重庆市万州分水中学高考数学一轮复习 第二章第三节 函数的奇偶性与周期性指导课件 新人教A版 .ppt

第三节函数的奇偶性与周期性 一 奇函数与偶函数 1 定义一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 就叫做偶函数 一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 就叫做奇函数 2 定义域及图象特征定义域关于原点对称是函数f x 为奇函数或偶函数的必要条件 f x f x 或f x f x 是定义域上的恒等式 偶函数图象关于y轴对称 奇函数图象关于原点对称 f x f x f x f x 二 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有f x t 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中的正数 那么这个正数就叫做f x 的最小正周期 f x 存在一个最小 最小 1 奇偶函数的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 2 在公共定义域内 两个奇函数的和函数是奇函数 两个奇函数的积函数是偶函数 两个偶函数的和函数 积函数都是偶函数 一个奇函数与一个偶函数的积函数是奇函数 3 若f x 是奇函数且在x 0处有定义 则f 0 0 4 若f x 是偶函数 则f x f x f x 2 周期函数的有关结论 1 若函数满足f a x f x f x a f x a f x 2a f x f a x b f x f x a 则f x 是周期为2 a 的周期函数 2 若函数满足f x a a 0 f x a a 0 则f x 是周期为2 a 的周期函数 3 类比 三角函数图象 得 若y f x 的图象有两条对称轴x a x b a b 即f a x f a x f b x f b x 则y f x 必是周期函数 且一周期为t 2 a b 特别地 若y f x 是偶函数 其图象又关于直线x a对称 即f a x f a x 则f x 是周期为2 a 的周期函数 若y f x 的图象有两个对称中心a a 0 b b 0 a b 即f a x f a x f b x f b x 则y f x 是周期函数 且一周期为t 2 a b 如果函数y f x 的图象有一个对称中心a a 0 和一条对称轴x b a b 即f a x f a x f b x f b x 则函数y f x 必是周期函数 且一周期为t 4 a b 特别地 若y f x 是奇函数 其图象又关于直线x a对称 即f a x f a x 则f x 是周期为4 a 的周期函数 1 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b的值为 解析 依题意得解得a b 0 答案 b 2 教材改编题 下列函数中 在定义域内既是奇函数又是增函数的是 a y b y x3 xc y 2xd y log3x 解析 c d选项对应的函数 在其定义域上是增函数 但它们是非奇非偶函数 a中函数y 在定义域上不是增函数故选b 答案 b 3 文 2010年广东省江门市调研测试 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x x 2x 则当x 0时 f x 等于 a x 2 xb x 2xc x 2 xd x log2x 解析 x 0 x 0 f x f x x 2 x x 2 x 答案 a 理 2010年安徽卷 若f x 是r上周期为5的奇函数 且满足f 1 1 f 2 2 则f 3 f 4 a 1b 1c 2d 2 解析 由f x 是r上周期为5的奇函数知f 3 f 2 f 2 2 f 4 f 1 f 1 1 f 3 f 4 1 选a 答案 a 4 教材改编题 函数f x ax3 sinx 1 x r 若f x0 2 则f x0 解析 令g x ax3 sinx 则g x a x 3 sin x ax3 sinx g x 即g x 为奇函数 由f x0 g x0 1 2 得g x0 1 f x0 g x0 1 g x0 1 1 1 0 答案 0 5 文 原创 周期为3的函数f x 对 x y r 有f x y f x f y 且f 1 1006 则f 2012 解析 在f x y f x f y 中 取x y 0 得f 0 f 0 f 0 得f 0 0 再令y x 得f 0 f x f x 即f x f x f x 为奇函数 又f 2012 f 3 670 2 f 2 又f 2 f 1 1 f 1 f 1 2f 1 又f 1 1006 f 1 1006 f 2012 2f 1 2012 答案 2012 理 2009年重庆卷 若f x a是奇函数 则a 函数奇偶性的判定 例1 判断下列函数的奇偶性 思路点拨 先求函数定义域 若函数定义域关于原点对称 再判定f x 与f x 间存在的关系 而后依据函数奇偶性概念进行判断 否则 函数既不是奇函数也不是偶函数 解 1 由 得x 1 函数定义域关于原点不对称 故函数既不是奇函数也不是偶函数 得x 0 所以函数定义域是 0 0 方法技巧 1 判断函数的奇偶性 要先确定定义域是否关于原点对称 还要灵活采用判断方法 除用定义外 还可以考虑f x f x 0是否成立来进行判断 2 熟悉一些函数的奇偶性及判定方法 并掌握它们的一些变形形式 函数的周期性与奇偶性 思路点拨 根据周期函数的定义 结合周期函数图象呈周期出现的特点进行解题 a 1b 0c 1d 2 解析 法一 由已知得f 1 log22 1 f 0 0 f 1 f 0 f 1 1 f 2 f 1 f 0 1 f 3 f 2 f 1 1 1 0 f 4 f 3 f 2 0 1 1 f 5 f 4 f 3 1 f 6 f 5 f 4 0 所以函数f x 的值以6为周期重复性出现 所以f 2009 f 5 1 故选c 法二 当x 0时 由f x f x 1 f x 2 得f x 1 f x f x 1 f x 1 f x 2 f x 3 f x f x 6 f x 即x 0时 函数f x 的周期是6 又2009 6 334 5 f 2009 f 5 又f 5 f 4 f 3 f 3 2f 2 f 1 f 1 log2 1 1 1 答案 c 抽象函数的奇偶性与单调性 2 判断f x 的奇偶性并证明你的结论 3 如果f 4 1 f 3x 1 3 且f x 在 0 上是增函数 求x的取值范围 思路点拨 灵活运用f x 1 x 2 f x1 f x2 以及函数单调性的定义 例3 理 已知函数y f x 的定义域为r 且对任意a b r 都有f a b f a f b 且当x 0时 f x 0恒成立 f 3 3 1 证明 函数y f x 是r上的减函数 2 证明 函数y f x 是奇函数 3 试求函数y f x 在 m n m n z 上的值域 思路点拨 对抽象函数问题 紧扣定义是解题关键 2 证明 f a b f a f b 恒成立 可令a b x 则有f x f x f 0 又令a b 0 则有f 0 f 0 f 0 f 0 0 从而 x r f x f x 0 f x f x 故y f x 是奇函数 3 由于y f x 是r上的单调递减函数 y f x 在 m n 上也是减函数 故f x 在 m n 上的最大值f x max f m 最小值f x min f n 由于f n f 1 n 1 f 1 f n 1 nf 1 同理f m mf 1 又f 3 3f 1 3 f 1 1 f m m f n n 函数y f x 在 m n 上的值域为 n m 3 定义在r上的偶函数f x 满足f x 1 f x 且在 1 0 是单调递增 设a f 3 b f c f 2 则a b c的大小关系是 a a b cb a c bc b c ad c b a 解析 因f x 是定义在r上的偶函数 且在 1 0 上是单调递增函数 所以在 0 1 上是单调递减函数 又因f x 1 f x 所以f x 2 f x 函数f x 是周期为2的周期函数 又因f f f 2 f 2 f 0 f 3 f 2 1 f 1 所以f 1 f 2 f 0 即f 3 f f 2 答案 d 方法技巧 解抽象函数问题 应充分解读题目所给信息 运用 赋值法 推导有用结论 对函数性质的灵活运用是解题关键 这类题属代数推理题 所要求证的结果也是推理变形的目标 例1 2009年江西卷 已知函数f x 是 上的偶函数 若对于x 0 都有f x 2 f x 且当x 0 2 时 f x log2 x 1 则f 2008 f 2009 的值为 a 2b 1c 1d 2 解析 f x 是偶函数 f 2008 f 2008 f x 在x 0时f x 2 f x f x 周期为2 f 2008 f 2009 f 2008 f 2009 f 0 f 1 log21 log22 0 1 1 故选c 答案 c 例2 2010年福州名校联考 偶函数f x x r 满足 f 4 f 1 0 且在区间 0 3 与 3 上分别递减和递增 则不等式x3f x 0的解集为 a 4 4 b 4 1 1 4 c 4 1 0 d 4 1 0 1 4 解析 f x 是偶函数 且f 4 f 4 0 f 1 f 1 0 又由 0 3 上减 3 上增可画草图如图所示 x3f x 0 或x 4 1 0 1 4 故选d 答案 d 例 函数f x 的定义域为r 若f x 1 与f x 1 都是奇函数 则 a f x 是偶函数b f x 是奇函数c f x f x 2 d f x 3 是奇函数 正解 因f x 1 与f x 1 都是奇函数 所以f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 即函数f x 关于点 1 0 及点 1 0 对称 函数f x 是周期t 2 1 1 4的周期函数 所以f x 1 4 f x 1 4 即f x 3 f x 3 即f x 3 是奇函数 故选d 解 特例法 令f x sinx 可排除a c 再令g x cosx 排除b 故选d 分析 因不能正确地理解函数奇偶性的概念 导致对函数f x 1 与f x 1 无从下手 根据函数的奇偶性得出f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 是解题关键 一 选择题 1 已知f x xsinx 则函数f x 是 a 奇函数b 偶函数c 既是奇函数 又是偶函数d 既不是奇函数也不是偶函数 解析 f x x sin x xsinx f x 故选b 答案 b 2 若函数y x 1 x a 为偶函数 则a等于 a 2b 1c 1d 2 解析 由题意知f 1 f 1 即2 1 a 0 所以a 1 故选c 答案 c 3 文 2010年广东卷 若函数f x 3x 3 x与g x 3x 3 x的定义域均为r 则 a f x 与g x 均为偶函数b f x 为偶函数 g x 为奇函数c f x 与g x 均为奇函数d f x 为奇函数 g x 为偶函数 解析 f x 3 x 3x f x g x 3 x 3x 3x 3 x g x f x 为偶函数 g x 为奇函数 故选b 理 2010年山东卷 设f x 为定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x 2x b b为常数 则f 1 等于 a 3b 1c 1d 3 解析 f x 为奇函数 f 0 0 b 1 f 1 f 1 21 2 1 1 3 答案 d 4 2010年北京卷 若a b是非零向量 且a b a b 则函数f x xa b xb a 是 a 一次函数且是奇函数b 一次函数但不是奇函数c 二次函数且是偶函数d 二次函数但不是偶函数 解析 a b a b a b 0 a2 b2 0 则f x a b x2 b2 a2 x a b b2 a2 x又b2 a2 0 f x f x f x 是一次函数且是奇函数 答案 a 5 文 设函数f x 是定义在r上的以5为周期的奇函数 若f 2 1 f 2012 则a的取值范围是 a 0 b 0 3 c 3 d 0 3 解析 f 2012 f 5 402 2 f 2 又f 2012 1 0 a 3 故选b 答案 b 理 f x 是定义在r上的以3为周期的偶函数 且f 2 0 则方程f x 0在区间 0 6 内解的个数至少是 a 1b 4c 3d 2 解析 f x 是r上的以3为周期的偶函数 f 2 0 f 2 3 f 1 0 f 1 f 1 3 f 4 0 f 2 f 2 3 f 5 0 f 1 f 2 f 4 f 5 0 故选b 二 填空题 6 设f x 是奇函数 则使f x 0的x的取值范围是 解析 f x 是奇函数 f 0 0 即a 0 f x f x f x a 0符合题意 f x 0 即 0 x 0 答案 0 7 文 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 2 f x 则f 2 等于 解析 f x 2 f x f x 4 f x 2 2 f x 2 f x f x 是周期为4的周期函数 f 2 f 2 4 f 2 又f 2 f 2 f 2 f 2 得f 2 0 答案 0 理 设f x 是定义在r上的奇函数 且f x 2 f x 1 f 1 2012 则f 2011 解析 f x 2 f x 1 f x 2 f x 4 f x f x 是周期为4的周期函数 f 2011 f 4 502 3 f 3 f 3 4 f 1 f 1 2012 答案 2012 8 已知函数f x 为r上的奇函数 当x 0时 f x x x 1 若f a 2 则实数a 解析 令x0 所以f x f x x x 1 即f x x 1 x x 0 又x 0时 f x x x 1 0 f a 2 0 a 0 a 1 a 2 得a2 a 2 0 解得a 1或a 2 舍去 答案 1 9 文 甲 函数f x 是奇函数 乙 函数f x 在定义域上是增函数 对于函数 f x f x tanx f x x x f x 能使甲 乙均为真命题的所有函数的序号是 解析 分别作出其图象 则由图象知 正确 答案 理 2009年山东卷 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 若方程f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根x1 x2 x3 x4 则x1 x2 x3 x4 解析 因为定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 所以f x 4 f x 因此函数图象关于直线x 2对称且f 0 0 由f x 4 f x 知f x 8 f x 所以函数是以8为周期的周期函数 又因为f x 在区间 0 2 上是增函数 所以f x 在区间 2 0 上也是增函数 如图所示 那么方程f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根x1 x2 x3 x4 不妨设x1 x2 x3 x4 由对称性知x1 x2 12 x3 x4 4 所以x1 x2 x3 x4 12 4 8 答案 8 三 解答题 10 定义在r上的增函数y f x 对任意a b r 都有f a b f a f b 1 求f 0 的值 2 求证f x 为奇函数 3 求满足f 1