福建省南平市光泽二中高三数学一轮复习 第二章第七节 函数的图象课件 文 新人教A版.ppt

第七节 函数的图象 一 函数图象的画法 1 描点法 其基本步骤是列表 描点 连线 首先 确定函数的定义域 化简函数 讨论函数的性质 其次 列表 描点 连线 2 图象变换法 1 平移变换 水平平移 y f x a a 0 的图象 可由y f x 的图象向左或向右平移a个单位 左加右减 坚直平移 y f x b b 0 的图象 可由y f x 的图象向上或向下平移b个单位得到 上加下减 解析式 奇偶性 单调性 对称性 周期性 2 对称变换 y f x 与y f x y f x 与y f x y f x 与y f x y f 1 x 与y f x 每组中两个函数图象分别关于y轴 x轴 原点 直线y x对称 若对定义域内的一切x均有f x m f m x 则y f x 的图象关于直线x m对称 y f x 与y 2b f 2a x 关于点 a b 成中心对称 3 伸缩变换 y af x a 0 的图象 可将y f x 图象上每点的纵坐标伸 a 1时 缩 a 1时 到原来的a倍 y f ax a 0 的图象 可将y f x 的图象上每点的横坐标伸 a1时 到原来的 4 翻折变换 y f x 作出y f x 的图象 将y f x 的图象位于x轴及上方的部分不变 将图象位于x轴下方部分以x轴为对称轴翻折到上方 y f x 作出y f x 在y轴右边部分的图象 以y轴为对称轴将右边部分的图象翻折到左边得y f x 在y轴的左边部分的图象 因为y f x 是偶函数 3 曲线法函数图象可视为曲线 反之不成立 从而有些函数的图象可以用方程的曲线画出 如y x2 y2 4 y 0 从而y 的图象是以原点为圆心 半径r 2的半个圆 再如y x2 y2 1 y 0 所以y 是两段双曲线弧 二 识图 对于给定函数的图象 要能从图象的左 右 上 下分布范围变化趋势 对称性等方面研究函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 周期性 注意图象与函数解析式中参数的关系 三 用图 函数的图象形象地显示了函数的性质 为研究数量关系提供了 形 的直观性 它是探求解题途径 获得问题结果的重要工具 要重视数形结合解题的思想方法 1 图象变换的简便记忆法平移变换 左加右减 上加下减 对称变换 相关不变 无关变反 伸缩变换 横除纵乘 翻折变换 去留之后再对称 下翻上 右翻左 求导变换 增正减负 极值变零点 最高次项定形状 2 超越不等式恒成立问题通常转化为基本函数图象上下位置关系问题 方程解的个数问题常转化为图象交点个数问题 3 判断实际问题的图象问题常用特殊点 如端点 极值点 与坐标轴交点等 平均变化率等进行排除 1 函数f x x的图象关于 a y轴对称b 直线y x对称c 坐标原点对称d 直线y x对称 解析 f x x f x x x f x f x 是奇函数 其图象关于原点对称 答案 c 2 函数y x x 的图象大致是 解析 y x x 是奇函数 且x 0时 y x2 x 0时 y x2 0 选a 答案 a 3 把函数y f x x 2 2 2的图象向左平移1个单位 再向上平移1个单位 所得图象对应的函数的解析式是 a y x 3 2 3b y x 3 2 1c y x 1 2 3d y x 1 2 1 解析 f x x 2 2 2y x 1 2 2y x 1 2 3 答案 c 4 教材改编题 如右图 定义在 0 上的函数f x 的图象是由一条线段及反比例函数图象向右平移了一个单位后所得函数图象的一部分组成 则f x 的解析式为 解析 如图 当x 0 2 设f x ax b 将点 0 1 2 2 代入 得a b 1 即f x x 1 当x 2时 设f x 将点 2 2 代入 得k 2 即f x x 2 综上f x 5 文 教材改编题 若函数f x x a 在 1 上是增函数 则实数a的取值范围是 解析 f x x a 的图象关于直线x a对称 又f x 在 1 上是增函数 a 1 答案 1 理 教材改编题 方程ax 有且只有一个实根 则实数a的取值范围是 解析 设y ax y 方程 表示过原点的直线 方程 表示半圆 其圆心为 2 0 半径为r 1 如图 易知 当直线 与圆相切时 lom斜率k tan 故a的值为 作函数的图象 例1 作出下列函数的图象 思路点拨 作函数图象多用 一 描点法 二 图象变换 首先考察函数的定义域 再分析讨论函数的性质 解 1 函数的定义域为 1 1 函数的图象是直线y x的一部分 2 此函数的定义域为 2 1 0 1 2 所以其图象是由五个点组成的 这些点都是直线y 1 x上 3 所给函数可写成分段函数 4 0 x 3 这个函数的图象是抛物线y 2x2 4x 3介于0 x 3之间的一段曲线 5 法一 描点法 此略 法二 变换法 的定义域为 由 图象向右平移1个单位 再向上平移1个单位 6 函数解析式为 是奇函数 其图象是两条抛 物线弧 如下图所示 变式探究 1 作出下列函数的图象 1 利用翻折变换 先作出的图象 将x轴上方部分保留不动 把在x轴下方的图象 以x轴为对称轴翻折到上方 即得的图象 如图 1 2 作出的图象 将y 2x的图象先向右平移2个单位长度 得y 2x 2的图象 再向下平移1个单位 即得y 2x 2 1的图象 如图 2 3 y x2 2 x 是偶函数 先作出y x2 2x x 0 x 1 2 1 x 0 的图象 再作出该图象关于y轴的对称图象 即得y x2 2 x 的图象 如图 3 方法技巧 1 基本函数的图象要熟记 许多函数图象可以看作由几段基本函数的图象组合而成 2 优先考虑定义域 理解记忆初等变换的作图规则 识图 用图 例2 文 函数y f x 与函数y g x 的图象如图 1 则函数y f x g x 的图象可能是图 2 中的 思路点拨 识图与作图类似 可从这几方面入手 图象的范围及是否过特殊点 如与坐标轴的交点等 图象关于y轴 原点的对称性 图象的变化趋势等 解析 从f x g x 的图象可知它们分别为偶函数 奇函数 故f x g x 是奇函数 排除b项 由函数y g x 图象与y轴没有交点 故y g x 的自变量x 0 所以函数y f x g x 在x 0时无意义 故排除c d 答案 a 例2 理 已知函数y f x 的定义域是 2 且f 4 f 2 1 f x 为f x 的导函数 且y f x 的图象如图所示 则不等式组所围成的平面区域的面积是 a 2b 4c 5d 8 思路点拨 由f x 的图象可对f x 的单调性 单调区间作出判断 注意到1 f 4 可将f 2x y 1 f 4 进行转化 作出可行域 可求面积 解析 由y f x 的图象可知 函数f x 在区间 2 0 上是减函数 在区间 0 上是增函数 又x 0 y 0 f 2x y 1 f 4 2x y 4 所以 不等式组可转化为作出其可行域如图中阴影部分所示 易求得不等式组所围成的平面区域的面积为 2 4 4 答案 b 变式探究 2 已知有四个平面图形 分别是三角形 平行四边行 直角梯形 圆 垂直于x轴的直线l x t 0 t a 经过原点o向右平行移动 l在移动过程中扫过平面图形的面积为y 图中阴影部分 若函数y f t 的大致图象如图所示 那么平面图形的形状不可能是 解析 观察函数图象可得函数y f t 在 0 a 上是增函数 即说明随着直线l的右移 扫过图形的面积不断增大 从这个角度讲 四个图象都适合 再对图象作进一步分析 图象首先是向下凸的 说明此时扫过图形的面积增加得越来越快 然后是向上凸的 说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢 根据这一点很容易判定c项不适合 这是因为在c项中直线l扫到矩形部分时 面积会呈直线上升 答案 c 方法技巧 对于给定的图象 要能从图象的左 右 上 下分布范围 变化趋势 对称性等去研究函数的性质 如定义域 值域 单调性 奇偶性等 1 定性分析法 通过对问题进行定性的分析 从而得出图象的显著特征 进而解决有关问题 2 定量计算法 通过定量的计算来分析解决问题 3 函数模型法 由所提供的图象特征 联想相关函数模型 利用特例来分析解决问题 图象的对称性 a 偶函数且它的图象关于点 0 对称b 偶函数且它的图象关于点 0 对称c 奇函数且它的图象关于点 0 对称d 奇函数且它的图象关于点 0 对称 答案 d 方法技巧 证明函数图象的对称性 即证明其图象上的任意一点关于对称中心 或对称轴 的对称点仍在图象上 2 证明曲线c1与c2的对称性 即要证明c1上任一点关于对称中心 或对称轴 的对称点在c2上 反之亦然 3 本例的特例 函数y f x 的图象关于原点 o 0 0 对称的充要条件是f x f x 0 例1 2009年安徽卷 设a b 函数y x a 2 x b 的图象可能是 解析 法一 由f x x a 2 x b 知 当xb时 f x 0 故选c 法二 y 2 x a x b x a 2 x a 3x a 2b 令f x 0 得x1 a x2 又a b a 首先排除b d 又x a 时 f x 0 f x 为减函数 排除a 选c 例2 2010年北京卷 给定函数 y x y log x 1 y x 1 y 2x 1 其中在区间 0 1 上单调递减的函数的序号是 a b c d 解析 显然幂函数y x及指数型函数y 2x 1在 0 1 上单调递增 对于y log x 1 看作y logu u x 1的复合函数 由复合函数 同增异减 的单调性知y log x 1 在 0 1 上递减 对函数y x 1 其图象是偶函数y x 向右平移一个单位得到 y x 在 1 0 上递减 则y x 1 在 0 1 上递减 答案 b 类型一混淆 函数自身对称 与 两个函数对称 致错 例1 设函数f x 定义在实数集上 则函数y f x 1 与y f 1 x 的图象关于 a 直线y 0对称b 直线x 0对称c 直线y 1对称d 直线x 1对称 正解 因为y f x x r 而f x 1 的图象是f x 的图象向右平移1个单位而得到的 又f 1 x f x 1 的图象是f x 的图象也向右平移1个单位而得到的 因f x 与f x 的图象是关于y轴 即直线x 0 对称 因此f x 1 与f x 1 的图象关于直线x 1对称 选d 分析 本题易出现如下错误 因为若函数f x 在其定义域上恒有f x 1 f 1 x 则f x 的图象关于直线x 0对称 故选b 这里的错解主要是把两个不同的对称问题混为一谈 即对称中有一结论 若f x 满足f a x f a x 则f x 的图象关于直线x a对称 这个结论只对于一个函数而言 而本题是两个不同函数的对称问题 若套用这一结论 必定有误 类型二 中心对称 与 轴对称 不清致误 例2 函数f x 对一切x都有f 1 x f 1 x 则f x 关于 对称 正解 f x f 1 1 x f 1 1 x f 2 x f x 图象上任意点 x0 y0 的关于点 1 0 的对称点 2 x0 y0 也在其图象上 f x 关于点 1 0 对称 分析 对本题 若未注意到等号右边的负号 极易认为f x 的图象关于直线x 1对称 错误原因是对 中心对称 问题与 轴对称 问题混淆不清 一 选择题 1 2010年天津南开区调研 已知ab 1 函数f x ax与函数g x logbx的图象可能是 解析 ab 1 答案 b 2 为了得到函数y 2x 3 1的图象 只需把函数y 2x的图象上所有的点 a 向右平移3个单位长度 再向下平移1个单位长度b 向左平移3个单位长度 再向下平移1个单位长度c 向右平移3个单位长度 再向上平移1个单位长度d 向左平移3个单位长度 再向上平移1个单位长度 解析 将y 2x的图象向右平移3个单位长度 得到y 2x 3的图象 再将y 2x 3的图象向下平移1个单位长度 得y 2x 3 1的图象 答案 a 3 2008年山东卷 设函数f x x 1 x a 的图象关于直线x 1对称 则a的值为 a 3b 2c 1d 1 解析 由题意有f 1 f 3 解得a 3 答案 a 4 函数y lncosx x 的图象是 解析 y lncosx x 是偶函数 可排除b d 由0 cosx 1 lncosx 0排除c 选a 答案 a 5 文 已知函数f x x a x b 其中a b 若f x 的图象如图 1 所示 则函数g x ax b的图象是图 2 中的 图一 图二 解析 令f x 0 x a x b 0 x a或x b 又a b 所以0 a 1 b 1 排除c d 又g 0 1 b 0 排除b 故选a 答案 a 理 已知函数y f x 与函数y g x 的图象关于直线y x对称 将它们的图象同时向左平移1个单位后所得图象关于直线y x对称 若f 1 0 则g 2010 等于 a 2007b 2008c 2009d 2010 解析 令f x g x x 1 则f x g x 满足题设条件 g 2010 2010 1 2009 故选c 答案 c 二 填空题 6 如图 函数f x 的图象是曲线oab 其中点o a b的坐标分别为 0 0 1 2 3 1 则f 的值等于 解析 由图象知f 3 1 f 1 2 f f 1 2 答案 2 7 已知f x 1 x a x b a b m n是f x 的零点 且m n 则a b m n从小到大的顺序是 解析 由题意m n是方程 x a x b 1的两实根 在同一坐标系中分别作出y x a x b y 1的图象 从图象可知 在a b m n的条件下 有m a b n 答案 m a b n 8 函数f x 4x x2 a恰有三个零点 则a 解析 在同一坐标系中 作出y1 4x x2 y2 a的图象 y1 y2的图象恰有三个不同的交点 如图所示 当a 4时满足题意 答案 4 9 文 2010年福建省高考命题研究专家原创卷 已知函数y f x x r 满足f x 1 f x 1 且当x 1 1 时 f x x2 则函数y f x 与y log5x图象的交点个数为 解析 根据f x 1 f x 1 得f x f x 2 则函数f x 是以2为周期的函数 作出函数y f x y log5x的图象 如图 可知它们的交点个数为4 答案 4 理 函数f x 的图象是如图所示的折线段oab 其中a 1 2 b 3 0 函数g x x 1 f x 则函数g x 的最大值为 解析 依题意得f x 故当x 0 1 时 g x 2x x 1 2 x 2 的最大值为0 当x 1 3 时 g x x 1 x 3 x2 4x 3 x 2 2 1的最大值是1 因此 函数g x 的最大值为1 答案 1 三 解答题 10 作出下列函数的图象 解 1 因y 1 先作出y 的图象 将其图象向右平移1个单位 再向上平移1个单位 即得y 的图象 如下图 所示 2 先作出y log2x的图象 再将其图象向下平移1个单位 保留x轴上方的部分 将x轴下方的图象翻折到x轴上方 即得y log2x 1 的图象 如上图 所示 3 当f x