超静定问题典型习题解析.pdf

1 超静定问题分析超静定问题分析 典型习题解析 典型习题解析 1 试判断下列结构中为几度静不定 给出基本结构并列出相应的变形协调条件 a 解 解 梁有四个约束反力 有三个有效的平衡方程 但尚有一个条件 即在中间铰 B 处的内力弯矩为零 故为静定梁 解解 去掉任何一个约束 该梁成为几何可变机构 所以是 1 1 0 度静不定 即 静定结构 b 解 解 图示框架有三个约束反力 又有三个平衡方程式 故支反力是静定的 但框架 某一截面 有三个内力分量 即轴力 剪力和弯矩 是不能用静力方程直接确定的 所以是内力三度静不定问题 将框架从任一截面截开 即构成基本结构 变形协调 条件为截开处左右边的轴向相对位移 横向相对位移和相对转角为零 c 解 解 图示框架有四个约束反力 只有三个有效的平衡方程 为一度外力静不定 每 个封闭圈三个未知内力 两个封闭圈共有六个未知内力 为六度内力静不定 故为 七度静不定问题 基本系统为 c 2 变形协调条件共七个 分别为 在 B 点 水平 位移0 B 在 C D 截面 左右相对转角为零 左右轴向相对位移为零以及左右 横向相对位移为零 A 题 1 图 a B C b c 1 A 题 1 图 c BA c 2 B CD 2 d 解 解 图示结构为一封闭的圆圈 在任意截面截开后 有三个未知内力分量 故为三 度静不定 沿对称轴将圆环截开 由于对称性 轴力等于 2 F 剪力等于零 只剩 下弯矩M未知 故只需补充一个变形协调条件 由于对称 变形协调条件可取为 0 DC 2 试求图示梁的支反力 解题分析 解题分析 将 B 点铰拆开 则左右两边均为静定结构 而 B 点处有二个未知内力 所以为 二度静不定问题 但是在小变形条件下 B 点轴向力较小可忽略不计 所以实际未知力只有 B 点处垂直作用力一个 解 解 1 写出变形协调方程 设 B 点处垂直作用力为 By F 其方向如图示 设左半边结构 B 点挠度为 1B w 右边结构 B 点 挠度为 2B w 则本问题变形协调条件为 21BB ww 2 计算 By F 根据叠加原理 有 EI lF EI lq w By B 38 3 4 1 d 1 F F d 3 F d 2 F 2 CD F 2 FF FN FS M MM 题 1 图 d M A wB1 FBy F P C 2m 4m 20kN m A 2m B 40 kN C l 2 l q D D B 题 2 图 wB2 FBy l 2 3 EI lF EI lF l EI l F EI l F EI lF l w EI lF w By By DD By B 48 5 322 2 3 2 323 3 P 3 2 P 3 P 33 2 由变形协调条件 21BB ww 得 N1075 8 48 N10405 8 m4N m1020 2 3 48 5 82 3 3 33 P Fql FBy 3 计算支反力 分别考虑左 右边结构的平衡 得 kN25 71N1025 71N1075 8m4N m1020 333 ByA FqlF 逆时针 m125kNmN10125 4mN1075 8m4N m1020 2 1 2 1 3 3 2 32 lFqlM ByA kN75 48N1075 48N1075 8N1040 333 P ByC FFF 顺时针 mkN115mN10115 4mN1075 8 2 N1040 22 3 3 3 P P lF F lF l FM ByByC 3 结构如图示 设梁 AB 和 CD 的弯曲刚度 EI 相同 拉杆 BC 的拉压刚度 EA 已知 求拉杆 BC 的轴力 解题分析 解题分析 将杆 CB 移除 则 AB CD 均为静 定结构 杆 CB 的未知轴力 FN作用在 AB CD 梁上 为一度静不定问题 解 解 1 写出变形协调方程 力 q FN 作用下 B C 点发生向下的挠度 同时杆 CB 产生拉伸变形 三者的关系为 BCCB ww 此即本问题的变形协调方程 2a 2a A q A q a a B FN C D D a B a C 题 3 图 FN FN FN 4 2 计算 CB 杆的轴力 FN 由叠加原理 得 B 点挠度为 EI aF EI aq wB 3 2 8 2 3 N 4 C 点挠度为 EI aF wC 3 3 N 杆 CB 的伸长量为 EA aF BC N 代入变形协调方程 BCCB ww 得 EA aF EI aF EI aF EI aq N 3 N 3 N 4 33 2 8 2 解得 IAa Aqa Aa qa F 2 3 2 N 3 2 1 3 2 4 图示梁的右端为弹性转动约束 设弹簧常量为 k AB 段可视为刚性 并与梁刚性连接 又梁的变形很小 EI 已知 试求在力 F 作用下 B 截面上的弯矩 解题分析 解题分析 在力 F 作用下 梁 B 截面发生转动 使弹簧伸长 设弹簧拉力为 FT 弹簧对 B 截 面的转动有约束 是一度静不定问题 解 解 1 写出变形协调方程 设 AB 段转角为 1B 梁 CB 的 B 截面转角为 2B 由于 AB 与 B 点刚性连接 所以有 21BB 2 计算 FT B 截面弯矩为 aFMB T 梁在 F 及 MB的作用下 B 截面的转角为 EI alF EI lF EI lM EI lF B B 316316 T 22 2 而弹簧的伸长及 B 截面转角分别为 k F T ka F a B T 1 代入变形协调方程 21BB C F FT B a B1 l 2 C F a B A 题 4 图 FT B2 l 2 5 得 EI alF EI lF ka F 316 T 2 T 或 3 16 3 2 2 T klaEI KalF F 3 计算 B 截面弯矩 B 截面弯矩 3 16 3 2 22 T klaEI KalF aFM B 5 试求图示双铰圆拱的支座反力及中点 C 沿 F 力方向的位移 EI 为已知 解题分析 解题分析 去掉 B 点水平位移约束 结构变为静定结构 所以为一度外力静不定问题 解 解 1 变形协调方程 去掉 B 点水平位移约束 用未知力 Bx F代替 得相当系统如图 b 所示 变形协调方程为 B 点水平位移为零 即0 B 2 确定约束反力 由对称性知 A B两点垂直方向约束反力大小为 2 F 方向向上 如图 c 所示 2 0 时 sin cos1 2 RFR F M Bx 在相当系统中 去掉所有外力 即为基本系统 在基本系统 B 点加水平单位力 则 2 0 sin1 RM 由单位载荷法 B 点水平位移 下式利用了对称性 只对 1 4 圆积分 然后乘以 2 为 EI RF EI FR RRRFR F EI sMM EI Bx Bx s B 2 2 sin1sin cos1 2 2 1 33 2 0 a C A B R F 题 5 图 b c F 2 R F FBx F d R 1 FBx F 2 6 由变形协调条件0 B 得 F FBx 3 计算 C 点沿 F 力方向的位移 C 在相当系统上 有 2 0 sin cos1 2 R F R F M 在基本系统 C 点处沿 F 力方向加单位集中力 则 2 0 sin 1 cos1 2 1 RRM 由单位载荷法 得 8 4 8 3 sin 1 cos1 2 12 1 23 2 2 0 2 EI FR RFR EI sMM EI s C 6 结构如图 a 所示 aBDBCADAC 已知各杆弯曲刚度 EI 相同 A B 点为刚 性连接 C D 点为铰连接 将 C D 点用一弹簧相连 弹簧常数为 2k 但由于弹簧短了 强行相连后 在 A B 点加力 F 试问 当 F 为多大时 弹簧回复到其原长 解题分析 解题分析 如果没有弹簧 该结构为静定的 加弹簧后 弹簧受的力未知 为一度静不定问 题 由于弹簧短了 所以在加 F 力之前 弹簧已受拉力 在加 F 力过程中 C D 两点间 产生相向位移 弹簧所受拉力不断减小 当弹簧所受力为零时 弹簧即回复到原长 这时的 F 即为所求 F 1 F 1 2 F 2 F 2 F 1 1 1 2 题 5 图 e C C c a a F A D C b 题 6 图 x F B F X X F 2 F 2 M max 7 解 解 1 变形协调方程 由于左右对称 只取左半部分研究 将弹簧去掉 用弹簧所受的力的一半代替其作用 得 相当系统如图 b 所示 设 X F 作用下 C D 间相对位移为 1 则弹簧的伸长变形与 1 之 和应该等于 所以变形协调方程为 k X 1 2 2 或 k X 1 2 计算弹簧受力 X 以 C 为原点 沿 CA 建立x坐标系 则 CA 部分的弯矩为 xX F xM 45cos45sin 2 45cosx X xM CA 部分的应变能为 x EI xM V a AC 0 2 2 左半部分结构的总应变能为 x EI xM VV a AC d 2 22 0