所编的问题，语言表述清楚，思维严谨，很不错！（掌声） 生：何老师，我还有！我还有！ 这时，下课铃响了，教师及时地作了总结。许多学生为自己的成果没有得到展示而懊悔不已。 师：同学们今天思路开阔，思维活跃，充分发挥和展示了你们的聪明才智。你们编制的许多问题，老师课前都没有想到，很了不起！我今后还要向同学们学习（评：几句简短的激励性评价语言，把教师置于与学生同等的位置，拉近了师生之间的距离，增进了师生情感；同时，又增强了学生的成就动机，激发了学生学习和探究数学的兴趣与积极性）。由于时间关系，有许多同学的成果还没有得到展示，因此，今天的作业就是每个同学自己编五道形式不同而要用到二元一次方程组来解的习题，编好后写出它的解答过程，看谁编的好。同时总结这一章的主要题型和解题规律、自己在学习这一章时的心得体会或者自己的新发现。 评：这里教师的作业布置，不是随便点几道习题让学生做，而是让学生自己编题、解答和总结，在反思总结中，提高学生的学习效率，促进良好的数学学习习惯和方法的养成。这节课，深深地触动了所有与会教师。课后，我和何老师进行了交流，他说：“这节课完全出于我的想象之外。我原先设计为主要通过教师的讲解和各种题型的练习来复习巩固这一章的知识与技能。上次我听了你的建议后，提出了今天的设计方案。说实话，我当时心中没有底。特别是各种不同题型的编制，我认为学生不可能编得那么全面、深入。而课堂上学生的表现简直让我惊讶。想不到学生的思维那么活跃，能力那么强。他们所编的习题类型不但覆盖了我设计的类型，而且有些还超出了我的思考。学生真是太聪明了！” 随后，我又组织学生进行了座谈。学生的反映更是热烈。且听听他们的心声：“以前的复习课，全由老师讲，我们很多同学听一会儿就分散精力，有一些学生根本就没有听。课后作业许多同学没有认真地独立完成，有一些还抄别人的，一章复习完后许多知识没有真正弄清楚，迷迷糊糊的。”“今天的课，课前老师让我们自己先对这一章进行整理，而且说课堂上要展示，大家都认真地进行了复习整理。除了自己看书上的内容外，我们还翻阅了一些参考资料，与同学进行了讨论。这样老师还没有上课，我们对这一章的知识及相互之间的关系就基本上复习和了解了。课堂上再通过展示大家的整理和教师的讲解，使我们既看到了到自己的不足，又学习到了别人的方法，进一步加深了对这一章知识的理解与掌握，印象十分深刻。特别是让我们自己编题，大家积极性都很高，都在认真地进行。”“当听（看）到别人编得很有新意时，也启发了自己的思路，产生了一些新的想法。”“以前老师布置的各种不同类型的习题，我们只是为了完成作业，从没有认真去想一想它们之间有何联系和规律。今天通过我们自己编制并展示了各种不同的类型，使我们看到了这些不同类型习题的解题规律和相互之间的联系，我们觉得这些题简单多了。”“老师，今后的课都应该这样上，让我们先自己去做一做，再交流，通过交流，可以互相启发，这样我们收获要大得多。” 复习课如何体现新课程的教学理念，改变学生的学习方式，提高复习课的效率，是新课程试验中需要研究的课题。在设计这节课时，我们在明确复习课的目的、任务的前提下，以培养学生能力、促进学生发展为指导思想，遵循复习课教学原则中的系统性原则和主体性原则，以学生的“学”为出发点，将“自主探究、合作交流”的学习方式贯穿于课的始终，并将评价与教师的教和学生的学有机地融为一体。实践证明，复习课中，只要教师转变观念，设计合理，组织得当，恰当地运用评价的激励与促进作用，“自主探究、合作交流”的学习方式可以充分激发和调动学生学习的积极性和主动性，获得理想的复习效果。 4如何关注学生学习的主体性，是否可以将知识的梳理等工作交由学生自主完成？ 相信大家有很多好的做法，下面老师的一些做法与大家分享。 在每一章教学后，老师要求学生对该章知识进行自主的梳理与总结，在证明一、证明二、证明三教学任务完成时，刘老师布置了如下课外作业： （1）每人作初中几何证明的知识总结，内容覆盖证明一、证明二、证明三，并以PPT文件或Word文档的形式于1周内提交，根据作业情况记为平时成绩；1周后，随机抽取4名同学作课堂汇报并答辩，视汇报答辩情况对平时成绩加分或减分，其他同学对汇报提出质疑或作点评，并对平时成绩加分。 （2）你认为初中几何证明中对你最有挑战性的问题是什么问题，提出你的各种解决方案。 （3）初中几何证明中你最喜欢的一个题目是什么？你为什么会喜欢这个题目？ （4）谈谈你学习初中几何证明的感悟与体会。 且听听老师布置作业的意图： （1）脉络分明的知识结构梳理，展现学生对知识与技能的把握, 这有利于教师按照新课程标准的理念实施过程性评价，并及时掌握学生的认知状况，以便调整教学，促进学生进一步发展；学生在梳理知识体系的同时认知的最近发展区得以巩固； （2）最喜欢的一个问题或题目，反馈学生的认知水平与情感态度，让教师获得学生在情感态度与价值观方面的发展评价； （3）最有挑战性的一个问题或题目折射出学生认知发展的前沿所在，帮助教师因材施教，进一步挖掘学生的发展潜力，激发创新思维； （4）学生学习的感悟与体会，构成对教师与教材的多元评价，学生学习的感悟与体会，字里行间反馈对教材的内容组织以及教师教学方法的建议与愿望，是教师改进教学、教材编者改编教材的一个重要参考依据。我们可以从下面学生的作业中思考老师的意图是否达到。初三(1)班王珊珊同学提交的作业（文字未做修改）： （1）初中几何证明知识结构 知识梳理路线 （注：王珊珊同学上交的PPT文件中对上面知识网络图上每一个“结点”都进行了比较详细的拓展，如对于三角形，该生分别就一般三角形全等的判别、特殊三角形的判别与性质、三角形中特殊线（中线、高线、角平分线等）的性质等作了详细的梳理，限于篇幅，这里省略了其具体内容。此外，王珊珊同学还对几何证明的一些方法进行了整理。） 特殊方法归纳 （2）最具挑战性的问题 已知等边ABC和点P,设点P到ABC三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,ABC的高为h，若点P在一边BC上(如图1),此时h30,可得结论:h1+h2+h3=h。 当点P在ABC内（如图2），点P在ABC外（如图3）这两种情况时上述结论是否还成立？若成立，请给予证明，若不成立，h1 ，h2，h3与h之间又有怎样的关系给出猜想，无须证明。 证明：对于图2的情况，过P作BC的平行线（如图4），则由条件得PD+PE+PO=AG。又AMOF，所以 GM=OF，所以PD+PE+PF=AM，即 h1+h2+h3=h。 对于图3的情况，猜想：h1+h2-h3=h 本题是一道信息题，是要你通过给出的结论举一反三得到别的结论，这首先需要读懂题目，而让我很有体会的是这一题有多种解法，且我与答案的方法完全不一样，我通过上图添加辅助线的方法将看似不一样的图形转换成一样的图形，从而直接利用结论，而答案则是通过面积来求的，我个人认为，自己的方法更符合题目要求，因为我更直接的利用了题目中所给的条件，且方法较为简单。这道题本身并不很难，但从中折射出中考又一种新题型确值得重视，而且在多种方法中选择最符合要求、简单的也十分重要，所以我认为它很具有挑战性，挑战我们，也是挑战一种全新的思维模式。（3）最喜欢的题目 如图，矩形ABCD中，ADAB，O为对角线的交点，过O作一直线分别交BC，AD于MN。 （1）求证：梯形ABMN的面积等于梯形CDNM的面积。 （2）如图，当MN满足什么条件时，将矩形ABCD以MN为折痕，翻折后能使C点恰好与A点重合？（无须证明） （3）在（2）的条件下，若翻折后不重叠部分的面积与重叠部分的面积相等，求BM：MC的值。 解答：（1）证明:连接AC，则O为AC的中点在矩形ABCD中，因为 ADBC，所以，NAO=MCO。又AON=COM，OA=OC，所以 AONCOM（AAS），所以 AN=CM。 又 AD=BC,所以 BM=DN.又 AB=CD,所以 S梯形ABMN=1/2(BM+AN)*AB=1/2(ND+MC)*CD = S梯形CDNM （2）MN垂直平分AC。 （3）证明:由AF=CD,AB=CD,得 AB=AF. 所以 BM=DN ,FN=DN， 所以 BM=FN。 又 AFN=CDN=90，所以 RtAFNRtABM.， 所以 SAFN=SABM，又SAMN=SABM+SAFN=2SABM，所以*AN*AB=2*BM*AB，所以 BM:AN=1:2，又 MC=AN，所以 BM:MC=1:2 此题综合考察了证明能力,运用的知识点有全等的判定,梯形面积的计算,等量间的代换,同时还有如何添加辅助线和空间观念,这是一道折纸题,所以我们要对翻折后不变,相等和成特殊关系的量十分清楚,对于重叠部分的关系也要有明确的概念,我十分欣赏这题对于空间观念的考察方式,这不仅可以锻炼我们的思维,而且也可以使我们灵活运用知识,不死背概念,而且本章主要与边角联系,而这道题不仅考察了对矩形性质的了解,而且是从面积入手,十分新颖,最后求的是比值关系。总之,这题考察我们综合应用知识和空间想象能力,是一道将几何与实际联系起来的题目。 （4）感悟与体会 证明一是初中阶段第一次接触证明，此章从全面阐述证明的必要性开始，让我们体会到数学不仅需要直觉更需要严谨的道理论述，要判断一个命题是否正确光靠实验是不够的，还要有理论的基础。从而我们的数学开始从实验数学向论证数学发展。本章中主要学习了线段中平行的性质、判定和重要特殊图形中角之间的关系，线段的平行在特殊四边形中应用广泛，而角之间的关系则为证明（二、三）中三角形、四边形角与角之间的大小转换作铺垫。而本章中体现的公理化方法也是一个很重要的数学思想，它不仅体现在数学领域，包括物理中的力学（阿基米德原理）、天文学甚至是美国独立宣言都深受欧式几何公理体系影响，包括我们生活中的种种标准和规定也运用了这一点，足见数学证明中的抽象方法在现实中的作用。 证明二给我最大的感受是严谨,从中不仅可以学到许多定理,更重要的是学会一种证明的思路和研究路径。（1）通过全等的引入得到等腰三角形的性质和判定,再在等腰三角形的基础上研究它的特殊情况- 等边三角形。而直角三角形性质的证明，立即用将其补成一个等边三角形来作，在证明（三）出现的直角三角形性质和三角形中位线定理则被用于特殊四边形的证明，知识十分紧密。 （2）在研究三角形中本章主要研究了几种特殊三角形，从边与边，角与角，边与角，特殊线段与边角之间的关系入手，逐一找寻之间的联系，这样不仅不重不漏也便于我们记忆 证明三是对证明一、证明二内容的综合应用，主要从边、角、对角线来研究特殊的四边形，从中体现了归纳、类比和化归等数学思想，对各种四边形的性质进行比较总结出规律，在证明过程中我们也都是将一个新图形转变成曾经学过的旧图形，利用已经掌握的性质去得到新的性质。对于较难的题目，我们首先要分析，要想得到最后结论可以从哪些方面入手，从中选出最合适的一条，用分析法和综合法相结合的手段，通过添加一些辅助线从复杂的图形中找出简单的图形加以解决。主题互动之二-关于课题学习 1义务教育数学课程标准为什么增设“实践与综合运用”这样一个学习领域 我国学生实践能力和综合运用能力相对薄弱，为此基础教育课程改革纲要（试行）在规划新的课程体系时，规定“从小学到高中设置综合实践活动并作为必修课程”，强调通过学生实践，增强探究和创新意识，学习科学研究的方法，发展综合运用知识的能力，增进学校与社会的密切联系，培养学生的社会责任感。 同时基础教育课程改革纲要（试行）又指出综合实践活动与各学科领域应形成一个有机整体，二者既有其相对独立性，又存在紧密的联系，在某些情况下，综合实践活动也可和某些学科教学打通进行，同时，各学科课程中亦应注重培养学生的实践和综合应用能力。为此，课程标准调整了数学学科的结构，在“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”这些知识性的领域之外，设置了“实践与综合应用”这一数学学习领域。具体地，义务教育数学课程标准（实验稿）指出：“实践和综合应用”将帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的，具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。当然随着学段的变化，侧重点有所不同，初中阶段则侧重于在实践基础上的“课题学习”，让学生通过一些具有挑战性的研究课题，获得初步的研究经验，发展一定的研究能力。 2教材中设计“课题学习”的必要性 课程标准中明确提出了加强数学的应用教学，倡导自主探索、合作交流的学习方式，倡导在教师的指导下开展“数学知识的再创造”学习活动，培养学生的研究能力。现行实验教材的编写和日常教学的开展中已较好的体现了这一点，在“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”等知识教学中，也已经注重了学生的实践和综合应用能力的培养、注重了学生研究性学习方式的养成。因此，有人认为没有必要开展单独的“实践与综合应用”，可以在相应内容的教学中开展一定的实践性活动，增强其实践性即可。为此，有必要进一步比较“实践与综合应用”和其他知识学习的功能。下面以初中阶段“课题学习”为例加以说明。固然，在日常教学中，已经注重了学生研究性学习方式的养成，但“课题学习”更具深刻性。具体地，“课题学习”具有如下特点： （1）课题学习的目标并非新知识的习得，而是旧知识的综合应用，教学中更为关注学生在问题解决中的亲身体验，因而目标更具过程性。 （2）课题学习解决的是未经加工的原始问题，因而背景更具现实性、问题更具挑战性。 （3）课题学习问题的解决，需要综合应用“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”等多种知识，因而内容更具综合性。 （4）有时课题学习只是给出了一个原始的问题，并未规定解决问题的手段，甚至只是规定了一个大的方向，问题本身的提出和解决都由学生自己选择。例如“吸烟和被动吸烟都有害健康，你所在地区大约有多少人吸烟，有多少人被动吸烟，吸烟对人有哪些危害，吸烟浪费多少物质资源选择某个感兴趣的主题开展调查，并撰写实验报告，在全班交流”。在这一问题中，调查主题及方式都由学生自己选择。因而学生的学习更具自主性、选择性，学习结论更具开放性。 因此，在教材中编制一定的“实践与综合应用”课题，展开专题研究，有利于提高学生的实践与综合应用能力、转变学生的学习方式、促进学生的合作交流。特别是现阶段广大师生的实践与综合应用的经验相对缺乏、意识比较薄弱的情况下，在教材中设计一定的“实践与综合应用”课题，显得尤为必要。3课题学习的形式 课题学习的开展形式是多样化的，如数学调查、数学制作与设计、数学实验、问题解决、数学探究、数学主题阅读等。因此教学中教师不必局限于教科书上的课题学习，可以根据学生状况选择跟多的主题开展课题研究工作。 4课题学习素材选取的原则 开展“实践与综合应用”活动，必然以某个素材为载体。那么，“实践与综合应用”的素材如何选择呢？笔者认为，实践性和综合性无疑应是“实践与综合应用”题材选择的两个最为重要的原则。 “实践与综合应用”的一个重要目标，是让学生体会数学与现实世界的联系，树立正确的数学观2。因此，选择“实践与综合应用”题材时务必遵循实践性原则。通过切合学生生活实际和认知实际的现实问题，加强数学学习与学生生活的联系，激发学生的学习兴趣，培养学生学习的主动性和数学应用的意识，同时，也有助于学生对数学知识本体的掌握。此外，具有现实背景的“实践与综合应用”题材，更容易体现课程的人文精神和德育价值。如“调查学生一天丢弃的纸团的个数或家庭丢弃的垃圾袋个数”，可增强学生的环保意识；“调查家庭、学校或城市的用水量、水龙头漏水量等”可加强国情教育。 加强数学各部分内容间的联系，发展学生的综合应用能力，是这一部分学习活动的另一个重要目标2。这里的“综合应用”可以是数学各部分知识与表达方式之间的综合。例如对于前述课题学习“用一张长方形的纸制作一个尽可能大的无盖长方体纸盒”，它本身是一个几何背景问题，在如何折叠方可制成一个无盖的长方体的过程中，学生势必应用到许多“空间与图形”的知识；而在长方体体积的表示过程中，又要综合运用“数与代数”和“空间与图形”的知识；初中生尚不具备求三次函数极值的严格数学方法，因此，学生还难以数学地回答“什么情况下，长方体的体积较大”这一问题，只能通过一些具体情形的比较从而获得问题的解决，在这一过程中，又会运用到一定的统计知识，因此，可以说该例是加强“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”知识联系和综合应用的一个较好案例。当然，这里的综合应用也可以是数学学科知识与其他学科知识的综合。如“平面图形重心的确定”、“抛物线拱桥的设计”等则可加强数学与物理的联系；而“C60的球状结构分析”也可以作为高中阶段加强数学与化学学科知识联系的一个案例。 当然，在体现题材的实践性和综合性的基础上，素材选择时还应关注问题的数学性，力图在问题的解决过程中发展学生的数学思维。特别是，在初中阶段，学生已经具备了初步的抽象思维的能力，进行一定的数学拓展已经成为可能。 案例：猜想、证明与拓广6 本案例依次提出下列问题： 任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积地2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？ 任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？ 任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半呢？ 在这些问题的解决过程中，学生必将经历猜想、尝试、证明、拓广等过程，从而增强学生问题意识和自主性，使学生获得一定的探索和发现的体验。此外，在素材选取时，还应关注问题解决方式的多样化和问题结论的开放性。5课题学习素材选取的主体 这些素材又由谁来选取呢？应该说，在现阶段，一线教师和学生对于“实践与综合应用”尚处于实验探索阶段，对于其素材的选取还缺乏一定的把握能力，因此由课程编制人员通过多方研讨确定一些“实践与综合应用”的主题以供一线教师和学生选用，是十分必要的。但应该明确，我国幅员辽阔，地区、学校、学生之间的差异性较大，因而课程编制人员所提供的素材很难符合所有学生的认知实际。为此，一方面，教材编制时也可就同类题材编制多个“实践与综合应用”，以供学生或老师根据学生的认知实际和生活实际自主选用；另一方面，随着教材实验的进一步推广，教师和学生“实践与综合应用”活动经验的不断丰富，应逐步由一线教师和学生根据学生自己的生活实际和认知状况选取有关“实践与综合应用”的素材。在这样的素材选取过程，实际上也无形中增强了学生运用数学知识解决实际问题的一种主动意识，发展了学生发现问题和探究问题的能力。 6课题学习的学习形式 可以通过课堂学习方式完成，也可以通过作业形式，要求学生经过一段时间实践去完成。特别是一些较大的调查活动和研究活动，可以让学生组成合作小组，在课后完成，然后到课堂上进行班组汇报、总结。 不管采用哪种方式展开课题学习的教学，在教学过程中都应力图激发学生的主体精神，发挥学生的主体作用。实际上，课题学习的教学过程，应是一个师生一起学习的过程，它为学生主体作用的发挥提供了较大的空间。具体的，课题学习的主题、学习的方法、问题的发现、问题解决的深度、广度等都可以由学生自主控制和完成。学习中不同的学生可能发现并解决不同的问题，对问题的解决方式也是各式各样，问题的结果也是多样的，提出的新的研究问题也千变万化，因而在这样的过程，学生的主体作用得到尽情的发挥，学生将得到各自应有的发展，真正实现不同的学生得到不同的发展 。 7采用课内学习的方式的一些参考建议 选择课内学习的方式展开课题学习活动时，应注意以探索为活动主线，并在探索过程中发挥学生的主体性，在活动的选择与确定、探索与实践活动的展开等过程中加强学生的自主性，从而真正地让学生经历自主的问题解决和研究过程，获得一定的“微科研”的研究经验。为此，在具体教学时，应给予学生较为充分的时间与空间，同时增大问题设置的梯度，保证学生较大的探索余地和思考空间。 案例：平面的镶嵌 教学课堂教学的流程可以大致如下：课前师生收集镶嵌图案课堂展示交流有关镶嵌图案明晰概念（镶嵌）对所展示图片观察的基础上提出一些有待研究的问题对学生所提出问题进行适当的归类并进一步引导以展开后续的课堂教学。学生所提出的问题必将是十分丰富的，同时也可能是十分繁杂的。因此，教师课前应认真分析有关问题，根据学生的学习经验、思维水平以及问题之间的逻辑关系对后续问题的研究进行一个整体的规划，这样才能及时对学生所提出的问题有一个比较好的评判（如对这个问题的研究价值、研究方法、研究难度等作出比较恰当的评判，从而确定这样的问题是否可以在课堂上进行研究，按照什么顺序进行研究等），从而保证课堂教学的有序而高效地进行。固然，教学中可以有多样的选择，下面仅提出一些建议供参考。总体而言，教学中应认真分析问题的繁简和难易程度，一般遵循先易后难、先简后繁的顺序展开教学活动。因此，建议首先研究较为简单的单个多边形的镶嵌问题，再研究复杂的多个多边形的组合镶嵌问题。 对于单个多边形的镶嵌问题，基于学生的水平和课程标准的要求，这里主要研究三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题。 对于三角形、正六边形以及一些特殊的四边形（如正方形、长方形、平行四边形）的镶嵌问题，学生应该都比较熟悉，因此，教学中，教师可以根据课堂教学状况灵活选择不同的教学顺序。如可以在收集、观察的基础上发现正方形、正六边形等平面图形都可以镶嵌整个平面，然后思考还有哪些正多边形也可以镶嵌整个平面，再从特殊到一般进一步研究一般的多边形（三角形、四边形）的镶嵌问题；也可以在明晰了镶嵌概念之后，直接要求学生想象哪些多边形能够镶嵌平面，并进行具体的纸上描画或者进行实际的拼接（当然，这里就未必有一个确定的教学顺序了，根据课堂学生的状况可能有不同的教学顺序）。显然，对于前一种处理方式，课堂教学的逻辑顺序更为明显，教学易于操控；而对于后一种处理方式，给学生和教师都留下了比较大的空间，教学将更为开放，课堂更具生成性，但同时也不可避免具有一定的不可操控性，对教师自身素质提出了更高的要求。 一般四边形的镶嵌问题，是这堂课的教学难点。如何突破，这是摆在老师们面前的一个课题。这里可以有多种方式：如，考虑到该镶嵌图案的探究对学生而言确实有难度，可以在学生一定的拼接活动的基础上“告诉”，或者借助现实生活中一些具体图形（如一些道路护坡的图片）直接“告诉”；也可以引导学生关注三角形、平行四边形等不同的镶嵌图案之间的关系以及同一个镶嵌图案中各个多边形之间的变换关系，然后通过适当的变式揭示四边形的镶嵌问题（见参考案例）。在获得一般四边形的镶嵌图案（如甲图）之后，可能学生还有一些疑问，如四边形所构成的图案是“凹凸不平”的，如何铺满整个平面？为此，可以通过具体的拼接活动让学生获得进一步的直观感受；或者分析共顶点的四个四边形组成的“基本图案”（如乙图），发现将“基本图案”中的两个三角形剪切后平移即可得到一个平行四边形（如丙图），而平行四边形是可以镶嵌整个平面的，因此，这里“基本图案”的镶嵌相当于将平行四边形中剪切了部分移入另一个临近的平行四边形中。这样，不仅关注了什么图形能够镶嵌，而且关注了镶嵌图形的形成过程，可以为镶嵌图形的设计提供一些参考。 对于多个多边形的组合镶嵌，教学中更多的是一种展示和设计活动，希望通过活动使学生获得一定的数学活动经验和解决问题的体验，而并不希冀获得一般的结论，因此这里不要提出更高的要求。 当然，根据学生以往课题学习的经验水平和认知水平的实际状况，教学中可以设置不同的问题梯度。案例：猜想、证明与拓广 课堂教学中可以采用几种下面方案： 方案1：教学中仅仅提出问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积地2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？你们又是如何解决的？然后让学生组成合作小组，自主的提出问题，并选择问题进行研究；最后进行班级汇报、小结。 在这样的教学设计中，教师只是提出了一个原始的问题，后续问题的提出与研究都交给了各个合作小组，从而切实培养了学生的自主学习能力。当然，这样的教学设计对学生的提出问题和解决问题的能力提出了较高的要求。 方案2：和方案1一样，教师首先提出问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？然后让学生提出新的问题并进行交流；基于学生所提出的问题，教师进行适当的整理与归类，然后选择某些或某类问题展开下一个研究活动；再根据学生新问题的解决情况继续进行后续的课堂活动。 这样的教学设计应该说力图做到以学生的课堂行为为教师教学的生长点，当然，对于这样的课堂行为教师做了一定的选择性，这也应该是教师主导性的一个方面。 方案3：依次安排下面的研究活动： 活动1：（1）任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积地2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？ （2）任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？ 活动2：如果已知矩形的长和宽分别是2和1，结论会怎样？你是怎么做的？与同伴交流。 活动3：当已知矩形的长和宽分别是3和1时，是否有和活动2相同的结论？已知矩形的长和宽分别是4和1，5和1，。，n和1呢？更一般地，当已知矩形的长和宽分别是n和m时,是否仍然有相同的结论?你是怎么做的？ 活动4：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半呢？你是怎么做的？ 活动5：当矩形满足什么条件时，才存在一个新的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 当然，教学中教师应通过适当的语言引导以顺利实现各个活动之间的转换。 相对于方案1、方案2，方案3所设置问题的梯度稍小，但考虑到这个问题相对于初中学生而言具有较大的挑战性，同时刚开始实验的学生的实践与综合应用能力相对较低，在一定的情况下使用这样的教学设计可能更为符合广大学生的认知水平。当然，采用这样的教学设计时，教师不仅应关注问题的解决，同样应力图让学生体会各个问题之间的关系，感受将一般问题特殊化处理的问题解决策略以及将具体问题一般化的数学研究意识，从而发展学生一定的提出问题和解决问题的能力。8采用“课外活动、课内交流”形式进行教学的一些建议 如果以课外活动、课内交流的方式进行课题的学习，教师在课外同样要关注学生的活动情况、进度以及所遇到的困难，以对他们进行适时的指导和帮助，解决学生所遇到的一些困惑，确保学生能够顺利完成有关活动，从而进行课内交流；在课内交流时，教师应注意小组汇报的组织与调控，力图每个学习小组都能获得汇报的机会，同时可以要求学生在汇报交流的过程中反思各个小组的优缺点，并在课后通过对其他小组结果的借鉴和自己小组的反思，对自己小组的课题报告进行进一步的修缮整理，从中培养学生自我反思的意识和合作交流的能力。 案例：制成一个尽可能大的无盖长方体学生通过一个学期的学习已经具备了解决该问题的知识基础和活动经验基础，因此，没有将课题分解成一个一个小问题，去限制学生的思维，而是采用短周期作业与课上的汇报、展示、交流相结合的形式，利用一周的学习时间，事先发放课题研究内容，要求学生以小组为单位进行研究，然后在其中两天安排两节课让学生进行汇报、展示与交流，力图给学生提供更为充分的探索和合作的空间，让学生自己主动去探索、研究、发现问题、解决问题，在学习过程中不断获得成功体验。 具体的把整个课题学习设计为两个层次： 第一层次，主要是关于折叠方法的汇报、展示及初浅的研究成果的反馈，在师生互动中将学生的初步体会进行整理筛选，帮助学生建立初步的认识和经验，进一步明晰方向。 首先老师提前一周以短周期作业的形式下发第一组课题： （1）用一张正方形的纸怎样制作一个无盖的长方体？基本的操作步骤是什么？ （2）如果设这张正方形的纸边长为a，所折无盖长方体的高为h，应怎样计算无盖长方体的体积？ （3）随着剪去的小正方形的边长h的增大，所折无盖长方体的容积如何变化？怎样才能直观而形象的表达这种变化? 要求学生以小组为单位利用2-3天的时间对上面的问题进行合作学习，然后进行班级的汇报与交流。 当然，在第一组课题2-3天的合作学习、自主探索中，陈老师注意深入合作小组摸清学情，鼓励学生针对课题大疑，鼓励同学间批判性地倾听与思考，勇于尝试多样化的解决方案等。 而在进行第一课时的汇报交流时，学生发言过程中，陈老师起到主持人的作用，给学生很多机会与选择，如学生可回答老师的第一组课题中的问题，更可以针对课