勾股定理.doc

勾股定理勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解決几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。在任何一个的直角三角形（Rt）中，两条直角角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相減与最短边的平方相等）。性质1、直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那a2+b2=c22、勾股数，勾股数的推算公式 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家17891853）任取两个正整数m和n(mn)，那么m2-n2，2mn，m2+n2是一组勾股数勾股数通式和常见勾股素数，若m和n是互质，而且m和n至少有一个是偶数，计算出来的a，b，c就是素勾股数（若m和n都是奇数，a，b，c就会全是偶数，不符合互质）。所有素勾股数（不是所有勾股数）都可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。 如果k是大于1的奇数，那么k，（k2+1）/2，（k2-1）/2是一组勾股数（3，4，5）, （5，12，13），（7，24，25） 如果k是大于2的偶数，那么k，k2/4+1, k2/4-1是一组勾股数（6，8，10）（8，15，17）（10，24，26）, 如果a，b，c是勾股数，那么nanb， nc(n是正整数)也是勾股数 另一种通式: 2n1，2n22n，2n22n1（n是正整数），（3，4，5）, （5，12，13），（7，24，25）（9，40，41）例1.四边形ABCD中DAB60，BDRt，BC1，CD2求对角线AC的长解：延长BC和AD相交于E，则E30CE2CD4，在RtABE中设AB为x，则AE2x根据勾股定理x2+52=(2x)2， 例2.已知ABC中，ABAC，B2A求证：AB2BC2ABBC证明：作B的平分线交AC于D，则AABD，BDC2ACADBDBC作BMAC于M，则CMDMAB2BC2（BM2AM2）（BM2CM2）AM2CM2（AMCM）（AMCM）ACADABBC例3.如图已知ABC中，ADBC，ABCDACBD求证：ABAC证明：设AB，AC，BD，CD分别为b，c，m，n则c+n=b+m， c-b=m-nADBC，根据勾股定理，得AD2c2-m2=b2-n2c2-b2=m2-n2， (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b) =(m+n)(c-b)(c+b)(c-b) (m+n)(c-b)0(c-b)(c+b)(m+n)0c+bm+n， c-b=0 即c=bABAC练习1，已知ABC中，AB17，AC10，BC边上的高AD8则ABC的周长为多少？2.一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是100cm，15cm和10cm，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短路程是 .3.一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m，4m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为多少 m2？4如图，矩形ABCD中，AB8，BC6，P为AD上一点，将ABP沿BP翻折至EBP，PE与CD相交于点0，且OE0D，则AP的长为多少？5，如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBECD90，D为AB边上点，求证（1）ACEBCD；(2) AD2+DB2=DE26，如图，长方形纸片ABCD中，AB8，将纸片折叠使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上（1）如图（1），当折痕的另一端F在AB边上且AE4时，求AF的长.（2）如图（2）当折痕的一端F在AD边上BG10, 求证：EFEG求AF的长7.ABC中，AB25，BC20，CA15，CM和CH分别是中线和高那么SABC，CH，MH8.梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形9.已知：ABC中，AD是高，BEAB，BECD，CFAC，CFBD求证：AEAF10已知：M是ABC内的一点，MDBC，MEAC，MFAB，且BDBF，CDCE求证：AEAF11.在ABC中，C是钝角，a2-b2=bc 求证A2B12.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数; 至少有一个数是3的倍数;至少有一个数是4的倍数;至少有一个数是5的倍数13.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长14等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2BP22CP215.已知ABC中，ARt，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC，MEMF求证：EF2BE2CF216.RtABC中，ABC90，C60，BC2，D是AC的中点，从D作DEAC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是17ABC中，ABAC2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3，p100， 记mi=APi2+BPiPiC (I=1，2，100)，则m1+m2+m100=_18. 平平湖水清可鉴，湖上半尺生红莲。出泥不染亭亭立