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文档简介

1 4矢量场的环量及旋度 1 环量矢量场沿闭合线的线积分 从变力作功问题引入矢量场环量的概念 若将F r 看成是任意的矢量场 上述积分则代表矢量场F r 沿路径l的标量线积分 矢量场的环量是上述矢量场线积分概念推广应用于闭合路径的结果 因此 F r 的环量为 环量不为零的矢量场叫做旋涡场 其场源称为旋涡源 矢量场的环量有检源作用 环量为零的矢量场叫做保守场或守恒场 静电场就是保守场 在直角坐标系中 设F x y z Fx x y z ex Fy x y z ey Fz x y z ezdl dxex dyey dzez则环量可写成 过点P作一微小有向曲面 S 它的边界曲线记为l 曲面的法线方向与曲线绕向成右手螺旋关系 当 S 点P时 存在极限 上式称为环量密度 过点P的有向曲面 S取不同的方向 其环量密度将会不同 2 旋度 1 环量密度 2 旋度 P点的旋度定义为该点的最大的环量密度 并令其方向为en 即 旋度与环量密度的关系 投影 旋度直角坐标式的推导 于是得旋度的x方向分量 同理可求得curlF的y z分量 所以 或用 算符将其写成 3 旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量 是空间坐标点的函数 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值 在矢量场中 若 F J 0 称之为旋度场 或涡旋场 J称为旋度源密度 或涡旋源密度 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向 若矢量场处处 F 0 称之为无旋场或保守场 4 有关旋度的几个关系式 相对位置矢量的旋度为零 即 f r 与F r 之积fF的旋度有恒等式 f R 与R之积的旋度 有 证明 例4已知F 2x y z ex x y z2 ey 3x 2y 4z ez试就图所示xoy平面上以原点为心 3为半径的圆形路径 求F沿其逆时针方向的环量 解在xoy平面上 有F 2x y ex x y ey 3x 2y ez dl dxex dyey 设x 3cos y 3sin 则 例
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