福建省南平市光泽二中高三数学一轮复习 第四章第一节 三角函数的概念课件 文 新人教A版.ppt

第一节 三角函数的概念 一 角的概念的推广 1 角的分类按旋转方向分为正角 负角 零角 2 终边相同的角所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合s 2k k z 二 角的度量 角度制 弧度制 1 1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 用符号rad表示 读作弧度 2 角度与弧度的换算 1 rad 1rad 3 弧长 扇形面积的公式设扇形的弧长为l 圆心角大小为 rad 半径为r 则l r 扇形的面积 三 任意角的三角函数 1 关于与角 终边相同的角 2k 的理解 1 k z 2 是任意角 3 相等的角终边一定相同 终边相同的角不一定相等 4 角度制与弧度制不能混用 如 2k 30 k z k 360 k z 都是不正确的 2 象限角的表示 根据解题需要 第四象限角的集合还可表示为 2k 2k k z 3 终边在坐标轴上的角的表示终边落在x轴上的角可表示为 k k z 终边落在y轴上的角可表示为 k k z 终边落在坐标轴上的角可表示为 k z 解析 由于 所以p点在第四象限 1 已知点p sin cos 落在角 的终边上 且 0 2 则 的值为 2 若 k 180 45 k z 则 在 a 第一或第三象限b 第一或第二象限c 第二或第四象限d 第三或第四象限 答案 d 解析 当k 2n 1 n z 时 2n 1 180 45 n 360 225 此时 为第三象限角 当k 2n时 n 360 45 故 为第一象限角 3 若角 的终边上有一点p k 0 则sin tan 的值是 答案 a 4 教材改编题 一条弦的长等于半径 这条弦所对的圆心角的弧度数为 答案 解析 根据题意 弦 两条半径构成一正三角形 故圆心角的弧度数为 5 文 教材改编题 在直角坐标系中 o是原点 将点p 绕o点逆时针旋转90 到点q 则q点坐标为 解析 p 1 tan xop 30 又 poq 90 xoq 30 90 120 又 op oq 2 q 2cos120 2sin120 即 答案 理 点p从点 0 1 沿单位圆x2 y2 1顺时针第一次运动到点q 时 转过的角是 弧度 解析 设 xoq 则tan 1 即 三角函数定义 方法技巧 1 任意角的三角函数值 只与角的终边的位置有关 而与终边上点的位置无关 因此 已知角 的终边所在直线 或射线 方程 可在其上取一个特殊点 计算有关三角函数值 若直线的倾斜角为特殊角 也可以直接写出 的值 进而解决有关问题 2 已知角 终边上一点p的坐标 可先求出点p到原点的距离r 然后利用三角函数的定义求解 象限角 三角函数值的符号的判定 思路点拨 1 根据三角函数在各象限内的符号规律 可知 sin cos 的符号及取值范围 2 把sin cos 看作是用弧度形式表示的角 从而进一步确定 所在象限 答案 第二 三象限或终边在x轴的负半轴上 答案 第四象限 方法技巧 1 已知 的终边位置 确定 的终边的方法 先用终边相同的角的形式表示出角 的范围 再写出k 或 的范围 再对k的可能取值讨论k 或 的终边所在位置 2 三角函数值的符号由自变量所在象限唯一确定 要能根据角所在象限判定三角函数值的符号 也要能够根据三角函数值的符号判定角所在象限 但除考虑象限角外 还要考虑终边落在坐标轴上的情况 扇形弧长及面积公式的应用 例3 已知一扇形的中心角是 所在圆的半径是r 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积 2 若扇形的周长是一定值c c 0 当 为多少弧度时 该扇形有最大面积 思路点拨 1 求弓形面积 一般用割补法 s弓 s扇 s 2 根据弧长公式及扇形面积公式 将s扇表示为 的函数 或将s扇表示为其他变量的函数 再考虑求该函数的最值 变式探究 3 文 已知一扇形的圆心角是72 半径等于20cm 求扇形的面积 理 已知扇形的周长为10cm 面积为4cm2 求扇形圆心角的弧度数 方法技巧 1 在弧度制下 弧长公式为扇形面积公式为为圆心角 0 2 r为半径 l为弧长 在运用上述公式时 要先把角统一用弧度表示 2 有关最值的问题 一般转化为求函数的最值 把所求问题表示成某一变量的函数 进而求得最值 正解 sinx siny 类型一忽视题目中隐含条件而导致失误 例1 已知sinx siny 求siny cos2x的最大值 分析 求三角函数 式 的最值问题时 许多三角式本身隐含了一些条件 在解题中若不注意挖掘 极易失误 如本例就会出现下列错解 类型二利用三角函数线解三角不等式时 端点角选取不当致误 例2 求函数y 的定义域 正解 由1 2sinx 0 得sinx 如图 值为的正弦线为m1p1和m2p2 取 m1op1 m1op2 故满足sinx 的x的集合为 x 2k x 2k 2 k z 或 与终边相同的一个角为 sinx 的解集为 2k 2k k z 即为所求函数的定义域 分析 利用单位圆中的三角函数线 是求解简单的三角不等式 组 的基本工具之一 基本步骤是 一定终边 二定区域 三找 代表 终边的代表 四写表达式 区域集合 在写区域集合时 要按逆时针方向 本题解集易错写为 x 2k x 2k k z 此为空集 或写成 x 2k x 2k k z 此为不等式sinx 的解集 一 选择题1 下列四个结论中正确的是 a 第一象限角必是锐角b 锐角必是第一象限角c 终边相同的角必相等d 第二象限角必大于第一象限角 解析 365 是第一象限角 但它不是锐角 a错 5 与365 的终边相同 但它们不相等 c错 120 是第二象限角 365 是第一象限角 但120 365 d错 答案 b 2 2008年全国 卷 若sin 0 则 是 a 第一象限角b 第二象限角c 第三象限角d 第四象限角解析 由sin 0知 是第三象限角 答案 c 3 已知角 的终边在射线y x x 0 上 则sin cos 等于 解析 的终边与y x x 0 重合 可在终边上取点p 1 1 则r op sin cos sin cos 答案 a 4 文 已知扇形的周长是6cm 面积是2cm2 则扇形的中心角的弧度数是 a 1b 4c 1或4d 2或4 理 已知一圆弧的弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长 则这段弧所对的圆心角的弧度数为 答案 c 解析 由题意 圆内接正三角形的边长a 2 rsin60 r r为圆半径 故 答案 c 二 填空题6 在单位圆中 一条弦ab的长度为 则该弦ab所对的圆心角 是 rad 7 已知角 的终边落在直线y 3x x 0 上 则解析 角 的终边在直线y 3x x 0 上 为第二象限角 8 若角 的终边与60 角的终边相同 在0 360 内 终边与角的终边相同的角为 解析 k 360 60 k z k 120 20 k z 0 k 120 20 360 k z k 0 1 2 此时得分别为20 140 260 故在 0 360 内 与角终边相同的角为20 140 260 答案 20 140 260 9 文 2009年北京卷 若sin tan 0 则cos 解析 sin 且tan 0 是第三象限角 取 终边上一点p 3 4 则答案 理 若点p m n n 0 为角600 终边上一点 则等于 解析 tan600 tan 360 240 tan240 三 解答题10 1 确定的符号 2 若 0 且sin cos m 0 m 1 试判断sin cos 的符号 解 1 1rad 57 18 即1rad略小于60 3 4 5分别是第三 第三 第四象限角 sin 3 0 cos4 0 tan5 0 原式 0 2 若0op 1 若 则sin cos 1 由已知00 11 文 已知角 的终边在直线3x 4y 0上 求sin cos tan 的值 解 角 的终边在直线3x 4y 0上 理 如图 已知点a 3 4 c 2 0 点b在第二象限 且ob 3 o为坐标原点 记 aoc 1 求sin2 的值 2 若ab 7 求 b