与积分上限函数有关的几类问题的研究-数学与应用数学本科毕业论文

邯郸学院本科毕业论文题 目 与积分上限函数有关的几类问题的研究学 生 张薇指导教师 王婷 讲师年 级 2012级本科专 业 数学与应用数学二级学院 数理学院邯郸学院数理学院2016年5月郑重声明本人的毕业论文是在指导教师王婷的指导下撰写完成的如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督特此郑重声明论文经“万方”论文检测系统检测，总相似比为“11.11%”毕业论文作者（签名）： 年 月 日与积分上限函数有关的几类问题的研究摘 要积分上限函数，即变上限的定积分，这是一类特殊的函数，它既具有与普遍函数相关的特征，又具有许多与积分有关的特殊性质，如连续性、周期性、单调性、奇偶性等。因此，我们可以利用积分上限函数的一些性质简化某些微积分计算问题或者将其用于证明。本文主要讨论了积分上限函数的九类相关问题, 举例说明了积分上限函数在解题和证明中的诸多应用，包括积分上限函数的极限、连续、可微问题，极值、最值问题，零点问题，证明中值定理，在函数关系上的应用等相关问题。关键词：积分上限函数 性质 连续性 可微性 周期性 应用 证明 A few questions related to the integral upper limit function research Zhang Wei Directed by LecturerWang Ting Abstract Upper limit function of integral, which also called the definite integral with variable upper limit. This is a special kind of function, which not only has the same characteristics with the common functions, but also has a large number of same features that relevant to integration, such as continuity, periodic, monotonicity and so on. Therefore, we can make use of some properties of the integral upper limit function to simplify some calculus problems or be used to prove. This paper mainly discusses the nine categories of problems related to the integral upper limit function and illustrates the integral upper limit function in problem solving and proved in many applications, including the limit of integral upper limit function, continuous and differentiable problem, extreme value, the value problem, zero point problem, the median theorem and related problems. KEY WORDS: Integral Upper Limit Function； Properties； Continuous； differentiability；periodically； application；provationI目录摘 要IAbstractII前 言21 积分上限函数的定义及性质31.1 积分上限函数的概念31.2 积分上限函数的性质31.2.1 积分上限函数的连续性31.2.2 积分上限函数的可微性41.2.3 推广的积分上限函数求导公式51.2.4 积分上限函数的周期性62 积分上限函数的应用72.1 极限、连续相关问题72.2 导数问题82.3 单调性问题92.4 极值、最值问题102.5 在证明中值定理上的应用112.6 在函数关系问题中的应用122.7 零点问题122.8 在证明等式题、不等式题的应用132.9 在计算重积分上的应用153 结束语16参考文献17致 谢18前 言变上限积分在微积分理论中有着十分重要的作用，首先，由变上限定积分得出了原函数存在定理，也即微积分基本定理，通过此定理也用另一种方式推导了牛顿-莱布尼茨公式，并且利用它也定义了反常积分等。积分上限函数不仅在这些方面扮演了重要角色，而且它作为一种特殊的函数，提供了函数的一种新的描述方式，在此基础之上，它还可以表示很多非初等函数，极大的丰富了函数的表达式，使微积分理论变得更加严谨、适用和完备。最重要的是，积分上限函数具有与普遍函数相关的特征，又具有与许多与积分有关的特殊性质，如连续性、周期性、单调性等，所以在很多问题中，可以充分利用积分上限函数对题目中涉及的定积分的积分上限改为变量变成变上限积分，或者对所给的函数取变上限积分进行升级得到性质改善的函数，对一些问题进行简化计算和证明，都能够使问题柳暗花明，得到更方便的解决，起到他山之石，可以攻玉的方法效果。在一元函数的微积分学中，由于证明原函数存在定理和微积分基本公式的需要，引入了积分上限函数，从而揭示了不定积分与定积分，微分与积分的内在联系，解决了定积分的计算问题。其最著名的应用是在牛顿-莱布尼茨公式的证明中。在目前比较流行的高等教材和公开的期刊杂志中，对积分上限函数的性质和应用已经作了比较深入的研究。在王国强的变限积分函数及其应用中对变限积分函数及其性质进行了推广，收集了若干与变限积分有关的例子，论述了变限积分函数在其上的应用。在刘晓兰、周娅杰的关于积分上限函数探讨了积分上限函数的实质、一般性质，详细讨论了积分上限函数的极限、导数以及积分上限函数的导数的应用。在向长福的积分上限函数的分析性质和应用中，讨论了积分上限函数的三条分析性质,并证明了积分上限函数的连续性定理，进而以例子为载体阐述了积分上限函数分析性质的应用，包括积分上限函数可导性的应用，积分上限函数的连续性应用。高鸿在积分上限函数的主要性质和应用中，讨论了积分上限函数的导数存在性、 周期性和 n 重迭次积分公式, 并探讨了它们在求导、求极限、证明单调性及连续性、证明积分中值定理、定义有关函数等方面的应用。在蒋善利，普丰山的积分上限函数的主要性质的研究中，给出了积分上限函数的定义，通过对积分上限函数的可导性、单调性、连续性、可积性的证明，进一步来探 讨积分上限函数的性质，推导出几个相关定理，指出积分上限函数的应用。本文系统地讨论了积分上限函数的九类相关问题。首先简要说明了积分上限函数的主要性质及其证明，这是讨论一切与积分上限函数有关的问题的基础，包括积分上限函数的连续性，可微性，周期性等性质，进而举例说明了积分上限函数在解题和证明中的诸多应用，包括积分上限函数的极限、连续、可微问题，极值、最值问题，零点问题，证明中值定理，在函数关系上的应用等相关问题。1 积分上限函数的定义及性质 在微积分学理论中，由于证明原函数存在定理引入了积分上限函数，进而也简便的证明了牛顿-莱布尼茨公式。积分上限函数也称变上限积分，它有着积分的形式，实质是一类特殊形式的函数，它主要由被积函数的性质和积分上(下)限的结构来决定。下面介绍了积分上限函数的概念和主要性质。1.1 积分上限函数的概念 设函数在区间连续，则在上可积，对任意的，则存在，即这个积分是上限的函数。由于积分与变元素采用的记号无关，这个积分也常记作。将这个函数记作。注：定积分与积分变量无关，积分上限函数，还可以记为。 1.2 积分上限函数的性质1.2.1 积分上限函数的连续性定理1 如果函数在上是可积，则积分上限函数在区间连续。 证明： ， 又由已知条件，在上有界，即：对，有。，令 ，即，当时，有，即。 在上连续。 由在上的任意性，在上连续。1.2.2 积分上限函数的可微性定理2 若函数在区间连续，则积分上限函数在有连续的导数，且， 即积分上限函数是被积函数的一个原函数。 证明：设，取，使则有，已知函数在闭区间连续，则由积分中值定理，至少存在一点，使=，取（），则：，或，又由函数在的连续性，有，即，。 注解：（1）从以上两个定理可看出，对取变上限积分得到的积分上限函数，比原来的函数得到了更好的性质：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数经过求导后，其导函数甚至不一定是连续的，所以反之不一定成立。 （2）定理2也称为原函数存在定理，它说明：连续函数的原函数是存在的，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理2把两者联系了起来，在微分和积分之间建立了桥梁，从而使微分学和积分学成为一个整体，我们又把它称为微积分第一基本定理。1.2.3 推广的积分上限函数求导公式 定理3 如果函数在区间上连续，（1）当上限是的可微函数时，有如下面求导公式；（2）当上限与下限都是的可微函数时，则有如下求导公式：。证明：（1）取，使由已知函数是可微函数，故，又在连续，由积分中值定理，则： ，是可微，因此是连续 ，。（2）,取，使 由已知，和都是可微函数。又在连续，由积分中值定理同理得， 则：又与可微，且，连续函数，所以， 所以 。1.2.4 积分上限函数的周期性定理4 周期为的可积函数的积分，当时，是以T为周期的周期函数。证明： 由于是周期为的可积函数令 则：作变量代换：，所以因此当时，函数成立。即当时，函数时以为周期的周期函数。 1.2.5 积分限函数的几种变式（1） 比如 说明：1.被积函数中含, 但可提到积分号外面来；2.在求时，先将右端化为的形式，再对求导。（2）比如 说明：1.f 的自变量中含, 可通过变量代换将 置换到的外面来2.在求时，先对右端的定积分做变量代换（把看作常数），此时，时，；时，这样，就化成了以作为积分变量的积分下限函数：，然后再对求导。(3) 比如 说明：1.这是含参数的定积分, 可通过变量代换将变换到积分限的位置上去2.在求时，先对右端的定积分做变量代换（把看作常数），此时，时，；时，于是，就化成了以作为积分变量的积分上限函数：，然后再对求导。2 积分上限函数的应用积分上限函数有很好的性质，上文已经作了简单说明，我们利用积分上限函数可以解决一些微积分问题。下文主要讨论了积分上限函数的导数问题、单调性问题、零点问题、在函数关系中的应用等九类相关问题, 给出对应例题和解析过程,论述了积分上限函数在其上的应用。2.1 极限、连续相关问题 分析：有关积分上限函数的极限，连续问题，如求解积分上限函数极限、证明积分上限函数连续的问题通常考虑洛必达法则。 例1 求极限 .解：令，则是的间断点。又，所以是的可去间断点，从而在上连续。由积分上限函数的可微性，知可导，从而，即 。 例2 讨论 的连续性.解：（1）当时，是显然连续。（2）当时，对任何是连续的，所以是的连续函数。在时，是不为零的连续函数，故它们的商是连续的.（3）当时， 因此在处不连续，但它是右连续的。2.2 导数问题 分析：积分上限函数是一种特殊形式的函数，那么函数是否可导？如果可导，它的导数是什么呢？根据上文给出的积分上限函数的可微性，下面通过几个简单的例子来举例说明。例3 求的值. 解： ； 例4 求由所确定的隐函数对的导数 解：方程 两边对求导数 ，得 ； 2.3 单调性问题分析：有关积分上限函数的单调性问题，考虑利用可导函数的一阶导数的正负来判断积分上限函数的单调性。例5 设，并且时， 证明：函数在内为增函数.证明：当时，分母，所以在内有定义，当时 ；.故，所以，即从而在内为增函数。例6 设是上连续奇函数且单调上升，。求证：（1）是奇函数； （2）在上单调减函数.证明：对（1）， 故是奇函数。（2） 因为在上单调上升，所以，又因为是奇函数，所以 ，对时，有故函数在上单调减，又因为。所以函数在上单调减函数。2.4 极值、最值问题分析：利用可导函数的一阶导数和二阶导数来判断积分上限函数的极值点问题和最值问题，以下举例说明。 例7 当为何值时，有极值？ 解： 令得的驻点x=0 当0时，所以，函数当且仅当=0时，有极小值例8 在区间上求一点, 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小Oey = ln xxy11思路：先将面积表达为两个变限定积分之和：， 然后求出，再求出其驻点。 例9 设，为正整数。证明 的最大值不超过思路：先求出函数的最大值点，然后估计函数最大值的上界。2.5 在证明中值定理上的应用例10 微分中值定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在开区间内至少存在一点，使.证明：把换成，则，即，将上式两边取积分有即令，显然，且在内连续，在可导，由罗尔定理，则至少存在一点，使所以 .例11 积分中值定理：若函数在闭区间连续，则在内至少存在一点，使得.证明：设，由于在上连续，由拉格朗日中值定理，则至少存在一点，使得即 2.6 在函数关系问题中的应用例12 已知函数 ，求积分上限函数在上的表达式。解：当时， 当时， 所以，2.7 零点问题 分析：己知问题给出函数连续而未给出函数可导条件，利用连续函数的零点定理，由己知条件无法直接证明该函数存在零点时，我们可以对其取变限积分升级为可导的辅助函数，利用罗尔定理证明该函数存在零点。 例13 设在连续，且=0。试证在有两个不同的点=0 使。 证明：设 ，由在连续，则， ，且 知，从而对在与之间应用罗尔定理，知，使。2.8 在证明等式题、不等式题的应用 分析：将积分上限(或下限)中的参数改为变量或视为变量，构造出辅助函数，再利用变限积分的求导公式，得到辅助函数导数的符号，证明与积分上限(或下限)取值无关的定积分恒等式或不等式。例14 设函数在闭区间连续，求证：.证明：设辅助函数，则在上可导，且， 所以：。例15 若是连续函数，求证：.证明：令，则，由于，所以即。例16 （施瓦兹不等式）若和在上连续，则.证明：令，则 所以在上单调增加，从而因此 注解：本题的通常证法是从不等式出发，由关于的二次函数非负的判别条件即可证得结论。但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调性来证明。例17 设是上的连续函数，并且严格单调减小，又设，求证：对于任意的，证明：记，因为单调减小，则 ，所以单调减小，又 ，故 ，即 。2.9 在计算重积分上的应用分析：当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时， 总是用分部积分法求解，且取为积分上限函数，下面举例说明。例18 设是连续函数，且, ，则的值是多少？ 解: + 例19 求值：解：令，则它是积分上限的函数。因为在上连续，则在上可导。且有存 。3 结束语本文主要讨论了积分上限函数的定义，主要性质及其在许多问题中的应用，其中主要论述了积分上限函数在九个问题上的应用。积分上限函数在积分学中有非常重要的地位，它是沟通微分学与积分学的纽带，其结果可应用于构造辅助函数，将积分问题转化函数问题来证明和计算，通过对积分上限函数的学习，我们在解答不同类型数学题目中又多了一个解题方法，这对我们更好地学习基础学科和进一步的探究都极具重大意义。比如，积分上限函数的部分结论在信号与系统的研