湖南省高中数学 11.2排列与组合配套课件 理 新人教A版 .ppt

第二节排列与组合 三年9考高考指数 1 理解排列 组合的概念 2 能利用计数原理推导排列数公式 组合数公式 3 能解决简单的实际问题 1 排列与组合的应用是考查重点 2 常与其他知识交汇命题 考查分类讨论思想 3 题型以选择题和填空题为主 在解答题中和概率相结合进行考查 1 排列与排列数公式 1 排列与排列数 2 排列数公式 3 排列数的性质 0 n n 1 n 2 n m 1 n 1 所有不同排列的 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的 排成一列 排列 排列数 顺序 个数 即时应用 1 思考 排列与排列数有什么区别 提示 排列与排列数是两个不同的概念 排列是一个具体的排法 不是数 而排列数是所有排列的个数 是一个正整数 2 设x m n 且m 19 x 则 x m x m 1 x 19 用排列符号可表示为 解析 由排列数公式的特征 下标是 连乘数 最大数x m 上标是 连乘数 的个数 即 x m x 19 1 20 m 答案 3 从4名男生和3名女生中选出3人 分别从事三项不同的工作 若这3人中至少有1名女生 则选派方案共有 种 解析 从全部方案中减去只选派男生的方案数 合理的选派方案共有 186 种 答案 186 4 一条铁路原有m个车站 为了适应客运需求新增加了2个车站 则客运车票增加了58种 那么原有车站 个 解析 根据题意得 58 即 m 2 m 1 m m 1 58 即m 14 答案 14 2 组合与组合数公式 1 组合与组合数 2 组合数公式 3 组合数的性质 所有不同组合的 从n个不同元素中取出m m n 个元素 组合 组合数 合成一组 个数 1 即时应用 1 若则x 2 某校开设10门课程供学生选修 其中a b c三门课程由于上课时间相同 所以至多只能选一门 学校规定 每位同学选修三门 则每位同学不同的选修方案种数是 3 某班级要从4名男生 2名女生中选派4人参加某次社区服务 如果要求至少有1名女生 那么不同的选派方案种数为 解析 1 由2x 7 x或2x 7 x 20 得x 7或x 9 2 分两类 第一类a b c三门课程都不选 有 35种方案 第二类a b c三门课程中选一门 剩余7门课程中选两门 有 63种方案 故共有35 63 98种方案 3 方法一 4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况 故不同的选派方案种数为 2 4 1 6 14 方法二 从4男2女中选4人共有种选法 4名都是男生的选法有种 故至少有1名女生的选派方案种数为 15 1 14 答案 1 7或9 2 98 3 14 3 排列问题与组合问题的区别区分某一问题是排列问题还是组合问题 关键是看所选的元素与顺序是否有关 若交换某两个元素的位置对结果产生影响 则是 问题 否则是 问题 排列 组合 即时应用 1 由1 2 3 4 5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中 三位数字之和为奇数的共有 个 用数字作答 2 今有2个红球 3个黄球 4个白球 同色球不加以区分 将这9个球排成一列有 种不同的方法 用数字作答 3 某工程队有6项工程需要单独完成 其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行 工程丙必须在工程乙完成后才能进行 工程丁必须在工程丙完成后才能进行 那么安排这6项工程的不同排法种数是 用数字作答 解析 1 根据题意 所选的三位数字有两种情况 3个数字都是奇数 有种方法 3个数字中有一个是奇数 有种 故共有 24个 2 由题意 可知因同色球不加以区分 实际上是一个组合问题 共有 1260种 3 根据题意 共有 20种不同排法 答案 1 24 2 1260 3 20 排列数 组合数公式的应用 方法点睛 排列数 组合数公式的特点及适用范围 1 排列数公式右边第一个因数为n 后面每个因数都比它前面那个因数少1 最后一个因数是n m 1 共m个因数 公式主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证 2 组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种 乘积形式分母为m 分子左边第一个因数为n 后面每个因数都比它前面那个因数少1 最后一个因数是n m 1 共m个因数 多用于数字计算 阶乘形式多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证 例1 1 组合数 n r 1 n r n 恒等于 a b c d 2 若则x 3 解题指南 1 2 利用排列数和组合数的公式及意义求解 3 中注意n的取值范围 规范解答 1 选d 2 原方程即也就是 化简得x2 21x 104 0 解得x 8或x 13 又因为2 x 9 且x n 所以x 8 答案 8 3 若有意义 则当n 2时 有 4 当n 3时 有 7 当n 4时 有 11 答案 4或7或11 互动探究 在本例的 2 中 若将条件改为求x的取值范围 解析 原不等式即也就是化简得x2 21x 104 0 解得x 8或x 13 又因为2 x 9 且x n 所以x 2 3 4 5 6 7 反思 感悟 1 在排列数 组合数计算过程中要注意阶乘的运算及组合数性质的运用 注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解 2 应注意 x y或x y n两种情况 变式备选 计算的值 解析 排列问题的应用 方法点睛 解决排列类应用题的主要方法 1 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 2 特殊元素 或位置 优先安排的方法 即先排特殊元素或特殊位置 3 捆绑法 相邻问题捆绑处理的方法 即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列 同时注意捆绑元素的内部排列 4 插空法 不相邻问题插空处理的方法 即先考虑不受限制的元素的排列 再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 5 分排问题直排处理的方法 6 小集团 排列问题中先集体后局部的处理方法 7 定序问题除法处理的方法 即可以先不考虑顺序限制 排列后再除以定序元素的全排列 例2 有3名男生 4名女生 在下列不同条件下 求不同的排列方法总数 1 选其中5人排成一排 2 排成前后两排 前排3人 后排4人 3 全体排成一排 甲不站排头也不站排尾 4 全体排成一排 女生必须相邻 5 全体排成一排 男生互不相邻 6 全体排成一排 甲 乙两人中间恰好有3人 解题指南 1 无限制条件的排列问题直接应用公式 2 先排前排再排后排 3 在 与 不在 的问题 采用 优先法 4 5 6 邻 与 不邻 的问题 采用 捆绑法 或 插空法 规范解答 1 从7个人中选5个人来排列 有 7 6 5 4 3 2520种 2 分两步完成 先选3人排在前排 有种方法 余下4人排在后排 有种方法 故共有 5040种 事实上 本小题即为7人排成一排的全排列 无任何限制条件 3 优先法 方法一 甲为特殊元素 先排甲 有5种方法 其余6人有种方法 故共有5 3600种 方法二 排头与排尾为特殊位置 排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列 有种方法 中间5个位置由余下4人和甲进行全排列 有种方法 共有 3600种 4 捆绑法 将女生看成一个整体 与3名男生在一起进行全排列 有种方法 再将4名女生进行全排列 也有种方法 故共有 576种 5 插空法 男生不相邻 而女生不作要求 所以应先排女生 有种方法 再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生 有种方法 故共有 1440种 6 把甲 乙及中间3人看作一个整体 第一步先排甲 乙两人有种方法 再从剩下的5人中选3人排到中间 有种方法 最后把甲 乙及中间3人看作一个整体 与剩余2人全排列 有种方法 故共有 720种 互动探究 本例中第 5 问改为 甲 乙两人相邻 但都不与丙相邻 其他条件不变 应如何求解 解析 先排甲 乙 丙以外的4人 有种方法 由于甲 乙要相邻 故再把甲 乙排好 有种方法 最后把排好的甲 乙视为一个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及其首尾的5个空位 有种方法 所以 总共有 960种 反思 感悟 无限制条件的排列问题 直接利用排列数公式即可 但要看清是全排列还是选排列问题 有限制条件的排列问题 用直接法或间接法 变式备选 1 用数字0 1 2 3 4组成没有重复数字的五位数 则其中数字1 2相邻的偶数有 个 用数字作答 解析 可以分情况讨论 若末位数字为0 则1 2为一组 且可以交换位置 3 4各为1个数字 共可以组成2 12个五位数 若末位数字为2 则1与它相邻 其余3个数字排列 且0不是首位数字 则有2 4个五位数 若末位数字为4 则1 2为一组 且可以交换位置 3 0各为1个数字 且0不是首位数字 则有2 2 8个五位数 所以全部合理的五位数共有24个 答案 24 2 电视台连续播放6个广告 其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告 要求首尾必须播放公益广告 则共有 种不同的播放方式 结果用数值表示 解析 分两步 第一步 首尾必须播放公益广告的有种 第二步 中间4个为不同的商业广告有种 所以不同的播放方式共有 48种 答案 48 组合问题的应用 方法点睛 组合问题的常见题型 1 含 与 不含 的问题 含 则先将这些元素取出 再由另外元素补足 不含 则先将这些元素剔除 再从剩下的元素中去选取 2 至少 最多 的问题 解这类题必须十分重视 至少 与 最多 这两个关键词的含义 谨防重复与漏解 用直接法或间接法都可以求解 通常用直接法分类复杂时 考虑逆向思维 用间接法处理 例3 要从12人中选出5人去参加一项活动 1 a b c三人必须入选有多少种不同选法 2 a b c三人都不能入选有多少种不同选法 3 a b c三人只有一人入选有多少种不同选法 4 a b c三人至少一人入选有多少种不同选法 5 a b c三人至多二人入选有多少种不同选法 解题指南 1 2 是 在 与 不在 的问题 采用 直接法 3 可分两步 4 5 是 至少 至多 型问题 采用 间接法 规范解答 1 只需从a b c之外的9人中选择2人 即有 36种选法 2 由a b c三人都不能入选只需从余下9人中选择5人 即有 126种选法 3 可分两步 先从a b c三人中选出1人 有种选法 再从余下的9人中选4人 有种选法 所以共有 378种选法 4 可考虑间接法 从12人中选5人共有种 再减去a b c三人都不入选的情况种 共有 666种选法 5 可考虑间接法 从12人中选5人共有种 再减去a b c三人都入选的情况有种 所以共有 756种选法 反思 感悟 1 对 组合问题 恰当地分类计算 是解组合题的常用方法 2 解题时既要灵活选用直接法或间接法 又要常常结合两种计数原理 变式训练 1 甲 乙两人从4门课程中各选修2门 则甲 乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 a 6种 b 12种 c 30种 d 36种 解析 选c 从反面考虑 6 6 6 30 种 2 2012 承德模拟 现有1个碱基a 2个碱基c 3个碱基g 由这6个碱基组成的不同的碱基序列有 a 20个 b 60个 c 120个 d 90个 解析 选b 构成一个碱基序列需分三步 第一步先排1个碱基a 所有的方法有第二步排2个碱基c 由于两个c相同 所有的方法有第三步排3个g 所有的方法有由这6个碱基组成的不同的碱基序列有 60 个 故选b 排列 组合问题的综合应用 方法点睛 解排列组合的应用题应注意的问题 1 仔细审题 判断是排列问题还是组合问题 要按元素的性质分类 按事件发生的过程进行分类 2 深入分析 注意分清是乘还是加 要防止重复和遗漏 3 对限制条件较复杂的排列组合应用题 可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决 4 由于排列组合问题的答案一般数目较大 不易直接验证 因此在检查结果时 应着重检查所设计的解决方案是否完备 有无重复和遗漏 也可采用多种不同的方法求解 看看结果是否相同 提醒 排列组合的综合题目 一般是先取出符合要求的元素组合 分组 再对取出的元素排列 分组时要注意 平均分组 与 不平均分组 的差异及分类的标准 例4 1 2012 南京模拟 某地奥运火炬接力传递路线共分6段 传递活动分别由6名火炬手完成 如果第一棒火炬手只能从甲 乙 丙三人中产生 最后一棒火炬手只能从甲 乙两人中产生 则不同的传递方案共有 种 用数字作答 2 2012 长沙模拟 四位同学乘坐一列有6节车厢的动车组 则他们至少有两人在同一节车厢的情况共有 种 用数字作答 解题指南 1 根据题意 先安排第一棒 再安排最后一棒 由于甲既可以传第一棒 又可以传最后一棒 因此应分类讨论 然后再逐类安排 2 至少有两人在同一节车厢的情况包括有两个人在同一节车厢 另外两个人在不同的车厢 和两个人在一节车厢另外两个人也在一节车厢 三个人在同一节车厢 以及四个人都在同一节车厢 根据分类计数原理得到结果 规范解答 1 甲传第一棒 乙传最后一棒 共有种方案 乙传第一棒 甲传最后一棒 共有种方案 丙传第一棒 共有种方案 由分类加法计数原理 共有 96种方案 2 由题意知至少有两人在同一节车厢的情况包括三种 一是有两个人在同一节车厢 另外两个人在不同的车厢 还有两个人在一节车厢另外两个人也在一节车厢 共有二是三个人在同一节车厢 有 120 三是四个人都在同一节车厢有6种结果 根据分类计数原理知共有810 120 6 936 种 答案 1 96 2 936 互动探究 本例 1 条件中关于第一棒与最后一棒的产生方法改为只能从甲 乙 丙三人中产生 则不同的传递方案共有多少种 解析 先确定第一棒与最后一棒再排中间4棒 方案共有 144 种 反思 感悟 解有条件限制的排列与组合问题的思路 1 正确选择原理 确定是分类还是分步计数 2 特殊元素 特殊位置优先考虑 3 再考虑其余元素或其余位置 变式备选 1 12名同学合影 站成前排4人后排8人 现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排 若其他人的相对顺序不变 则不同调整方法的总数是 a b c d 解析 选c 从后排8人中选2人共种选法 这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变 则先从4人之间及首尾的5个空中插入一人 有5种插法 余下的一人则要插入前排5人之间及首尾的空中 有6种插法 故为综上故选c 2 5名乒乓球队员中 有2名老队员和3名新队员 现从中选出3名队员排成1 2 3号参加团体比赛 则入选的3名队员中至少有一名老队员 且1 2号中至少有1名新队员的排法有 种 以数字作答 解析 两老一新时 有 12种排法 两新一老时 有 36种排法 即共有48种排法 答案 48 创新探究 几何图形中的排列组合问题 典例 2011 湖北高考 给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色 当n 4时 在所有不同的着色方案中 黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示 由此推断 当n 6时 黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种 至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种 结果用数值表示 解题指南 由n 1 2 3 4时 黑色正方形互不相邻的着色方案种数的规律 归纳n 6时的情况 求至少有两个黑色正方形相邻的着色方案种数可考虑利用对立事件求解 规范解答 n 1 2 3 4时 黑色正方形互不相邻的着色方案种数分别为2 3 5 8 由此可看出后一个总是前2项之和 故n 5时应为5 8 13 n 6时应为8 13 21 n 6时 所有的着色方案种数为 64 种 至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有64 21 43 种 答案 2143 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们可以得到以下创新点拨和备考建议 1 2011 大纲版全国卷 某同学有同样的画册2本 同样的集邮册3本 从中取出4本赠送给4位朋友 每位朋友1本 则不同的赠送方法共有 a 4种 b 10种 c 18