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Chapter1 4 矩阵的初等变换与标准形 矩阵的秩 教学要求 1 掌握矩阵的初等变换 2 了解矩阵等价的概念 了解初等矩阵的性质 3 掌握用初等变换求逆矩阵的方法 4 了解矩阵秩的概念 会求矩阵的秩 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换 且变换类型相同 同理可定义矩阵的初等列变换 所用记号是把 r 换成 c 逆变换 逆变换 逆变换 定义3 等价关系的性质 阶梯形矩阵的特点 1 可划出一条阶梯线 线的下方全为零 2 每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的行数 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元 即非零行的第一个非零元 Solution 阶梯形矩阵 标准形 定义4 的矩阵 称为标准形矩阵 定理1 任何矩阵A可以只用初等行变换化成阶梯形矩阵 定理2 任何矩阵A可以用初等变换化成标准形矩阵 定理3 初等变换不改变方阵的可逆性与不可逆性 定理4 定义5由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵 注意 1 初等矩阵都是方阵 2 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵 定理5设是一个矩阵 对施行一次初等行变换 相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵 对施行一次初等列变换 相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵 注意 初等矩阵还是可逆的 且逆矩阵还是初等矩阵 定理6 证 即A可经过一系列初等行列变换化成单位矩阵 定理7 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵 证 因为A可逆 同理 可逆矩阵总可以经过一系列初等列变换化成单位矩阵 定理8 证 则A可经过有限次的初等行 列变换得到B 则P Q可表示成有限个初等矩阵的乘积 即A可经过有限次的初等行 列变换得到B 所以A与B等价 注意 1 2 用初等行变换法求逆矩阵不必事先知道逆矩阵存在 可在求逆矩阵的过程中作出判断 Solution Solution Solution 即 初等行变换 ex5 Solution 定义 矩阵A中不等于0的子式的最高阶数 称为矩阵A的秩 记为r A 或rank A 注意 1 零矩阵的秩为0 2 若n阶方阵A的秩为n 则A为满秩方阵 否则为降秩方阵 3 可逆方阵为满秩方阵 4 若A中所有r 1阶子式都为0 则高于r 1阶的子式也必然都是0 结论1 设矩阵A中有一个r阶子式D 0 而所有包含D的r 1阶子式全为0 则A中所有r 1阶子式全为0 从而r A r 结论2 初等变换不改变矩阵的秩 结论3 矩阵A的标准形是唯一的 结论4 初等变换求矩阵秩的方法 把矩阵用初等行变换
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